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Resolviendo ecuaciones e inecuaciones en las que aparece el valor absoluto

  • Publicado en ESO

Recordemos que el valor absoluto de un número real cualquiera \(x\) se define de la siguiente manera:

\[|x|=\begin{cases}x&\text{si}&x\geqslant0\\-x&\text{si}&x<0\end{cases}\]

En otro artículo hablábamos del valor absoluto y de sus propiedades, y en él ya se hizo referencia a la posibilidad de resolver algunas ecuaciones o inecuaciones utlizando estas propiedades. Aquí seremos más explícitos y resolveremos de hecho varias ecuaciones e inecuaciones concretas. En todo caso será bueno recordar que utilizaremos algunas de las propiedades del valor absoluto. Por supuesto, se da por hecho que se saben resolver ecuaciones e inecuaciones de primer y de segundo grado. En todo caso se recomienda la lectura de los siguientes artículos:

La ecuación con valor absoluto más sencilla es \(|x|=a\), donde \(a\) es un número real fijo mayor o igual que cero, pero arbitrario (si \(a<0\) la ecuación no tiene solución pues \(|x|\geqslant0,\,\forall x\in\mathbb{R}\)). Por la definición de valor absoluto, si \(x\geqslant0\), entonces \(|x|=x\) con lo que \(|x|=a\Rightarrow x=a\). Sin embargo, si \(x<0\), entonces \(|x|=-x\) con lo que \(|x|=a\Rightarrow -x=a\Rightarrow x=-a\). Hemos demostrado que \(|x|=a\Rightarrow\begin{cases}x=a\\x=-a\end{cases}\).

Así por ejemplo las soluciones de la ecuación |x|=3 son \(x=3\) y \(x=-3\).

Desde el punto de vista geométrico la ecuación \(|x|=a\) viene a decir que los únicos dos números reales cuya distancia al cero es igual a \(a\geqslant0\) son \(a\) y \(-a\).

La ecuación anterior se puede utilizar para resolver otras algo más complicadas.

Por ejemplo, sea la ecuación \(|3x-5|=8\). Usando lo que hemos demostrado anteriormente tenemos:

\[|3x-5|=8\Rightarrow\begin{cases}3x-5=8\Rightarrow3x=13\Rightarrow x=\frac{13}{3}\\3x-5=-8\Rightarrow3x=-3\Rightarrow x=-1\end{cases}\]

Resolvamos ahora la ecuación \(|x-1|=\dfrac{1}{|x+4|}\).

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por \(|x+4|\) obtenemos la ecuación equivalente \(|x-1||x+4|=1\) y como el valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos tenemos también, equivalentemente

\[|(x-1)(x+4)|=1\Rightarrow|x^2+3x-4|=1\Rightarrow\begin{cases}x^2-3x-4=1\\x^2-3x-4=-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^2-3x-5=0\\x^2-3x-3=0\end{cases}\Rightarrow\]

\[\displaystyle\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}\\x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}\end{cases}\]

Es interesante observar la representación gráfica de las soluciones que de esta ecuación hace WolframAlpha.

Para resolver inecuaciones en las que aparecen valores absolutos usaremos, entre otras, la siguiente propiedad del valor absoluto:

\[|x|\leqslant a\Leftrightarrow-a\leqslant x\leqslant a\Leftrightarrow x\in[-a,a]\]

Es evidente que esta propiedad también se cumple si la desigualdad es estricta:

\[|x|<a\Leftrightarrow-a<x<a\Leftrightarrow x\in(-a,a)\]

De lo anterior se deduce que también es cierto que

\[|x|\geqslant a\Leftrightarrow x\leqslant-a\ \text{o}\ x\geqslant a\Leftrightarrow x\in(-\infty,a]\cup[a,+\infty)\]

\[|x|>a\Leftrightarrow x<-a\ \text{o}\ x>a\Leftrightarrow x\in(-\infty,a)\cup(a,+\infty)\]

Utilizando estas propiedades podemos resolver, por ejemplo, la inecuación \(|2x-7|\leqslant3\). Veámoslo.

\[|2x-7|\leqslant3\Leftrightarrow-3\leqslant2x-7\leqslant3\Leftrightarrow4\leqslant2x\leqslant10\Leftrightarrow2\leqslant x\leqslant5\Leftrightarrow x\in[2,5]\]

Hacemos hincapié en el interés que tiene observar la solución desde el punto de vista gráfico.

