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El número e como límite de una determinada función

El número e como límite de una función muy particular El número e como límite de una función muy particular

Pretendemos demostrar en este artículo que el límite de la función \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\) cuando \(x\rightarrow+\infty\) es el número \(\text{e}\). Obsérvese que la función anterior no está definida en el intervalo \([-1,\,0]\) (pues en estos casos la base es negativa y nos limitamos al estudio de funciones del tipo \(f(x)^{g(x)}\) con \(f(x)\) positivo). Además, cuando \(x\rightarrow+\infty\) tenemos

\[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\rightarrow\left(1+\frac{1}{+\infty}\right)^{+\infty}=1^{+\infty}\]

que es una de la indeterminaciones que aparecen en el cálculo de límites (hemos utilizado que \(x\rightarrow\infty\Rightarrow1/x\rightarrow0\)).

Aprovechemos este momento para comentar también que, cuando \(x\rightarrow0^+\), entonces

\[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\rightarrow\left(1+\frac{1}{0^+}\right)^0=+\infty^0\]

que es otra indeterminación (hemos usado que \(x\rightarrow0^+\Rightarrow1/x\rightarrow+\infty\)).

En la demostración que vamos a hacer se verá que si se sustituye \(+\infty\) por \(-\infty\) el límite sigue siendo el número \(\text{e}\):

\[\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\text{e}\]

La idea consiste en tomar una sucesión \(\{x_n\}\) de número reales divergente (es decir, una sucesión cuyos términos tienden a \(+\infty\) o a \(-\infty\)) y demostrar que el límite de la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n} \right )^{x_n}\right\}\) es igual al número \(\text{e}\). Formalizemos esta idea.

Proposición

Sea \(\{x_n\}\) una sucesión divergente de números reales. Podemos suponer sin perder generalidad que \(x_n\notin[-1,\,0],\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), con lo que \(1+\dfrac{1}{x_n}\) es siempre un número real positivo para todo \(n\in\mathbb{N}\). Entonces

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow \text{e}\]

Demostración

Comenzaremos probando el caso particular en que \(x_n=n,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\), esto es, demostraremos que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right\}\rightarrow \text{e}\]

Usando la fórmula de la potencia de un binomio (binomio de Newton) se tiene, para todo natural \(n\), que

\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\binom{n}{0}1^n\frac{1}{n^0}+\binom{n}{1}1^{n-1}\frac{1}{n^1}+\binom{n}{2}1^{n-2}\frac{1}{n^2}+\ldots+\binom{n}{n}1^0\frac{1}{n^n}=\]

\[=1+n\frac{1}{n}+\binom{n}{2}\frac{1}{n^2}+\binom{n}{3}\frac{1}{n^3}+\ldots+\binom{n}{n}\frac{1}{n^n}=(\bigstar)\]

En un artículo dedicado a los números combinatorios aparece, al final del mismo (con su demostración), una propiedad según la cual

\[\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\]

Usando esta propiedad podemos simplificar la igualdad \((\bigstar)\) obteniendo finalmente:

\[(a+b)^n=1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\ldots\]

\[\ldots+\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)\quad(\bigstar\bigstar)\]

Teniendo en cuenta la anterior igualdad es claro que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) es creciente y que:

\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\leqslant1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant\text{e}\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Para ello hemos usado que

\[\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)\leqslant1\,,\forall\, k=1,\,2,\ldots,\,n\]

pues todos los factores menores o iguales que \(1\).

También hemos usado que, fijando \(n\in\mathbb{N}\) tenemos:

\[1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant\text{e}\]

ya que la sucesión \(\{x_n\}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\) tiene como límite el número \(\text{e}\) (esto lo puedes consultar el artículo "descubiendo el número \(\text{e}\)").

Hemos demostrado pues que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) tiene límite (ya que es creciente y todos sus términos están acotados por el número \(\text{e}\)). Además por la misma razón, su límite, \(l\), verifica \(l\leqslant\text{e}\).

Aplicando también la igualdad \((\bigstar\bigstar)\) se tiene que si \(n\), \(p\) son números naturales cualesquiera,

\[\left(1+\frac{1}{n+p}\right)^{n+p}\geqslant1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\ldots\]

\[\ldots+\frac{1}{p!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{p-1}{n}\right)\]

Para \(p\) fijo, la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{n+p}\right)^{n+p}\right\}\) converge a \(l\) (es la misma que la sucesión \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) sólo que le faltan los primeros términos; en el paso al límite éste, si existe, ha de ser el mismo). La sucesión que tiene por término \(n\)-ésimo la expresión que aparece en el segundo miembro de la desigualdad anterior tiene como límite

\[1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{p!}\]

Se tiene por tanto

\[l\geqslant1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{p!}\,,\,\forall\,p\in\mathbb{N}\]

lo que imjplica que \(l\geqslant\text{e}\). Como antes habíamos demostrado que \(l\leqslant\text{e}\), tenemos por tanto que \(l=\text{e}\), tal y como queríamos.

