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Análisis Matemático - Cálculo

Título Impactos

Introducción al número real. Un paseo por el concepto de número en la Secundaria Obligatoria

Artículo introductorio al concepto de número real. La importancia del concimiento y dominio de los distintos tipos de números y sus operaciones. Un gran paso para afrontar el Bachillerato y, posteriormente, la Universidad.

43

El conjunto de los números reales tiene estructura de cuerpo

Se expone la estructura de cuerpo del conjunto de los números reales mediante la axiomática asociada a las operaciones suma y producto. El artículo contiene 6 ejercicios completamente resueltos.

37

El conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado conmutativo

Se introducen los axiomas de orden en el conjunto de los números reales. Como consecuencia de los axiomas de orden se proponen varios ejercicios (de los que se da la solución), que no son otra cosa que propiedades de las desigualdades. Se recuerda también la nomenclatura que se usa para designar los intervalos y las semirrectas de la recta real.

33

Valor absoluto

Se introduce de manera rigurosa el concepto de valor absoluto de un número real y sus propiedades con su respectivas demostraciones (muchas de ellas podrían proponerse como ejercicio).

32

Resolviendo ecuaciones e inecuaciones en las que aparece el valor absoluto

Artículo donde se describe, mediante varios ejercicios resueltos, cómo resolver ecuaciones e inecuaciones en las que aparece el valor absoluto.

34

El conjunto de los números naturales. Una definición rigurosa y algunas propiedades

En este artículo se define el conjunto de los números naturales. Para ello, previamente se introduce el concepto de conjunto inductivo y el principio de inducción. Por último se dan algunas propiedades del conjunto de los números naturales y se demuestra el principio de buena ordenación de los naturales: todo conjunto no vacío de números naturales tiene mínimo.

26

El principio de inducción

Un artículo dedicado exclusivamente al principio de inducción, con un par de ejercicios completamente resueltos y algunos otros propuestos.

29

El último axioma. El axioma del supremo

En este artículo, con el axioma del supremo, se cierra la axiomática del conjunto de los números reales. Sin este axioma no podríamos demostrar muchos resultados posteriores. El artículo contiene una colección de 8 ejercicios completamente resueltos.

27

La existencia de los números irracionales

El primer uso del axioma del supremo, visto en el artículo anterior, se hace para probar la existencia de los números irracionales. Concretamente, demostraremos aquí que existe un número real y positivo cuyo cuadrado es dos. También se demuestra algún resultado más (como la densidad de \(\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\)) y se incluyen un par de ejercicios con sus soluciones.

30

Parte entera de un número real. Función parte entera

En este artículo se define la parte entera de un número real y se dan algunas de sus propiedades. También se introduce la función parte entera.

32

Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión

Introducimos el concepto de sucesión y de sucesión convergente, o lo que es lo mismo, el concepto de límite de una sucesión. Se dan varios ejemplos en los que se demuestra, usando la definición de sucesión convergente, si una determinada sucesión es convergente partiendo del conocimiento de su posible límite.

30

Sucesiones acotadas. Propiedades de las sucesiones convergentes

Se define en este artículo el concepto de sucesión mayorada, minorada y acotada, como un caso particular de la definición de conjuntos mayorados, minorados y acotados que se dio en el artículo dedicado al axioma del supremo. Se ven también las propiedades de las sucesiones convergentes y se incluye una colección de 7 ejercicios completamente resueltos.

24

Más sobre límites de sucesiones. Sucesiones parciales. Sucesiones monótonas

Este artículo es, por así decirlo, un complemento necesario del anterior. Se da el concepto de sucesión parcial de una sucesión, así como el de sucesión monótona (creciente o decreciente). Se proponen además un total de 12 ejercicios con sus correspondientes soluciones.

22

Sucesiones de Cauchy. El teorema de complitud de R

Este artículo es de especial importancia. En el mismo se introduce el concepto de sucesión de Cauchy y se demuestra el teorema de complitud de \(\mathbb{R}\), según el cual una sucesión de números reales es convergente si, y sólo si, es una sucesión de Cauchy. También se incluyen 3 interesantes ejercicios completamente resuelto.

24

El número e

Un curioso primer acercamiento al número \(\text{e}\). Nos lo encontraremos como el límite (y también la cota superior) del crecimiento de un capital de 1 euro a un interés del 100 % anual y renovado periódicamente.

29

Descubriendo el número e

Descubrimos aquí el número \(\text{e}\) de una forma rigurosa. Demostraremos que el número \(\text{e}\) es un número irracional que se obtiene como límite de una determinada sucesión de números reales. Además, obtendremos una fórmula que permitirá obtener tantas cifras del número \(\text{e}\) como se desee.

