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La regla de Cramer

Consideremos un sistema de \(n\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas como el siguiente:

\[\left\{\begin{array}{c}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\
    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\
    .................................... \\
    a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\ldots+a_{nn}x_n=b_n
  \end{array}
\right.\]

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema son las siguientes:

\[A=\left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
    \end{array}
  \right)\quad;\quad
  A|b=\left(
    \begin{array}{cccc|c}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
      a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\
    \end{array}
  \right)
\]

Según el teorema de Rouché, si el rango de la matriz de los coeficientes es igual que el rango de la matriz ampliada el sistema es compatible. Si además, dicho rango coincide con el número de incógnitas, es decir, si \(r(A)=r(A|b)=n\), entonces el sistema es compatible determinado, o sea, que tiene solución única. La condición necesaria y suficiente para que se cumpla lo anterior es que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero, es decir:

\[|A|\neq0\Leftrightarrow r(A)=r(A|B)=n\]

En este caso, la solución del sistema viene dada por según una serie de identidades que se conocen con el nombre de regla de Cramer:

\[x_1=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
              b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              b_n & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

\[x_2=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n} \\
              a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n} \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              a_{n1} & b_n & \ldots & a_{nn}
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

\[\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\]

\[x_n=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1 \\
              a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2 \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              a_{n1} & a_{n2} & \ldots & b_n
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

Obsérvese que, en la práctica, para obtener la incógnita \(x_i\) se dividen los valores de dos determinantes. El del numerador es el mismo que el de la matriz de los coeficientes, con la salvedad de que la columna \(i\) se sustituye por la columna de los términos independientes. El denominador es el determinante de la matriz de los coeficientes en todos los casos.

Veamos algunos ejemplos de aplicación de la regla de Cramer.

Ejemplo 1

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases}
  8x-6y+2z=-1\\
  3x+y-z=10\\
  -x+3y-2z=5
\end{cases}\]

El determinante de la matriz de los coeficientes es:

\[|A|=\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -6 & 2 \\
              3 & 1 & -1\\
              -1 & 3 & -2
            \end{array}
\right|=(-16-6+18)-(-2+36-24)=-4-10=-14\]

Como el determinante anterior es distinto de cero el sistema es compatible determinando (rango de la matriz de los coeficientes, igual al rango de la matriz ampliada, igual a tres, que es el número de incógnitas). Aplicando la regla de Cramer obtenemos las soluciones:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              -1 & -6 & 2 \\
              10 & 1 & -1\\
              5 & 3 & -2
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(2+30+60)-(10+120+3)}{-14}=\frac{92-133}{-14}=\frac{-41}{-14}=\frac{41}{14}\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -1 & 2 \\
              3 & 10 & -1\\
              -1 & 5 & -2
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(-160-1+30)-(-20+6-40)}{-14}=\frac{-131+54}{-14}=\frac{-77}{-14}=\frac{77}{14}=\frac{11}{2}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -6 & -1 \\
              3 & 1 & 10\\
              -1 & 3 & 5
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(40+60-9)-(1-90+240)}{-14}=\frac{91-151}{-14}=\frac{-60}{-14}=\frac{30}{7}\]

Ejemplo 2

La regla de Cramer también es útil cuando el sistema es compatible indeterminado. Consideremos el sistema siguiente:

\[\begin{cases}
  x+y+z+t=4\\
  x-y+z=1\\
  y-z+t=1
\end{cases}\]

La matriz de los coeficientes es

\[A=\left(\begin{array}{cccc}
            1 & 1 & 1 & 1 \\
            1 & -1 & 1 & 0 \\
            0 & 1 & -1 & 1
          \end{array}
\right)\]

cuyo rango es 3 porque contienen un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & 1 \\
          1 & -1 & 1 \\
          0 & 1 & -1
        \end{array}
\right|=(1+1)-(-1+1)=2-0=2\]

Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 3 (el menor anterior nos serviría para demostrarlo) y, como el número de incógnitas es 4, el sistema es compatible determinado. El grado de libertad del sistema es igual al número de incógnitas menos el rango, en este caso, es igual a 1. Si llamamos \(t=\lambda\) el sistema lo podemos reescribir así:

\[\begin{cases}
  x+y+z=4-\lambda\\
  x-y+z=1\\
  y-z=1-\lambda
\end{cases}\]

El determinante hallado anteriormente es el determinante de la matriz de los coeficientes de este sistema, es decir, \(|A|=2\). Aplicando la regla de Cramer tenemos:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              4-\lambda & 1 & 1 \\
              1 & -1 & 1\\
              1-\lambda & 1 & -1
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(4-\lambda+1-\lambda+1)-(-1+\lambda-1+4-\lambda)}{2}=\frac{4-2\lambda}{2}=2-\lambda\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              1 & 4-\lambda & 1 \\
              1 & 1 & 1\\
              0 & 1-\lambda & -1
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(-1+1+\lambda)-(-4+\lambda+1-\lambda)}{2}=\frac{3-\lambda}{2}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              1 & 1 & 4-\lambda \\
              1 & -1 & 1\\
              0 & 1 & 1-\lambda
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(-1+\lambda+4-\lambda)-(1-\lambda+1)}{2}=\frac{1+\lambda}{2}\]