Bien, hemos sudado un poco, pero ya hemos demostrado que, efectivamente, \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right\}\rightarrow \text{e}\). De aquí, y haciendo uso de que la sucesión \(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) tiene límite igual a \(0\), se deduce que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\right\}=\left\{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right\}\rightarrow \text{e}\]

También se deduce que

\[\left\{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n\right\}=\left\{\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\displaystyle\frac{n}{n+1}}\right\}\rightarrow\text{e}\]

Hemos utilizado que el límite de la sucesión \(\left\{\dfrac{n}{n+1}\right\}\) es igual a \(1\).

Las dos afirmaciones anteriores las vamos a escribir, equivalentemente, de otra manera. Si tomamos un número real cualquiera \(\varepsilon>0\), por pequeño que sea, podemos escribir todos los términos de las dos sucesiones anteriores a partir de uno de ellos, entre \(\text{e}-\varepsilon\) y \(\text{e}+\varepsilon\). O sea que existe \(m\in\mathbb{N}\) tal que si \(n\geqslant m\), entonces:

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}<\text{e}+\varepsilon\quad(1)\]

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\text{e}+\varepsilon\quad(2)\]

Vamos a demostrar ahora que dada una sucesión \(\{x_n\}\) de número reales que tienda a \(+\infty\), entonces la sucesión \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\) tiene como límite el número \(\text{e}\). Para ello haremos uso de las expresiones \((1)\) y \((2)\) anteriores y, para cada \(\varepsilon>0\), del número natural \(m\) para el que se cumplen.

Supongamos que \(\{x_n\}\rightarrow+\infty\), y sea \(\{k_n\}=\{\text{E}(x_n)\}\) (la sucesión parte entera de la sucesión \(\{x_n\}\)). Claramente \(\{k_n\}\rightarrow+\infty\). Pongamos esto de otra manera. Que la sucesión \(\{k_n\}\) tienda a más infinito quiere decir que todos los términos de la sucesión a partir de uno ellos es mayor o igual que \(m\), donde \(m\) es el natural con el que hemos estado trabajando anteriormente. Es decir

\[\exists\,p\in\mathbb{N}\,:\,n\geqslant p\Rightarrow k_n\geqslant m\]

Además como \(k_n\) es un número natural, para \(n\geqslant p\), se cumplen en particular \((1)\) y \((2)\), con lo cual

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n+1}<\text{e}+\varepsilon\]

\[\text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{k_n+1}\right)^{k_n}<\text{e}+\varepsilon\]

Por otra parte se tiene para \(n\geqslant p\) que el natural \(k_n\) verifica \(k_n\leqslant x_n<k_n+1\) (esta es una de las propiedades de la parte entera de un número real), y de aquí es fácil deducir que \(1+\dfrac{1}{k_n+1}<1+\dfrac{1}{x_n}\leqslant1+\dfrac{1}{k_n}\), y de aquí también que

\[\left(1+\dfrac{1}{k_n+1}\right)^{k_n}<\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}<\left(1+\dfrac{1}{k_n}\right)^{k_n+1}\]

Enlazando la doble desigualdad anterior de manera conveniente con las anteriores desigualdades \((1)\) y \((2)\), obtenemos:

\[n\geqslant p\Rightarrow \text{e}-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}<\text{e}+\varepsilon\]

lo que demuestra lo que queríamos, es decir, que \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow\text{e}\) cuando \(\{x_n\}\rightarrow+\infty\).

Para finalizar vamos a comprobar exactamente lo anterior cuando la sucesión tiende a "menos infinito", es decir, que si \(\{x_n\}\rightarrow-\infty\), entonces también \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow\text{e}\). Para ello bastará hacer un cambio de variable.

Supongamos que \(\{x_n\}\rightarrow-\infty\) y sea \(y_n=-x_n-1,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\) (obsérvese que claramente \(\{y_n\}\rightarrow+\infty\)). Es prácticamente inmediato comprobar que (¡hazlo, inténtalo!)

\[\left(1+\frac{1}{x_n}\right)^{x_n}=\left(1+\frac{1}{y_n}\right)^{y_n}\left(1+\frac{1}{y_n}\right)\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

Lo anterior, junto con el hecho de que \(\left\{\left(1+\dfrac{1}{y_n}\right)^{y_n}\right\}\rightarrow\text{e}\) (recuérdese que \(\{y_n\}\rightarrow+\infty\)), implica que

\[\left\{\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)^{x_n}\right\}\rightarrow\text{e}\]

tal y como queríamos demostrar.

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