Naturalmente, si la inecuación fuera \(|2x-7|>3\) la solución sería \(x\in(-\infty,2)\cup(5,+\infty)\).

Resolvamos ahora la inecuación \(\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\right|<2\), en la cual hemos de aplicar la propiedad mencionada y luego proceder con especial cuidado.

\[\left|\frac{1}{2}-\frac{x}{3}\right|<2\Leftrightarrow-2<\frac{1}{2}-\frac{x}{3}<2\Leftrightarrow-2-\frac{1}{2}<-\frac{x}{3}<2-\frac{1}{2}\Leftrightarrow-\frac{5}{2}<-\frac{x}{3}<\frac{3}{2}\Leftrightarrow\]

Ahora recordemos que si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido, con lo que, en este caso, multiplicando todos los miembros por \(-3\), tenemos

\[\Leftrightarrow\frac{15}{2}>x>-\frac{9}{2}\Leftrightarrow-\frac{9}{2}<x<\frac{15}{2}\Leftrightarrow x\in\left(-\frac{9}{2},\frac{15}{2}\right)\]

Otra vez merece la pena observa la solución de la inecuación anterior desde el punto de vista gráfico.

Por supuesto, si la inecuación que tuviéramos que resolver fuera \(\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\right|\geqslant2\), la solución vendría dada por \(x\in\left(-\infty,-\dfrac{9}{2}\right]\cup\left[\dfrac{9}{2},+\infty\right)\).

Hay ocasiones en las que no queda más remedio que echar mano de la definición para resolver ciertas ecuaciones o inecuaciones en las que aparecen valores absolutos. Veamos un par de ejemplos.

Resolver la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\).

Por un lado tenemos que

\[|3-2x|=\begin{cases}3-2x&\text{si}&3-2x\geqslant0\\-(3-2x)&\text{si}&3-2x<0\end{cases}=\begin{cases}3-2x&\text{si}&x\leqslant\frac{3}{2}\\2x-3&\text{si}&x>\frac{3}{2}\end{cases}\]

Y por otro lado tenemos

\[|x-2|=\begin{cases}x-2&\text{si}&x-2\geqslant0\\-(x-2)&\text{si}&x-2<0\end{cases}=\begin{cases}x-2&\text{si}&x\geqslant2\\2-x&\text{si}&x<2\end{cases}\]

Como se puede observar, hay dos puntos digamos "críticos", el \(\frac{3}{2}\) y el \(2\). Podemos pues dividir la recta real en tres intervalos y considerar tres casos para resolver nuestra ecuación.

Si \(x\in\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(3-2x)+2-x=x\), ecuación de primer grado: \(6-4x+2-x=x\Rightarrow-6x=-8\Rightarrow x=\frac{4}{3}\). Como \(\frac{4}{3}\in\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\), entonces \(x=\frac{4}{3}\) es solución de la ecuación.

Si \(x\in\left(\frac{3}{2},2\right)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(2x-3)+2-x=x\), con lo que \(4x-6+2-x=x\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\).

Si \(x\in(2,+\infty)\) la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) se convierte en \(2(2x-3)+x-2=x\), con lo que \(4x-6+x-2=x\Rightarrow 4x=8\Rightarrow x=2\).

Cuando una de las soluciones coincide con uno de los puntos críticos debemos decidir si es solución sustituyendo directamente en la ecuación:

\[2|3-2\cdot2|+|2-2|=2|3-4|+|0|=2|-1|+0=2\cdot1=2\]

Observamos que la ecuación se cumple para \(x=2\), con lo que este valor es solución de la ecuación. Resumiendo, las soluciones de la ecuación \(2|3-2x|+|x-2|=x\) son \(x=\frac{4}{3}\) y \(x=2\).

Resolvamos por último la inecuación de la imagen que encabeza este artículo: \(|4-x|+|2x-5|>7-x\). Para ello procederemos como en el ejercicio anterior.

Por un lado

\[|4-x|=\begin{cases}4-x&\text{si}&4-x\geqslant0\\-(4-x)&\text{si}&4-x<0\end{cases}=\begin{cases}4-x&\text{si}&x\leqslant4\\x-4&\text{si}&x>4\end{cases}\]

Por otro lado

\[|2x-5|=\begin{cases}2x-5&\text{si}&2x-5\geqslant0\\-(2x-5)&\text{si}&2x-5<0\end{cases}=\begin{cases}2x-5&\text{si}&x\geqslant\frac{5}{2}\\5-2x&\text{si}&x<\frac{5}{2}\end{cases}\]

Decidamos ahora intervalo por intervalo teniendo en cuenta que ahora los puntos críticos son \(\frac{5}{2}\) y \(4\).