Por tanto, las soluciones son:

\[(x,y,z,t)=\left(2-\lambda,\frac{3-\lambda}{2},\frac{1+\lambda}{2},\lambda\right)\]

Soluciones que también podemos escribir del siguiente modo:

\[(x,y,z,t)=\left(2,\frac{3}{2},\frac{1}{2},0\right)+\lambda\left(-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)\]

Desde el punto de vista geométrico, la igualdad anterior viene ser la ecuación vectorial de una recta en un espacio de dimensión cuatro. O sea, que el sistema de ecuaciones del cual hemos extraído las soluciones no es otra cosa que una recta en el hiperespacio.

Ejemplo 3

Usando la regla de Cramer también podemos hallar el punto de corte de dos rectas. Por ejemplo, sean las rectas

\[r\equiv\begin{cases}
x+2y-z=1\\
-x+y-3z=2
\end{cases}\quad;\quad
s\equiv\begin{cases}
x+y=0\\
3x+2y+z=a
\end{cases}\]

Vamos a hallar el valor del parámetro \(a\) para el que ambas rectas son secantes y, para ese valor de \(a\), hallaremos el punto de corte. El sistema de ecuaciones formado por ambas rectas es

\[\begin{cases}
  x+2y-z=1\\
  -x+y-3z=2\\
  x+y=0\\
  3x+2y+z=a
\end{cases}\]

La matriz de los coeficientes es

\[A=\left(\begin{array}{ccc}
                   1 & 2 & -1 \\
                   -1 & 1 & -3 \\
                   1 & 1 & 0 \\
                   3 & 2 & 1
                 \end{array}\right)\]

cuyo rango es 3 ya que contiene un menor de orden tres distinto de cero, por ejemplo

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 2 & -1 \\
          -1 & 1 & -3 \\
          1 & 1 & 0
        \end{array}
\right|=(-6+1)-(-1-3)=-5+4=-1\neq0\]

La matriz ampliada \(A|b\) es una matriz cuadrada de orden 4. Hallemos su determinante:

\[\left|\begin{array}{cccc}
          1 & 2 & -1 & 1 \\
          -1 & 1 & -3 & 2 \\
          1 & 1 & 0 & 0 \\
          3 & 2 & 1 & a
        \end{array}\right|=
\left|\begin{array}{cccc}
          1 & 1 & -1 & 1 \\
          -1 & 2 & -3 & 2 \\
          1 & 0 & 0 & 0 \\
          3 & -1 & 1 & a
        \end{array}\right|=\]

\[=\left|\begin{array}{ccc}
        1 & -1 & 1 \\
        2 & -3 & 2 \\
        -1 & 1 & a
      \end{array}
\right|=\left|\begin{array}{ccc}
        1 & -1 & 1 \\
        0 & -1 & 0 \\
        0 & 0 & a+1
      \end{array}
\right|=-a-1\]

De lo anterior se deduce que si \(a\neq-1\), el determinante anterior es distinto de cero, o lo que es lo mismo, el rango de la matriz ampliada es \(4\). Y como el rango de la matriz de los coeficientes es \(3\), el sistema será incompatible. En este caso las rectas no serán secantes (serán paralelas o se cruzarán).

Sin embargo, si \(a=-1\), el determinante anterior es igual a cero, con lo que el rango de la matriz ampliada y el de la matriz de los coeficientes es tres, igual que el número de incógnitas. Se trata pues de un sistema compatible determinado (solución única). Es decir, ambas rectas se cortan en un punto. Para hallar el punto de corte resolvemos el sistema. Como el rango es tres, podemos eliminar una de las ecuaciones y usar la regla de Cramer. Es decir, resolveremos el sistema siguiente:

\[\begin{cases}
  x+2y-z=1\\
  -x+y-3z=2\\
  x+y=0\\
\end{cases}\]

Ya hemos visto que el determinante de la matriz de los coeficientes es igual a \(-1\). Por tanto, por la regla de Cramer:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 2 & -1 \\
                  2 & 1 & -3 \\
                  0 & 1 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(-2)-(-3)}{-1}=\frac{1}{-1}=-1\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -1 \\
                  -1 & 2 & -3 \\
                  1 & 0 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(-3)-(-2)}{-1}=\frac{-1}{-1}=1\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 2 & 1 \\
                  -1 & 1 & 2 \\
                  1 & 1 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(4-1)-(1+2)}{-1}=\frac{0}{-1}=0\]

Resumiendo, si \(a=1\), las rectas son secantes y el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\) es el punto \((-1,1,0)\).