23

El número e como límite de una determinada función

Tal y como se introdujo el número \(\text{e}\) un par de artículos más arriba, demostraremos rigurosamente que el número \(\text{e}\) también es el límite en el infinito de una determinada función.

22

Resolviendo algunas indeterminaciones. Límites funcionales de interés (I)

Usaremos aquí lo que sabemos del número \(\text{e}\), mostrado en los tres artículos anteriores, para calcular en la práctica límites asociados a las indeterminaciones "uno elevado a infinito" e "infinito elevado a cero"

31

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa

Introducción a las funciones reales de variable real. Se da el concepto de composición de funciones, se describe cúando se pueden componer dos funciones y se introduce el concepto de función inversa de una función en el sentido de la composición de funciones.

23

Funciones continuas. Definición y propiedades

Se introduce en este artículo el concepto de función continua. Para ello se utilizará el concepto de sucesión convergente. Veremos también algunas funciones continuas, las propiedades de las funciones continuas y una caracterización de la continuidad que es la que se da como definición en algunos textos. Se incluyen también 6 ejercicios con sus soluciones.

22

Continuidad de una función en un intervalo. El teorema del valor intermedio

Analizamos en este artículo las propiedades de las funciones continuas definidas en intervalos. En este artículo destacan dos resultados: el teorema de los ceros Bolzano y el teorema del valor intermedio. Se incluye al final una colección de 12 ejercicios completamente resueltos.

28

La propiedad de compacidad para funciones continuas

En este artículo se enuncia y se demuestra una propiedad muy importante de las funciones continuas: la imagen por una función continua de un intervalo cerrado y acotado es un intervalo cerrado y acotado. Esto es tanto como decir que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene máximo y mínimo absolutos. Se incluyen al final 4 ejercicios completamente resueltos.

22

Funciones continuas e inyectivas

En este artículo se define el concepto de función monótona y estrictamente monónotona. Se demuestra también que toda función continuas e inyectiva es estrictamente monótona, así como algunas consecuencias de interés. Se incluyen también 3 ejercicios con sus soluciones.

19

La derivada y la recta tangente a una curva

Introducimos aquí el concepto de derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica: la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Además, esta recta tangente es la que mejor aproxima a la función en las proximidades de dicho punto. El artículo contiene además 10 ejercicios completamente resueltos.

31

El problema de la velocidad. Derivada de una función. Ejemplos de derivadas

En este artículo, como en el anterior, también se introduce el concepto de derivada de una función en un punto. La diferencia está en que la interpretación de la derivada es distinta: ahora la derivada en un punto es la velocidad en un instante determinado de una partícula que recorre un trayecto según una determinada ley, llamada ley de espacios y que se puede modelar mediante una función real de variable real. En la segunda parte del artículo se ponen varios ejemplos de cálculo de derivadas de determinadas funciones, usando exclusivamente la definición de derivada.

27

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

En este artículo se demuestra la regla de la cadena para derivar funciones compuestas. También se demuestra, bajo determinadas hipótesis, la fórmula para hallar la derivada de la función inversa de una función (este resultado se conoce con el nombre de teorema de la función inversa). También se prueba la derivabilidad de la función exponencial y logarítmica y de las funciones relacionadas con ellas. Finalmente, se proponen 6 ejercicios, de los que se incluyen sus respectivas soluciones.

24

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Tratamos aquí el problema de localizar los máximos y mínimos de una función. El uso de las derivadas será fundamental para ello. También se demuestran el teorema de Rolle y el teorema del valor medio. Este último es de una importancia enorme en el Análisis Matemático. También se dan caracterizaciones para saber cuando una función es creciente o decreciente, para hallar extremos absolutos y relativos y hasta una nueva demostración del teorema de la función inversa.

28

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

17 ejercicios completamente resueltos sobre aplicaciones de las derivadas (cálculo de extremos, monotonía, cálculo de la imagen de una función, soluciones de ciertas ecuaciones, etc). Muchos de estos ejercicios requieren la aplicación del teorema de Rolle o del teorema del valor medio.

26

La paradoja de Zenón

Una introducción a las series infinitas de números reales. Idea intuitiva de suma de una serie infinita de números reales.

32

Series infinitas de números reales. Series convergentes

En este artículo se definen los conceptos de serie infinita de números reales y de convergencia de una serie de números reales. Se ilustran estas ideas con algunos ejemplos y se proponen 5 ejercicios (de los que se incluye su solución).

30

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