Si \(x\in\left(-\infty,\frac{5}{2}\right)\), la inecuación queda así: \(4-x+5-2x>7-x\). Resolviéndola tenemos \(-2x>-2\Rightarrow x<1\Rightarrow x\in(-\infty,1)\). Como \(\left(-\infty,\frac{5}{2}\right)\cap(-\infty,1)=(-\infty,1)\), entonces el intervalo \((-\infty,1)\) es solución de la inecuación.

Si \(x\in\left(\frac{5}{2},4\right)\), la inecuación queda así: \(4-x+2x-5>7-x\). Resolviéndola tenemos \(2x>8\Rightarrow x>4\Rightarrow x\in(4,+\infty)\). Como \(\left(\frac{5}{2},4\right)\cap(4,+\infty)=\emptyset\), este caso no aporta soluciones a nuestra inecuación.

Finalmente, si \(x\in(4,+\infty)\), la inecuación es \(x-4+2x-5>7-x\) que, resolviéndola, queda \(4x>16\Rightarrow x>4\Rightarrow x\in(4,+\infty)\). Por tanto, en este caso el intervalo \((4,+\infty)\) es solución de la inecuación.

Resumiendo, las solución de la inecuación \(|4-x|+|2x-5|>7-x\) la podemos escribir así: \((-\infty,1)\cup(4,+\infty)\).

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La raíz cuadrada

Es muy probable que muchos estudiantes de matemáticas de secundaria y bachillerato no tengan muy claro el concepto de raíz cuadrada. Lo digo porque cuando calculamos la "raíz de cuatro" a veces escribimos \(\sqrt{4}=2\) y otras veces escribimos \(\sqrt{4}=\pm2\) ¿Por qué esta confusión? Bueno, el problema radica en saber lo que estamos haciendo en cada momento. No es lo mismo hacer un uso puramente numérico o algebraico de una raíz cuadrada (cuando se procede a simplificar una expresión númerica o algebraica en la que aparecen radicales, por ejemplo), que resolver una ecuación de segundo grado, cuya conocida fórmula contiene la raíz cuadrada.

Para intentar clarificar todo esto voy a transcribir, prácticamente igual, la sección donde se habla de todo esto, del libro Cálculo diferencial e integral de Javier Pérez González, profesor del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada, cuya lectura recomiendo efusivamente a los alumnos que vayan a estudiar o estudien un primer curso de matemáticas en cualquier grado universitario.

Definición

Para cada número real \(x\geqslant0\), representamos por \(\sqrt{x}\) al único número mayor o igual que cero cuyo cuadrado es igual a \(x\).

Una función aparentemente caprichosa

Acabamos de definir la función "raíz cuadrada". Si tras leer detenidamente la definición te preguntara: ¿cuál es el valor de \(\sqrt{x^2}\)? ¿Qué me responderías? Es muy posible que tu respuesta sea \(x\). ¡Pues no es correcto! Si fuera correcta tu respuesta entonces \(\sqrt{(-2)^2}=-2\) y, según la definición, la raíz cuadrada ha de ser un número mayor o igual que cero, y \(-2\) no lo es. Si se responde a la pregunta de manera meditada, verás que la respuesta correcta es \(|x|\). En efecto, se tiene que \(|x|^2=x^2\) y, además, \(|x|\geqslant0\), por tanto \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Muchos estudiantes tienen la idea de que la raíz cuadrada de un número real positivo es una veces positiva y otras veces negativa, y muchos creen que puede tomar los dos valores y, en este caso, deben pensar que \(\sqrt{x^2}=\pm x=\{x,\,-x\}\). Cosas más raras se han visto. Toda esta "magia" lleva a situaciones bastante extrañas. Por ejemplo, es sabido que la distancia entre dos puntos del plano \((a,b)\) y \((c,d)\) viene dada por \(\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\). En particular, la distancia entre los puntos \((a,b)=(1,2)\) y \((c,d)=(1,3)\) es \(\sqrt{(1-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{(-1)^2}=-1\). ¿Una distancia negativa? No, la raíz cuadrada no es una función caprichosa y su definición no deja lugar a dudas: la raíz cuadrada de un número positivo es también un número positivo, o sea \(\sqrt{(-1)^2}=|-1|=1\) (de ahí la importancia de las definiciones en matemáticas).