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Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro

Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que dependan de un parámetro. Recordemos pues, en primer lugar, el enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius.

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}\\
{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}\\
\,\,\,.................................\\
{a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{mn}}{x_n} = {b_m}
\end{array} \right.\]

un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas y sean también

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}\,\,\,\,{a_{12}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}\,\,\,\,{a_{22}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{2n}}}\\
{.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,}\\
{{a_{m1}}\,\,\,\,{a_{m2}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{mn}}}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}\,\,\,\,{a_{12}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{1n}}\,\,\,\,{b_1}}\\
{{a_{21}}\,\,\,\,{a_{22}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{2n}}\,\,\,\,{b_2}}\\
{.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,}\\
{{a_{m1}}\,\,\,\,{a_{m2}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{mn}}\,\,\,\,{b_m}}
\end{array}} \right)\]

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada, respectivamente, asociadas al sistema. Llamemos \(r(A)\) al rango de la matriz \(A\) y \(r(A|b)\) al rango de la matriz ampliada. Entonces:

1. Si \(r(A)\neq r(A|b)\) el sistema es incompatible (no tiene solución).

2. Si \(r(A)=r(A|b)\) el sistema es compatible. Además:

2.1. Si \(r(A)=r(A|b)=n\), el sistema es compatible determinado (solución única).

2.2. Si \(r(A)=r(A|b)<n\), el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). En este caso, llamando \(r\) al rango, se pueden expresar \(r\) incógnitas en función de las \(n-r\) restantes. Al número \(n-r\) se le llama grado de libertad del sistema.

Ejemplo 1

En el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x + 2y + 5z - t = 2\\
2x - y - z + t = 3\\
x + y + 3z - 2t = 4
\end{array} \right.\]

tenemos que

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5&{ - 1}\\
2&{ - 1}&{ - 1}&1\\
1&1&3&{ - 2}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5&{ - 1}&2\\
2&{ - 1}&{ - 1}&1&3\\
1&1&3&{ - 2}&4
\end{array}} \right)\]

Ya vimos en otro artículo cómo calcular el rango de una matriz usando los determinantes. En este caso, tanto el rango de la matriz de los coeficientes, como el rango de la matriz ampliada, es al menos tres. Pero es que hay por lo menos un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5\\
2&{ - 1}&{ - 1}\\
1&1&3
\end{array}} \right| = \left( { - 9 - 2 + 10} \right) - \left( { - 5 + 12 - 3} \right) =  - 1 - 4 =  - 5 \ne 0\]

Por tanto \(r = r(A) = r(A|b) = 3 < 4 = n\), con lo que, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Como su grado de libertad es \(n - r = 4 - 3 = 1\), entonces tres de las incógnitas se expresarán en función de una restante. Usando el menor distinto de cero que hemos escogido anteriormente (formado por las tres primeras columnas), tomaremos como incógnita libre la última, que pasaremos al segundo miembro, y aplicaremos la regla de Cramer. Es decir, si llamamos \(t=\lambda\), el sistema se puede escribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x + 2y + 5z = 2 + \lambda \\
2x - y - z = 3 - \lambda \\
x + y + 3z = 4 + 2\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 + \lambda }&2&5\\
{3 - \lambda }&{ - 1}&{ - 1}\\
{4 + 2\lambda }&1&3
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{5 + 5\lambda }}{{ - 5}} =  - 1 - \lambda \,\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{2 + \lambda }&5\\
2&{3 - \lambda }&{ - 1}\\
1&{4 + 2\lambda }&3
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{50 + 15\lambda }}{{ - 5}} =  - 10 - 3\lambda\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&{2 + \lambda }\\
2&{ - 1}&{3 - \lambda }\\
1&1&{4 + 2\lambda }
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{ - 25 - 10\lambda }}{{ - 5}} = 5 + 2\lambda\]

Ejemplo 2

Dado el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x + y - z = 4\\
x - y + 2z = 1\\
x + 2y + z = 0\\
x + 2y + 5z =  - 3
\end{array} \right.\]

tenemos que la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son las siguientes:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
1&2&1\\
1&2&5
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}&4\\
1&{ - 1}&2&1\\
1&2&1&0\\
1&2&5&{ - 3}
\end{array}} \right)\]

En este caso \(r(A)=3\), ya que hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
1&2&1
\end{array}} \right| = \left( { - 2 + 2 - 2} \right) - \left( {1 + 1 + 8} \right) =  - 2 - 10 =  - 12 \ne 0\]

