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La función logarítmica

Funciones logarítmicas de diferentes bases Funciones logarítmicas de diferentes bases

Para la función exponencial \(y=a^x\) con \(a>0\) y distinto de \(1\), se cumple que a valores diferentes de \(x\) le corresponden valores diferentes de \(y\), por lo que a cada valor de \(y\) le corresponde un único valor de \(x\) (es decir, la función exponencial es inyectiva). Esto significa que la función exponencial de base \(a\) admite función inversa, que se conoce con el nombre de función logarítmica de base \(a\).

Por tanto, dado un número real \(a>0\) y distinto de \(1\), se define la función logarítmica de base \(a\) como aquella que asocia a cada número \(x>0\) el único valor, designado por \(\log_a x\) que verifica que \(\displaystyle a^{\log_a x}=x\). O sea:

\[\log_a x=y\Leftrightarrow a^y=x\]

Dominio y continuidad

El logaritmo no está definido para números menores o iguales que cero ya que, aplicando lo que hemos visto anteriormente, tendría que ser \(a^y\leqslant0\), y esto es imposible pues las funciones exponenciales las hemos considerado de base mayor que cero. Por tanto, el dominio de la función logarítmica \(y=\log_a x\) es \((0\,,\,+\infty)\). Además, la función logarítmica es continua en todo el dominio y  su imagen es todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales.

Puntos de corte con los ejes

Todas estas funciones cortan al eje \(X\) en el punto \((1,\,0)\) pues \(a^0=1\) para cualquier \(a\), luego \(log_a 1=0\). No cortan al eje \(Y\) pues \(x=0\) no pertenece al dominio de la función logarítmica. Además, siempre pasan por el punto \((a,\,1)\), ya que \(\log_a a=1\).

Monotonía

Si \(a>1\) las funciones logarítmicas son crecientes, tanto más cuanto mayor sea \(a\). Son funciones de crecimiento lento. De hecho cualquier función potencia del tipo \(y=kx^n\) con \(k>0\) crece más rápidamente que la función logarítmica de base mayor que \(1\).

Si \(0<a<1\) la función logarítmica es decreciente.

Comportamiento en cero y en el infinito

Si \(a>1\) tenemos, por un lado, que si \(x\rightarrow0\), entonces \(\log_a x\rightarrow-\infty\); y, por otro lado, si \(x\rightarrow+\infty\), entonces \(\log_a x\rightarrow+\infty\). Si lo escribimos en términos de límites:

\[\lim_{x\rightarrow0}\log_a x=-\infty\quad\text{;}\quad\lim_{x\rightarrow+\infty}\log_a x=+\infty\]

Si \(0<a<1\) tenemos, por un lado, que si \(x\rightarrow0\), entonces \(\log_a x\rightarrow+\infty\); y, por otro lado, si \(x\rightarrow+\infty\), entonces \(\log_a x\rightarrow-\infty\). Escrito también en términos de límites:

\[\lim_{x\rightarrow0}\log_a x=+\infty\quad\text{;}\quad\lim_{x\rightarrow+\infty}\log_a x=-\infty\]

De lo anterior se deducen un par de reglas útiles para el cálculo de límites. Son las siguientes:

Si \(a>1\), entonces \(\log_a 0=-\infty\) y \(log_a+\infty=+\infty\).

Si \(0<a<1\), entonces \(\log_a 0=+\infty\) y \(log_a+\infty=-\infty\)

También se deduce de lo anterior que la gráfica de la función logarítmica se acerca indefinidamente al eje \(Y\) sin llegar a tocarlo: por abajo si \(a>1\) y por arriba si \(0<a<1\). Es decir, el eje \(Y\) es una asíntota vertical.

Ejemplos gráficos

A continuación se representan gráficamente, y por ese orden, las funciones \(y=\log_2 x\), \(y=\log_{1/2}x\).

logaritmica01

logaritmica02

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