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La función lineal. Ecuación de la recta

Función lineal. Su gráfica es una línea recta. Función lineal. Su gráfica es una línea recta.

Se dice que una función real de variable real es una función lineal si es de la forma \(f(x)=mx+n\) (indistintamente utilizaremos la escritura \(y=mx+n\)). Es decir, la ecuación de la función se corresponde con un polinomio de primer grado. La representación gráfica de una función lineal es siempre una recta. El coeficiente \(m\) recibe el nombre de pendiente de la recta y, como su nombre indica, será el responsable de lo inclinada o "pendiente" que se encuentre la recta respecto del eje \(X\). Podemos distinguir un par de casos particulares.

Si \(m=0\) la función lineal es de la forma \(f(x)=n\). En este caso la función lineal es constante y su representación gráfica es una recta horizontal (paralela al eje \(X\)) que pasa por la ordenada \(y=n\). Es decir, todos sus puntos son de la forma \((x,\ n)\). Por ejemplo, la representación gráfica de la función \(f(x)=3\) es la siguiente:

lineal02

Obsérvese que adquiere sentido el nombre de pendiente para el coeficiente \(m\). Si \(m=0\) la recta no tiene pendiente, es decir, no tiene inclinación alguna y es horizontal.

Si \(n=0\) la función lineal es de la forma \(f(x)=mx\). En este caso la representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto \((0,\ 0)\). Por ejemplo, las funciones \(y=3x\), \(y=-3x\)  tienen por representación gráfica las siguientes rectas:

lineal03

Las funciones lineales del tipo anterior, es decir, aquellas cuya ecuación es \(f(x)=mx\), también se conocen con el nombre de funciones de proporcionalidad directa. Si en el eje \(X\) representamos una magnitud \(A\) y en el eje \(Y\) una magnitud \(B\) directamente proporcional a la anterior, con constante de proporcionalidad igual a \(m\), entonces a cada valor \(x\) de la magnitud \(A\) le correspondera el valor \(mx\) de la magnitud \(B\). Un ejemplo clásico es la trayectoria de un móvil que se mueve a velocidad constante, digamos igual a \(2\ m/s\), desde el comienzo del movimiento hasta el instante de tiempo \(t=10\ \text{seg}\). La ecuación del movimiento viene dada por \(s=2t\) donde \(s\) es el espacio recorrido en metros y \(t\) el tiempo transcurrido en segundos. Así, para \(t=2\,\text{seg}\) se ha recorrido \(s=2\cdot2=4\ \text{m}\). Y para \(t=5\,\text{seg}\) se ha recorrido \(s=2\cdot5=10\,\text{m}\). La representación gráfica del movimiento es:

lineal04

Toda recta forma, de manera natural, un ángulo con el eje \(X\). Teniendo en cuenta la orientación positiva de los ángulos (que es aquella que se corresponde con el sentido contrario de las agujas del reloj), y tomando como partida el propio eje \(X\), si la recta es creciente el ángulo que forma la recta con el eje \(X\) es agudo y si es decreciente el ángulo será obtuso. Así por ejemplo las rectas \(y=0,75x\), \(y=-1,5x\) forman, respectivamente, ángulos \(\alpha\) y  \(\beta\) con el eje \(X\): 

lineal05

De hecho, la pendiente de la recta también informa sobre el ángulo que forma la recta con el eje \(X\). Supongamos que los puntos \((x_1,\ y_1)\), \((x_2,\ y_2)\) pertenecen a la recta \(y=mx+n\). Entonces:

\[\begin{cases}y_2=mx_2+n\\y_1=mx_1+n\end{cases}\]

Restando ambas ecuaciones:

\[y_2-y_1=m\left(x_2-x_1\right)\]

Y de la igualdad anterior se obtiene la siguiente fórmula para la pendiente de una recta que pasa por dos puntos \((x_1,\ y_1)\), \((x_2,\ y_2)\):

\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Veamos el significado gráfico de la igualdad anterior.

lineal06

Obsérvese que, en la gráfica anterior, el triángulo \(PQR\) es rectángulo. En este triángulo rectángulo se cumple que \(\text{tg}\ \alpha=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Enlazando con la igualdad anterior tenemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica del ángulo \(\alpha\) que dicha recta forma con el eje \(X\): \(m=\text{tg}\ \alpha\).

Por tanto, podemos deducir un par de propiedades más de las funciones lineales a partir de su pendiente.

  • Si \(m>0\) la recta es creciente, es decir, forma un ángulo agudo con el eje \(X\). Esto es por que si \(m=\text{tg}\ \alpha>0\Rightarrow0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\).
  • Si \(m<0\) la recta es decreciente, es decir, forma un ángulo obtuso con el eje \(X\). Esto es por que si \(m=\text{tg}\ \alpha<0\Rightarrow90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\).

Utilizando lo anterior podemos hallar el ángulo de las rectas que se han dibujado en anteriormente. La recta \(y=0,75x\) tiene pendiente igual a \(0,75\), es decir, \(\text{tg}\ \alpha=0,75\), y de aquí se deduce, utilizando una calculadora, que \(\alpha=\text{arctg}\ 0,75=36,87^{\circ}\). Análogamente, el ángulo \(\beta\) que forma la recta \(y=-1,5x\) con el eje \(X\) es \(\beta=\text{arctg}(-1,5)=123,69^{\circ}\).

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