Y también \(r(A|b)=3\), pues el único menor de orden cuatro (el menor principal de orden cuatro) es igual a cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}&4\\
1&{ - 1}&2&1\\
1&2&1&0\\
1&2&5&{ - 3}
\end{array}} \right| = \begin{array}{*{20}{c}}
{{f_1} - 2{f_2}}\\
{{f_2} - {f_3}}\\
{}\\
{{f_4} - {f_3}}
\end{array} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&3&{ - 5}&2\\
0&{ - 3}&1&1\\
1&2&1&0\\
0&0&4&{ - 3}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 5}&2\\
{ - 3}&1&1\\
0&4&{ - 3}
\end{array}} \right| = 0\]

Obsérvese las transformaciones que se han hecho para hallar el determinante. Primero hemos hecho ceros teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes (se pueden hacer de muchas otras formas distintas) y luego hemos desarrollado por los elementos de la primera columna. El último determinante (el de orden tres) es igual a cero porque la última fila es igual a la opuesta de la primera menos la segunda (aunque también se puede calcular aplicando la regla de Sarrus).

Por tanto \(r(A) = r(A|b) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única). Para resolverlo podemos eliminar la última ecuación pues, por ser \(r(A|b) = 3\), dependerá linealmente de las demás. Las soluciones son:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
0&2&1
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( { - 4 - 2} \right) - \left( {1 + 16} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{ - 6 - 17}}{{ - 12}} = \frac{{23}}{{12}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&4&{ - 1}\\
1&1&2\\
1&0&1
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( {2 + 8} \right) - \left( { - 1 + 4} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{10 - 3}}{{ - 12}} =  - \frac{7}{{12}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&4\\
1&{ - 1}&1\\
1&2&0
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( {1 + 8} \right) - \left( { - 4 + 4} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{9 - 0}}{{ - 12}} =  - \frac{9}{{12}} =  - \frac{3}{4}\]

Sistemas que dependen de un parámetro

Es corriente que, dado un sistema de ecuaciones lineales, alguno o algunos de los coeficientes o de los términos independientes sean desconocidos y dependan de uno o más parámetros. Discutir un sistema de ecuaciones dependiente de uno o más parámetros es identificar para qué valores de los parámetros el sistema es compatible, distinguiendo los casos en que es determinado o indeterminado.

Es posible discutir sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Aquí veremos cómo hacerlo con la ayuda de los determinantes. Como mejor se entiende es viendo algunos ejemplos.

Ejemplo 3

Discutiremos el sistema de ecuaciones

\[\left\{ \begin{array}{l}
ax + y + z = 2a\\
x - y + z = a - 1\\
x + (a - 1)y + az = a + 3
\end{array} \right.\]

según los valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1\\
1&{ - 1}&1\\
1&{a - 1}&a
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1&{2a}\\
1&{ - 1}&1&{a - 1}\\
1&{a - 1}&a&{a + 3}
\end{array}} \right)\]

El rango de ambas es al menos dos pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| = 1 - ( - 1) = 2\]

Además

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1\\
1&{ - 1}&1\\
1&{a - 1}&a
\end{array}} \right| = ( - {a^2} + 1 + a - 1) - ( - 1 + a + {a^2} - a) =\]

\[= ( - {a^2} + a) - ({a^2} - 1) =  - 2{a^2} + a + 1\]

Entonces \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow  - 2{a^2} + a + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - \frac{1}{2}\\
a = 1
\end{array} \right.\,\).

Veamos ahora las distintas opciones que se pueden presentar.

Si \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), \(\left| A \right| \ne 0\) y entonces \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única).

Si \(a =  - \frac{1}{2}\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1/2}&1&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&1&{ - 3/2}\\
1&{ - 3/2}&{ - 1/2}&{5/2}
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es tres, pues hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1/2}&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&{ - 3/2}\\
1&{ - 3/2}&{5/2}
\end{array}} \right| = \left( {\frac{5}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}} \right) - \left( {1 + \frac{5}{2} - \frac{9}{8}} \right) = \frac{5}{4} - \frac{{19}}{8} =  - \frac{9}{8} \ne 0\]

Por tanto, en este caso, \(r\left( A \right) = 2 \ne r\left( {A|b} \right) = 3\), con lo que el sistema es incompatible.

Finalmente, si \(a=1\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&2\\
1&{ - 1}&1&0\\
1&0&1&4
\end{array}} \right)\]

cuyo rango también es tres pues vuelve a haber un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2\\
1&{ - 1}&0\\
1&0&4
\end{array}} \right| = ( - 4 + 0 + 0) - ( - 2 + 4 + 0) =  - 4 - 2 =  - 6 \ne 0\]

Por tanto, otra vez \(r\left( A \right) = 2 \ne r\left( {A|b} \right) = 3\), y el sistema vuelve a ser incompatible.