¿De dónde procede esta confusión tan extendida? Pues viene de muy atrás, de cuando en el instituto se aprende (¿realmente se aprende?) a resolver la ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\) cuyas soluciones son los números

\[\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Ahí está el problema: en el confuso símbolo \(\pm\) delante de la raíz. Es eso lo que lleva a muchos a pensar que las raíces cuadradas pueden tomar dos valores: uno positivo, que corresponde a la elección del sigo \(+\), y otro negativo que corresponde a la elección del signo \(-\) en la expresión anterior. Lo más lamentable es que toda esta confusión no es más que producto de la pereza. Veamos: cuando se aprende a resolver la ecuación de segundo grado se obtienen las soluciones

\[\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad;\quad\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Como esto es largo de escribir en la pizarra, los profesores (y me incluyo), por pereza, resumen las dos soluciones obtenidas anteriormente en la expresión única

\[\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Eso explica cosas bastante incomprensibles como, por ejemplo, escribir \(+\sqrt{3}\) ¿Acaso escribes \(+7\)? No, sabes que \(7\) es un número positivo y parece totalmente improcedente escribir \(+7\). Entonces, ¿por qué escribir \(+\sqrt{3}\)? Porque \(\sqrt{3}\) es caprichoso: unas veces puede ser positivo y otras negativo. A esta forma de pensar se le llama magia matemática, está bastante más extendida de lo que se pueda creer y no solamente entre estudiantes.

En definitiva, creo que ha quedado claro sin lugar a dudas que \(\sqrt{x^2}=|x|\) y que la raíz cuadrada no es una función caprichosa.

Por cierto si usas una calculadora, nunca te devolverá \(-2\) si haces la raíz cuadrada de cuatro. Y, cualquier programa que haga gráficas de funciones, considerará siempre la función \(\sqrt{x}\) como un número positivo (tal y como se dice en la definición). En desmos, la gráfica de \(\sqrt{x}\) es así (y en cualquier otro programa también):

raiz cuadrada 2

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Valor absoluto

Ver artículo en formato imprimible (pdf) aquí

Hasta aquí, y en tres documentos anteriores, hemos hecho un repaso del conjunto de los números reales. En primer lugar vimos cómo se introducen en la Educación Secundaria Obligatoria. Y posteriormente se recordó la importancia de percibir el conjunto de los números reales, con las operaciones suma y producto, y con la relación de orden \(\leq\,\), como un conjunto dotado de una estructura: el cuerpo ordenado conmutativo de los números reales. Los documentos o artículos a los que nos referimos son los siguientes:

Pues bien, ahora es el momento de introducir de manera rigurosa el valor absoluto de un número real y de ver sus propiedades.

Concretamente, dado un número real \(a\), se define su valor absoluto, \(|a|\), de la siguiente forma:

\[|a|=\begin{cases}\ \ \ a\quad\text{si}\quad a\geq0\\-a\quad\text{si}\quad a<0\end{cases}\]

Ya hemos hablado antes de la recta real y de cómo se representan los números reales sobre la misma. Nuestra intuición rápidamente nos da una idea clara de lo que significa la distancia entre dos números reales \(x\) e \(y\). Si, por ejemplo, \(x<y\), la distancia entre \(x\) e \(y\) será igual a \(y-x\). Así pues la distancia entre los números \(-3\) y \(7\) es \(7-(-3)=10\). Pues bien, lo que se infiere de la definición de valor absoluto, es que el valor absoluto de un número real \(a\) es la distancia de ese número \(a\) al número \(0\), origen de la recta real.

Con un ejemplo numérico se verá mejor. Según la definición, como \(-8<0\) su valor absoluto será \(|-8|=-(-8)=8\). Y \(8\) es precisamente la distancia de \(-8\) al origen.

Vamos a obtener algunas propiedades básicas del valor absoluto, propiedades cuya demostración es sencilla utilizando la propia definición de valor absoluto, y las propiedades de cuerpo ordenado que tiene el conjunto de los números reales.

Propiedades del valor absoluto

1.  \(|a|\geq0\,,\,\forall\,a\,\in\mathbb{R}\).

2.  Si \(a\,\in\mathbb{R}\), entonces \(|a|=0\Leftrightarrow a=0\).

3.  \(a\leq|a|\,,\,\forall\,a\,\in\mathbb{R}\).

4.  \(|a|=|-a|\,,\,\forall\,a\,\in\mathbb{R}\).

