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El teorema de Rolle. El teorema del valor medio

Comencemos recordando que, por definición, una función \(f\) alcanza un máximo relativo (respectivamente, un mínimo relativo) en un punto \(a\) si, y solo si, existe un entorno de \(a\), \((a-\delta,\,a+\delta)\), tal que para todo \(x\) de dicho entorno se tiene \(f(x)\leqslant f(a)\) (respectivamente, \(f(x)\geqslant f(a)\)).

Diremos que \(f\) alcanza un extremo relativo en el punto \(a\) cuando \(f\) alcance un máximo relativo o un mínimo relativo en \(a\).

Un resultado de gran importancia es la condición necesaria de máximo o mínimo relativo en funciones derivables.

Si \(f(x)\) es derivable en \(a\) y tiene un máximo o un mínimo relativo en él, entonces \(f'(a)=0\).

Teorema de Rolle

Antes de enunciar el teorema de Rolle vamos a reflexionar sobre su interpretación geométrica. La idea es la siguiente. Tenemos la gráfica de una función cuyo "dibujo" se puede hacer sin levantar el lápiz del papel (continua) y de manera suave, sin picos o "puntos angulosos" (derivable) y, además, toma los mismos valores en los extremos de un intervalo (o sea, empezamos y terminamos el dibujo de la gráfica a la misma altura). Entonces, sea como sea el dibujo, tiene que haber al menos un punto del interior del intervalo en el que la recta tangente en el mismo es horizontal. Esto se comprende mejor observando la siguiente figura.

Rolle ValorMedio 01

Teorema de Rolle

Sea \(f:[a,\,b]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \([a,\,b]\) y derivable en \((a,\,b)\) verificando que \(f(a)=f(b)\). Entonces existe un punto \(c\) del intervalo \((a,\,b)\) tal que \(f'(c)=0\).

Según el teorema de Weierstrass sobre la continuidad de funciones (lo puedes encontrar en el artículo dedicado al teorema de Bolzano), existen dos puntos de \([a,\,b]\) tales que la función alcanza respectivamente su máximo \(M\) y mínimo \(m\) absolutos.

Distinguiremos dos casos.

Si estos puntos son los extremos del intervalo, entonces \(f(a)=f(b)=m=M\), luego la función es constante en todos los puntos de \([a,\,b]\), por lo que \(f'(c)=0\) en cualquier punto de \((a,\,b)\).

Si \(f\) alcanza el máximo o el mínimo absoluto en un punto \(c\) del interior del intervalo (distinto de los extremos), tenemos que dicho máximo o mínimo absoluto también será máximo o mínimo relativo, con lo que por la condición necesaria de máximo o mínimo relativo vista más arriba, tenemos que \(f'(c)=0\)

Hay que tener presente que, si en el teorema de Rolle suprimimos alguna de las hipótesis, no podemos asegurar que el teorema se cumpla. Asi, en las tres funciones siguientes tenemos que la primera no es continua en \([a,\,b]\), aunque es derivable en \((a,\,b)\) y \(f(a)=f(b)\). La segunda no es derivable en \((a,\,b)\), aunque es continua en \([a,\,b]\) y \(f(a)=f(b)\). La tercera es continua en \([a,\,b]\) y derivable en \((a,\,b)\), aunque \(f(a)\neq f(b)\). En ninguna de ellas hay un punto \(c\in(a,\,b)\) tal que \(f'(c)=0\).

Rolle ValorMedio 03

Teorema del valor medio

El teorema del valor medio también se conoce con el nombre de teorema del valor medio de Lagrange o teorema de los incrementos finitos.

Al igual que hemos hecho anteriormente, nos aproximaremos al teorema del valor medio mediante su interpretación geométrica. La idea consiste en que una curva continua y sin picos que va de \(A\) hasta \(B\) tendrá algún punto intermedio en el que su recta tangente sea paralela al segmento \(\overline{AB}\). También se comprende mejor si observamos la siguiente figura.

Rolle ValorMedio 02

Teorema del valor medio

Sea \(f:[a,\,b]\rightarrow\mathbb{R}\) una función continua en \([a,\,b]\) y derivable en \((a,\,b)\). Entonces existe un punto \(c\) del intervalo abierto \((a,\,b)\) tal que \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\).

Sea \(f:[a,\,b]\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por:

\[g(x)=(f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)\,,\,\forall x\in[a,\,b]\]

Claramente \(g\) es continua en \([a,\,b]\) y derivable en \((a,\,b)\) con

\[g'(x)=(f(b)-f(a))-(b-a)f'(x)\,,\,\forall x\in(a,\,b)\]

Además, es fácil comprobar que \(g(a)=g(b)\). Por el teorema de Rolle existe un \(c\in(a,\,b)\) tal que \(g'(c)=0\), esto es, tal que

\[f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\]

Fijémonos otra vez en la figura anterior. Supongamos que la recta que pasa por \(A=(a,\,f(a))\) y \(B=(b,\,f(b))\) es \(y=mx+n\). Entonces, precisamente por pasar por los puntos \(A\) y \(B\) tenemos que

\[\begin{cases}f(b)=mb+n\\f(a)=ma+n\end{cases}\Rightarrow f(b)-f(a)=mb-ma\Rightarrow\]

\[\Rightarrow f(b)-f(a)=m(b-a)\Rightarrow m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

O sea, que la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A\) y \(B\) es \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Pero el teorema del valor medio afirma que existe \(c\in(a,\,b)\) tal que \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\), o sea, tal que \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Lo que viene a decir que la pendiente de la recta tangente en un punto intermedio es igual que la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A\) y \(B\), es decir, que ambas son paralelas.

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