En el primer caso, cuando \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), podemos hallar la solución única aplicando la regla de Cramer. Recordemos que \(\left| A \right| =  - 2{a^2} + a + 1\). Entonces:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2a}&1&1\\
{a - 1}&{ - 1}&1\\
{a + 3}&{a - 1}&a
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( { - 2{a^2} + a + 3 + {a^2} - 2a + 1} \right) - \left( { - a - 3 + {a^2} - a + 2{a^2} - 2a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \]

\[= \frac{{\left( { - {a^2} - a + 4} \right) - \left( {3{a^2} - 4a - 3} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{ - 4{a^2} + 3a + 7}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&{2a}&1\\
1&{a - 1}&1\\
1&{a + 3}&a
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( {{a^3} - {a^2} + 2a + a + 3} \right) - \left( {a - 1 + 2{a^2} + {a^2} + 3a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \]

\[= \frac{{\left( {{a^3} - {a^2} + 3a + 3} \right) - \left( {3{a^2} + 4a - 1} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&{2a}\\
1&{ - 1}&{a - 1}\\
1&{a - 1}&{a + 3}
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( { - {a^2} - 3a + a - 1 + 2{a^2} - 2a} \right) - \left( { - 2a + a + 3 + {a^3} - 2{a^2} + a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} =\]

\[= \frac{{\left( {{a^2} - 4a - 1} \right) - \left( {{a^3} - 2{a^2} + 3} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{ - {a^3} + 3{a^2} - 4a - 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

Como se puede apreciar, para cada valor del parámetro   hay un sistema distinto y su correspondiente solución única. Por ejemplo, si \(a=-1\), tendríamos que \(x=0\), \(y=0\), \(z=-2\) (¡compruébese!).

Hay una interpretación geométrica de todo esto. Sabemos que una ecuación lineal del primer grado con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Pues bien, si \(a=-\frac{1}{2}\) o \(a=1\), los tres planos no tienen ningún punto en común.

Sin embargo, si \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), los tres planos tienen un punto en común, el punto de coordenadas

\[\left( {\frac{{ - 4{a^2} + 3a + 7}}{{ - 2{a^2} + a + 1}},\frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}},\frac{{ - {a^3} + 3{a^2} - 4a - 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}} \right)\]

Ejemplo 4

Dados los planos \(\alpha  \equiv x + y + z = 1\), \(\beta  \equiv ax + y = 1\), \(\gamma  \equiv x + (a + 1)z = 0\), determinar la posición relativa de los mismos según los valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

Planteemos el sistema formado por los tres planos:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
ax + y = 1\\
x + (a + 1)z = 0
\end{array} \right.\]

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
a&1&0&1\\
1&0&{a + 1}&0
\end{array}} \right)\]

El rango de ambas es al menos dos pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&0
\end{array}} \right| = 0 - 1 =  - 1 \ne 0\]

Además, el determinante de \(A\) es

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right| = (a + 1 + 0 + 0) - (1 + a(a + 1) + 0) = (a + 1) - (1 + {a^2} + a) =  - {a^2}\]

Entonces \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow  - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0\).

Los distintos casos que se pueden dar los analizamos a continuación.

Si \(a\ne0\), entonces \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única). Esta solución es:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&1&0\\
0&0&{a + 1}
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = 0\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = \frac{{\left( {a + 1} \right) - \left( {1 + {a^2} + a} \right)}}{{ - {a^2}}} = \frac{{ - {a^2}}}{{ - {a^2}}} = 1\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&1\\
1&0&0
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = 0\]

Si \(a=0\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&0&1\\
1&0&1&0
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es dos pues todos los menores de orden tres son iguales a cero. También es fácil decidir que el rango es dos argumentando que la tercera fila es la primera menos la segunda.

Por tanto, en este caso, \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 2 < 3 = n\), con lo que el sistema es compatible indeterminado, es decir,  hay infinitas soluciones. Vamos a hallarlas. El grado de libertad del sistema es \(3-2=1\), con lo que una incógnita va libre y las otras dos dependen de ella. Pongamos pues \(z=\lambda\) y eliminemos la última ecuación. El sistema es el siguiente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
y = 1
\end{array} \right.\]

Rápidamente vemos que las soluciones del sistema anterior son \(x=-\lambda\), \(y=1\), \(z=\lambda\).

La interpretación geométrica de los dos casos anteriores es la siguiente.