5.  \(|ab|=|a||b|\,,\,\forall\,a,\,b\,\in\mathbb{R}\).

6.  \(\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}\,,\,\forall\,a,\,b\,\in\mathbb{R}\).

Se podrá pensar que para qué demostrar las propiedades anteriores, cuando parecen evidentes por sí mismas, teniendo en cuenta la interpretación geométrica que le hemos dado al valor absoluto de un número real (recuérdese: la distancia de ese número al origen). De hecho, las vamos a comentar una por una desde esta perspectiva.

1. La distancia de un número al origen es siempre o cero o positiva.

2. Decir que la distancia de un número al origen es cero es equivalente a decir que ese número es el propio \(0\).

3. La distancia de un número al origen es siempre mayor o igual que ese número.

4. La distancia de un número al origen es igual que la distancia del opuesto de ese número al origen.

5. La distancia del producto de dos números al origen es igual que el producto de las distancias de esos dos números al origen.

6. La distancia del cociente de dos números al origen es igual que el cociente de las distancias de esos dos números al origen.

Sin embargo, tal y como hemos venido haciendo hasta ahora, vamos a demostrar las propiedades del valor absoluto de manera rigurosa.

Demostraciones de las propiedades del valor absoluto

Propiedad 1

Por la propia definición de valor absoluto de un número real \(a\):

\[|a|=\begin{cases}\ \ \ a\quad\text{si}\quad a\geq0\\-a\quad\text{si}\quad a<0\Rightarrow-a\geq0\end{cases}\]

es obvio que \(|a|\geq0\).

Propiedad 2

\(\Rightarrow)\) Supongamos que \(|a|=0\). Si fuera \(a\geq0\), entonces, por definición de valor absoluto, \(|a|=a=0\). Ahora bien si fuera \(a<0\), entonces \(|a|=-a=0\Rightarrow a=0\). En cualquier caso hemos demostrado que si \(|a|=0\), entonces \(a=0\).

\(\Leftarrow)\) Si \(a=0\), entonces, por definición de valor absoluto, \(|a|=a=0\).

Propiedad 3

Distinguiremos tres casos: \(a=0\),  \(a>0\) y \(a<0\).

Si \(a=0\), entonces \(|a|=0\geq0=a\).

Si \(a>0\), entonces \(|a|=a\geq a\).

Si \(a<0\), entonces \(|a|=-a>0>a\).

Propiedad 4

Procederemos como en la propiedad anterior.

 Si \(a=0\), entonces \(|a|=|0|=0=-a=|-a|\).

Si \(a>0\), entonces \(|a|=a=-(-a)=|-a|\), ya que \(-a<0\).

Si \(a<0\), entonces \(|a|=-a=|-a|\), ya que \(-a>0\).

Propiedad 5

Para demostrar esta propiedad distinguiremos todos los casos posibles para los números reales de \(a\) y \(b\).

Si \(a\neq0,\,b=0\), entonces \(|ab|=|a0|=|0|=0=|a|0=|a||0|=|a||b|\).

Si \(a=0,\,b\neq0\), entonces \(|ab|=|0b|=|0|=0=0|b|=|0||b|=|a||b|\).

Si \(a>0,\,b>0\), entonces \(ab>0\Rightarrow|ab|=ab=|a||b|\).

Si \(a<0,\,b<0\), entonces \(ab>0\Rightarrow|ab|=ab=(-a)(-b)=|a||b|\).

Si \(a>0,\,b<0\), entonces \(ab<0\Rightarrow|ab|=-(ab)=a(-b)=|a||b|\).

Si \(a<0,\,b>0\), entonces \(ab<0\Rightarrow|ab|=-(ab)=(-a)b=|a||b|\).

Propiedad 6

Para demostrar esta propiedad se procederá de manera similar a como se ha hecho en la propiedad anterior.

Si \(a\neq0,\,b=0\), entonces \(\left|\dfrac{a}{b}\right|=\left|\dfrac{0}{b}\right|=|0|=0=\dfrac{|0|}{|b|}=\dfrac{|a|}{|b|}\).

Si \(a>0,\,b>0\), entonces \(\dfrac{a}{b}>0\Rightarrow\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{a}{b}=\dfrac{|a|}{|b|}\).

Si \(a<0,\,b<0\), entonces \(\dfrac{a}{b}>0\Rightarrow\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{|a|}{|b|}\).

Si \(a>0,\,b<0\), entonces \(\dfrac{a}{b}<0\Rightarrow\left|\dfrac{a}{b}\right|=-\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{-b}=\dfrac{|a|}{|b|}\).

