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Cálculo de límites. La indeterminación "cero partido por cero"

Un límite del tipo "cero partido por cero". Un límite del tipo "cero partido por cero".
Ver artículo en formato imprimible (pdf) aquí

En una entrada anterior hablábamos sobre la idea de límite de una función en un punto y en el infinito, y se concluía que era realmente importante dominar el cálculo de límites para conocer la tendencia de una función en un punto o en el infinito. De esta manera nos haremos una idea rápida de la evolución de la gráfica de la función y seremos capaces de saber con cierta rapidez de dónde procede esta gráfica y a dónde va, así como si tiene asíntotas horizontales, verticales u oblicuas.

Abordaremos en este artículo un tipo de indeterminación que nos encontramos con frecuencia en el cálculo de límites: la indeterminación "cero partido por cero". Pero, ¿qué es una indeterminación? Bueno, en el cálculo de límites existen algunas reglas básicas que proporcionan directamente el resultado al efectuar el cálculo del límite de una función. Por ejemplo:

\[\lim_{x\to1}\frac{3x-2}{x-1}=\left[\frac{1}{0}\right]=\begin{cases}-\infty\ \text{si}\ x\rightarrow1^-\\+\infty\ \text{si}\ x\rightarrow1^+\end{cases}\]

Sabemos que la expresión anterior encerrada entre corchetes, \(\dfrac{1}{0}\), no tiene sentido desde el punto de vista matemático. Pero en el paso al límite viene a decir que, cuando el numerador tiende a un valor distinto de cero y el denominador tiende a cero, el cociente tiende a infinito. Esto no es difícil de entender. Basta realizar sucesivos cocientes sustituyendo en la expresión números cada vez más cercanos a \(1\), que es el punto en el que, en este caso, se está calculando el límite. Además podemos estudiar la tendencia de la función cuando \(x\) tiende a \(1\) por la izquierda, \(1^-\), y por la derecha, \(1^+\), obteniéndose el signo del infinito. En este tipo de situaciones nos encontramos con asíntotas verticales. En este caso, la función \(\dfrac{3x-2}{x-1}\) tiene una asíntota vertical: la recta \(x=1\).

La regla anterior se aprende en general de la siguiente manera: \(\dfrac{k}{0}=\infty\ ,\ k\neq0\).

Cuando en el cálculo de límites intervienen el cero y el infinito aparecen más reglas que, en el paso al límite, permiten calcularlo de manera directa. Algunas de ellas son estas (en ellas se supone que \(k\) es un número real):

\[\frac{k}{\infty}=0\ ;\ \frac{\infty}{0}=\infty\ ;\ k\cdot\infty=\infty\ ;\ \infty\cdot\infty=\infty \]

Sin embargo cuando al intentar calcular el límite de una función nos encontramos con la situación "cero partido por cero", no hay manera de decidir directamente su valor. A veces saldrá un número, a veces la tendencia será hacia más infinito o menos infinito. No se puede saber con seguridad. Por eso se dice que, en este ambiente de cálculo de límites, "cero partido por cero", \(\dfrac{0}{0}\), es una indeterminación. Veremos dos casos de resolución de esta indeterminación. En ambos casos tenemos que simplificar o transformar la expresión inicial respecto de la cual queremos calcular el límite.

Caso 1

La función respecto de la cual queremos calcular el límite es racional, es decir, contiene un polinomio en el numerador y otro en el denominador. Supongamos pues dos polinomios \(p(x)\) y \(q(x)\) y que al realizar el valor numérico para \(x=a\) se obtiene cero: \(p(a)=0\), \(q(a)=0\). Al intentar calcular el límite cuando \(x\) tiende hacia el punto \(a\) de la función \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\) aparece la indeterminación \(\dfrac{0}{0}\). Pero como el valor numérico de ambos polinomios para \(x=a\) es cero, esto quiere decir que \(a\) será una raíz de ambos polinomios, es decir, \(x-a\) será un factor de ambos y por tanto los podremos escribir así: \(p(x)=(x-a)\cdot r(x)\), \(q(x)=(x-a)\cdot s(x)\). Se puede aplicar la regla de Ruffini o algún otro método para obtener la factorización anterior (véase este artículo sobre resolución de ecuaciones y factorización de polinomios). Entonces el cálculo del límite se haría del siguiente modo:

\[\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)\cdot r(x)}{(x-a)\cdot s(x)}=\lim_{x\to a}\frac{r(x)}{s(x)}=\frac{r(a)}{s(a)}\]

Si la fracción \(\dfrac{r(a)}{s(a)}\) no es del tipo \(\dfrac{0}{0}\) ya tenemos calculado el límite. Si fuera del tipo \(\dfrac{0}{0}\), procederíamos otra vez a resolver la indeterminación como se ha comentado anteriormente.

Veamos un ejemplo.

\[\lim_{x\to2}\frac{2x^2-3x-2}{x^2-4}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)\cdot(2x-1)}{(x-2)\cdot(x+2}=\lim_{x\to2}\frac{2x-1}{x+2}=\frac{3}{4}\]

Caso 2

En este caso nos encontraremos, bien en el numerador, bien en el denominador, una raíz cuadrada. Para simplificar la expresión respecto de la cual queremos hallar el límite procederemos ahora a multiplicar tanto el numerador como el denominador por la expresión conjugada de aquella expresión en la que aparece la raíz cuadrada. Lo mejor es verlo con un ejemplo. Calcularemos para ello el límite que aparece en la imagen que encabeza este artículo.

\[\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{x\to3}\frac{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\]

\[=\lim_{x\to3}\frac{\left(\sqrt{x+1}\right)^2-2^2}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\lim_{x\to3}\frac{x+1-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\]

\[=\lim_{x\to3}\frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\lim_{x\to3}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}=\frac{1}{\sqrt{3+1}+2}=\frac{1}{4}\]

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