Si \(a\ne0\) los tres planos se cortan en un punto de coordenadas

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,1,0} \right)\]

Si \(a=0\) los tres planos se cortan según una recta de ecuación vectorial

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( { - \lambda ,1,\lambda } \right) = \left( {0,1,0} \right) + \lambda \left( { - 1,0,1} \right)\]

Ejemplo 5

Discutamos por último el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 5\\
y + z = a\\
x - 2z = 3\\
2x - 3z = a
\end{array} \right.\]

para los diferentes valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}\\
2&0&{ - 3}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
0&1&1&a\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right)\]

El rango de la matriz \(A\) es tres, pues hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right| =  - 2 - 1 =  - 3\]

Hallemos el determinante de la matriz \(A|b\), que es cuadrada de orden cuatro:

\[\left| {A|b} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
0&1&1&a\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
1&0&1&{a + 5}\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{a + 5}\\
1&{ - 2}&3\\
2&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \]

\[ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{a + 5}\\
0&{ - 3}&{ - a - 2}\\
0&{ - 5}&{ - a - 10}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}&{ - a - 2}\\
{ - 5}&{ - a - 10}
\end{array}} \right| = (3a + 30) - (5a + 10) =  - 2a + 20\]

Se deja al lector que analice las propiedades de los determinantes que se han utilizado para calcular el determinante anterior. Por tanto \(\left| B \right| = 0 \Leftrightarrow a = 10\), con lo que podemos hacer la siguiente discusión:

Si \(a \ne 10 \Rightarrow r\left( {A|b} \right) = 4 \ne r\left( A \right) = 3\) y el sistema es incompatible.

Si \(a = 10 \Rightarrow r\left( {A|b} \right) = r\left( A \right) = 3\) y el sistema es compatible determinado (solución única). En este caso el sistema adopta la forma siguiente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 5\\
y + z = 10\\
x - 2z = 3\\
2x - 3z = 10
\end{array} \right.\]

Podemos eliminar la última ecuación y aplicar la regla de Cramer para obtener la solución del sistema.

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
5&{ - 1}&0\\
{10}&1&1\\
3&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{( - 10 - 3 + 0) - (0 + 20 + 0)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 33}}{{ - 3}} = 11\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&5&0\\
0&{10}&1\\
1&3&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{( - 20 + 5 + 0) - (0 + 0 + 3)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 18}}{{ - 3}} = 6\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&5\\
0&1&{10}\\
1&0&3
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{(3 - 10 + 0) - (5 + 0 + 0)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 12}}{{ - 3}} = 4\]


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Rango de una matriz usando determinantes

En un artículo anterior dijimos que el rango de una matriz \(A\), \(r(A)\), es el número de filas que son linealmente independientes. También se hizo uso del método de Gauss para calcular el rango de una matriz: una vez aplicado el método, el rango de una matriz coincide con el número de filas no nulas.

Pero hay otro método, en muchos casos más eficiente, para calcular rangos de matrices. Para ello haremos uso de los determinantes.

Antes de nada daremos algunas definiciones. Para ello supongamos que tenemos una matriz de orden \(m\times n\): \(A\in \mathcal{M}_{m\times n}\).

  • Se llama submatriz de \(A\) a cualquier matriz que se obtenga a partir de \(A\) suprimiendo filas y columnas.
  • Si una submatriz de \(A\) es cuadrada de orden \(k\), a su determinante se le llama menor de orden \(k\) de la matriz \(A\).
  • Al menor formado por las \(k\) primeras filas y las \(k\) primeras columnas de \(A\) se le llama menor principal de orden \(k\) y lo denotaremos \(\delta_k\). Si la matriz \(A\) es cuadrada, es decir, si \(m=n\), entonces \(\delta_n=|A|\).

Veamos un ejemplo para entender las definiciones anteriores.

Supongamos que tenemos la matriz

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&3&4&{ - 6}\\
2&0&9&{ - 5}\\
1&1&{ - 1}&0\\
2&{ - 4}&4&{ - 7}
\end{array}} \right)\]

Entonces, por un lado, el menor de orden dos formado por las filas tercera y cuarta y por las columnas segunda y tercera; y por otro, el menor principal de orden tres, son los siguientes:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
{ - 4}&4
\end{array}} \right|\quad;\quad \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&3&4\\
2&0&9\\
1&1&{ - 1}
\end{array}} \right|\]

Ahora ya estamos en condiciones de definir el rango de una matriz.

Definición

Se define el rango de una matriz \(A\in\mathcal{M}_{m\times n}\) como el mayor orden de los menores no nulos de \(A\). Al rango de la matriz \(A\) lo denotaremos por \(r(A)\).

Por ejemplo, dada la matriz

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4&0\\
1&3&2&{ - 2}\\
2&1&2&2
\end{array}} \right)\]

vemos claramente que hay más de un menor de orden dos distinto de cero. Por ejemplo, el menor principal de orden dos es

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4\\
1&3
\end{array}} \right| = 9 - 4 = 5 \ne 0\]

Esto quiere decir que el rango de la matriz \(A\) es, como mínimo, \(2\). Si hubiera algún menor de orden tres distinto de cero el rango sería igual a \(3\). Pero resulta que

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4\\
1&3&2\\
2&1&2
\end{array}} \right| = 0\quad;\quad\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&0\\
1&3&{ - 2}\\
2&1&2
\end{array}} \right| = 0\]

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&0\\
1&2&{ - 2}\\
2&2&2
\end{array}} \right| = 0\quad;\quad\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&4&0\\
3&2&{ - 2}\\
1&2&2
\end{array}} \right| = 0\]

Es decir, todos los menores de orden tres son iguales a cero, con lo que el rango de la matriz no es \(3\). Por tanto \(r(A)=2\). Obsérvese que, en este caso, también habría sido fácil decidir que el rango es dos porque la última fila de la matriz \(A\) es la diferencia de las dos primeras, es decir, las tres filas no son linealmente independientes, sino que únicamente lo son dos de ellas y por eso el rango de la matriz \(A\) es \(2\).