Si \(a<0,\,b>0\), entonces \(\dfrac{a}{b}<0\Rightarrow\left|\dfrac{a}{b}\right|=-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{|a|}{|b|}\).

Definición de distancia entre dos números reales

Retomando la interpretación geométrica del valor absoluto tenemos que, dados dos números reales cualesquiera \(a\) y \(b\), con \(a<b\), entonces \(b-a>0\) y \(a-b<0\) y, por tanto,

\[|b-a|=b-a=-(a-b)=|a-b|\]

Si hubiera sido \(a>b\), entonces \(b-a<0\) y \(a-b>0\), con lo que, en este caso,

\[|b-a|=-(b-a)=a-b=|a-b|\]

Finalmente, si \(a=b\), es obvio que \(|a-b|=|0|=|b-a|\).

Hemos demostrado pues que dados dos números reales cualesquiera \(a\) y \(b\), se tiene que

\[|b-a|=|a-b|\]

Aunque utilizando la propiedad 4 hubiera sido mucho más rápido: \(|a-b|=|-(a-b)|=|b-a|\). Este es un ejemplo de que a veces es mejor usar las propiedades y no la propia definición.

Al número real \(|b-a|\) se le suele llamar distancia entre \(a\) y \(b\). Lo que hemos demostrado anteriormente es que la distancia entyre \(a\) y \(b\) es la misma que la distancia entre \(b\) y \(a\).

numero real 5

Con el valor absoluto hacemos referencia a la idea intuitiva de distancia, que es la distancia mínima o distancia en línea recta.

Vamos a demostrar finalmente otras tres propiedades importantes del valor absoluto.

Proposición

i) Si \(a,\,b\in\mathbb{R}\), entonces \(|a|\leq b\Leftrightarrow-b\leq a\leq b\).

ii) \(|a+b|\leq|a|+|b|\ ,\,\forall\,a,\,b\in\mathbb{R}\).

iii) \(\left||a|-|b|\right|\leq|a-b|\ ,\,\forall\,a,\,b\in\mathbb{R}\).

Demostración

 i) Supongamos que \(|a|\leq b\). Entonces, usando las propiedades 3 y 4 anteriores, \(a\leq|a|\leq b\) y también \(-a\leq|-a|=|a|\leq b\), de donde \(-b\leq a\leq b\).

Recíprocamente, si \(-b\leq a\leq b\), puede ocurrir \(a\geq0\) y entonces \(|a|=a\leq b\), o bien \(a<0\) y \(|a|=-a\leq b\) porque \(-b\leq a\), luego en cualquier caso \(|a|\leq b\) como se quería demostrar.

ii) Es claro que \(-|a|\leq a\leq|a|\) y \(-|b|\leq b\leq|b|\) de donde \(-(|a|+|b|)\leq a+b\leq|a|+|b|\), con lo que, aplicando la parte i) obtenemos \(|a+b|\leq|a|+|b|\).

iii) En virtud de ii) tenemos:

\[|a|=|(a-b)+b|\leq|a-b|+|b|\Rightarrow|a|-|b|\leq|a-b|\]

\[|b|=|(b-a)+a|\leq|b-a|+|a|=|a-b|+|a|\Rightarrow -|a-b|\leq|a|-|b|\]

Entonces, otra vez por la parte i), queda finalmente que \(||a|-|b||\leq|a-b|\), tal y como queríamos demostrar.

La propiedad de la parte i) de la proposición anterior es muy útil para resolver algunas inecuaciones sencillas. Por ejemplo, para obtener los valores de \(x\) que cumplen la desigualdad \(|x-4|\leq2\), se procede de la siguiente manera:

\[|x-4|\leq2\Leftrightarrow-2\leq x-4\leq2\Leftrightarrow-2+4\leq x-4+4\leq2+4\Leftrightarrow2\leq x\leq6\]

Por tanto la solución es el conjunto \(\{x\in\mathbb{R}\,:\,2\leq x\leq6\}\), o lo que es lo mismo, el intervalo cerrado \([2,\,6]\).

Si lo que se desea es resolver la inecuación \(|x-4|>2\), se plantea justo la contraria, \(|x-4|\leq2\), que es la que hemos resuelto anteriormente. La solución será también la contraria de la solución anterior, es decir, \(\mathbb{R}-[2,\,6]=(-\infty,\,2)\cup(2,\,+\infty)\).

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