El rango de una matriz tiene algunas propiedades de interés que pasamos a enumerar a continuación.

  • El rango de una matriz no varía si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas.
  • Si una matriz \(A\) tiene una fila o columna de ceros, el rango de \(A\) coincide con el de la matriz que se obtiene al suprimir esta fila o esta columna.
  • El rango de una matriz no cambia si se suprime una fila o columna que sea combinación lineal de las restantes.

Utilizando la propiedad número 3 y la observación realizada anteriormente podríamos escribir

\[\text{rango}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4&0\\
1&3&2&{ - 2}\\
2&1&2&2
\end{array}} \right) = \text{rango}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&4&4&0\\
1&3&2&{ - 2}
\end{array}} \right)=2\]

Esta forma de calcular rangos utilizando los determinantes es más eficiente que el método de Gauss cuando se trata de calcular el rango de una matriz que depende de uno o más parámetros.

Así, por ejemplo, discutamos para los distintos valores de \(m\in\mathbb{R}\), el rango de la  matriz

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
{m + 1}&3&{m - 1}\\
{m - 1}&{m + 3}&{ - 1}
\end{array}} \right)\]

En primer lugar, observemos que, al ser la matriz cuadrada de orden \(3\), el rango será tres cuando \(|A|\ne0\). Calculemos pues el determinante de la matriz \(A\) y decidamos para qué valores de \(m\) el rango es \(3\) y para cuáles no.

\[|A|=\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
{m + 1}&3&{m - 1}\\
{m - 1}&{m + 3}&{ - 1}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
m&0&m\\
{m - 2}&m&0
\end{array}} \right| = \left( {3{m^2} - 6m - m^2} \right) - {m^2} = m^2-6m\]

En el primer paso, aplicando las propiedades de los determinantes, hemos restado a la segunda fila la primera y a la tercera también la primera, con lo que el determinante no varía. Así, el determinante queda más sencillo para aplicar la regla de Sarrus. Ahora es fácil hacer el siguiente razonamiento:

  • \(|A|=0\Leftrightarrow m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0\ \text{o}\ m=6\).
  • \(|A|\ne0\Leftrightarrow m^2-6m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\ \text{y}\ m\ne6\).

Por tanto está claro que si \(m\ne0\) y \(m\ne6\), entonces \(r(A)=3\); y que si \(m=0\) o \(m=6\), entonces \(r(A)<3\). Analicemos lo que ocurre en estos dos últimos casos.

\[m = 0 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
1&3&{ - 1}\\
{ - 1}&3&{ - 1}
\end{array}} \right)\ ;\ m = 6 \Rightarrow A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&{ - 1}\\
7&3&5\\
5&9&{ - 1}
\end{array}} \right)\]

Con lo que, si \(m=0\) o \(m=6\), se tiene que \(r(A)=2\), pues en ambos casos se pueden encontrar menores de orden dos distintos de cero.

Finalmente resolveremos un sistema de ecuaciones que dependa de un parámetro. Recordemos que, según el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas tiene solución si \(r(A)=r(A|b)\), donde \(A\) es la matriz de los coeficientes y \(A|b\) es la matriz ampliada, la cual resulta de añadir a la matriz \(A\) la columna de los términos independientes del sistema. Si \(r(A)\ne r(A|b)\), el sistema no tiene solución (incompatible). Además, si \(r(A)=r(A|b)=n\) el sistema tiene solución única (compatible determinado); y si \(r(A)=r(A|b)<n\) el sistema tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado).

Supongamos que deseamos saber el carácter del sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
mx + z = 1\\
my + z = m\\
 - mx - my + \left( {m + 1} \right)z =  - m - 1
\end{array} \right.\]

en  función del parámetro \(m\in\mathbb{R}\).

Observemos en primer lugar que la forma matricial del sistema es

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
m\\
{ - m - 1}
\end{array}} \right)\]

Además

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right)\ ;\ (A|b)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1&1\\
0&m&1&m\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}&{ - m - 1}
\end{array}} \right)\]

Por un lado tenemos que

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right| = {m^3} + {m^2} - \left( { - {m^2} - {m^2}} \right) = {m^3} + 3{m^2} = {m^2}\left( {m + 3} \right)\]

con lo que si \(m=0\) o \(m=-3\), entonces \(|A|=0\) y en estos dos casos el rango de la matriz \(A\) no puede ser \(3\). Sin embargo, si \(m\ne 0\) y \(m\ne-3\), tenemos que \(|A|\ne0\), con lo que en este caso \(r(A)=r(A|b)=3\) y el sistema será compatible determinado (solución única).

Si \(m=0\) tenemos que

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&1\\
0&0&1\\
0&0&1
\end{array}} \right)\ ;\ (A|b)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&1&1\\
0&0&1&0\\
0&0&1&-1
\end{array}} \right)\]

con lo que claramente \(r(A)=1\) (las tres filas de \(A\) son iguales) y \(r(A|b)=2\), pues hay al menos un menor de orden dos distinto de cero. Por tanto \(r(A)\ne r(A|b)\) y el sistema será incompatible (no tiene solución).

En el caso \(m=-3\) se tiene que

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-3&0&1\\
0&-3&1\\
3&3&-2
\end{array}} \right)\ ;\ (A|b)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-3&0&1&1\\
0&-3&1&-3\\
3&3&-2&2
\end{array}} \right)\]

Ahora también es claro que hay menores de orden dos de la matriz \(A\) distintos de cero, con lo que \(r(A)=r(A|b)=2\) y el sistema será compatible indeterminado (infinitas soluciones). En estos casos al número \(n-r(A)\) se le llama grado de libertad del sistema e indica el número de incógnitas que van libres. El resto de incógnitas se podrán poner en función de las que van libres. En este caso, como \(n-r(A)=3-2=1\), tenemos que una incógnita va libre (por ejemplo \(z=\lambda\)) y las otras dos, \(x\) e \(y\) se pueden expresar en función de \(z=\lambda\). Además, podemos eliminar una de las ecuaciones del sistema pues, al ser \(r(A)=r(A|b)=2\), cualquiera de ellas depende linealmente de las otras dos. Por tanto:

\[\left\{ \begin{array}{l}
 - 3x + z = 1\\
 - 3y + z =  - 3\\
3x + 3y - 2z = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 3x = 1 - \lambda \\
 - 3y =  - 3 - \lambda
\end{array} \right.\]

de donde se deduce claramente que \(x=\dfrac{\lambda+1}{3}\), \(y=\dfrac{\lambda+3}{3}\), \(z=\lambda\).

También se pueden obtener, en función del parámetro \(m\), la solución cuando el sistema es compatible determinado. Recordemos que \(|A|=m^2(m+3)\). Aplicando la regla de Cramer:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1\\
m&m&1\\
{ - m - 1}&{ - m}&{m + 1}
\end{array}} \right|}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{\left( {{m^2} + m - {m^2}} \right) - \left( { - {m^2} - m - m} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} =\]

\[=\frac{{{m^2} + 3m}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{m\left( {m + 3} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{1}{m}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&1&1\\
0&m&1\\
{ - m}&{ - m - 1}&{m + 1}
\end{array}} \right|}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{\left( {{m^3} + {m^2} - m} \right) - \left( { - {m^2} - {m^2} - m} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \]

\[ = \frac{{{m^3} + 3{m^2}}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = 1\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
m&0&1\\
0&m&m\\
{ - m}&{ - m}&{ - m - 1}
\end{array}} \right|}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{{\left( { - {m^3} - {m^2}} \right) - \left( { - {m^2} - {m^3}} \right)}}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = \frac{0}{{{m^2}\left( {m + 3} \right)}} = 0\]

Por ejemplo, si \(m=-5\), el sistema es

\[\left\{ \begin{array}{l}
 - 5x + z = 1\\
 - 5y + z =  - 5\\
5x + 5y - 4z = 4
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son \(x=-\dfrac{1}{5}\), \(y=1\), \(z=0\).


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El teorema de Rouché-Frobenius

En estos apuntes (los puedes descargar en un enlace al final de esta entrada) se desarrolla parte del bloque temático de álgebra, en la materia Matemáticas II de 2º de Bachillerato, en su modalidad de Ciencias y Tecnología: sistemas de ecuaciones lineales y el teorema de Rouché-Frobenius (este teorema lo enunció el matemático francés Eugène Rouché y lo demostró el matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius).  Los contenidos son los siguientes.

Matemáticas II - El teorema de Rouché-Frobenius

  1. Sistemas de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas.
  2. Clasificación de los sistemas lineales.
  3. Matriz de los coeficientes y matriz ampliada.
  4. Regla de Cramer.
  5. Teorema de Rouché-Frobenius.
  6. Sistemas lineales homogéneos.
  7. Discusión de sistemas de ecuaciones lineales.
  8. Eliminación de parámetros.
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