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La regla de Cramer

Consideremos un sistema de \(n\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas como el siguiente:

\[\left\{\begin{array}{c}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1 \\
    a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2 \\
    .................................... \\
    a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\ldots+a_{nn}x_n=b_n
  \end{array}
\right.\]

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema son las siguientes:

\[A=\left(
    \begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
    \end{array}
  \right)\quad;\quad
  A|b=\left(
    \begin{array}{cccc|c}
      a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\
      a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
      a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\
    \end{array}
  \right)
\]

Según el teorema de Rouché, si el rango de la matriz de los coeficientes es igual que el rango de la matriz ampliada el sistema es compatible. Si además, dicho rango coincide con el número de incógnitas, es decir, si \(r(A)=r(A|b)=n\), entonces el sistema es compatible determinado, o sea, que tiene solución única. La condición necesaria y suficiente para que se cumpla lo anterior es que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero, es decir:

\[|A|\neq0\Leftrightarrow r(A)=r(A|B)=n\]

En este caso, la solución del sistema viene dada por según una serie de identidades que se conocen con el nombre de regla de Cramer:

\[x_1=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
              b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              b_n & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

\[x_2=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n} \\
              a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n} \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              a_{n1} & b_n & \ldots & a_{nn}
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

\[\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\]

\[x_n=\frac{\left|\begin{array}{cccc}
              a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1 \\
              a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2 \\
              \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
              a_{n1} & a_{n2} & \ldots & b_n
            \end{array}
\right|}{|A|}\]

Obsérvese que, en la práctica, para obtener la incógnita \(x_i\) se dividen los valores de dos determinantes. El del numerador es el mismo que el de la matriz de los coeficientes, con la salvedad de que la columna \(i\) se sustituye por la columna de los términos independientes. El denominador es el determinante de la matriz de los coeficientes en todos los casos.

Veamos algunos ejemplos de aplicación de la regla de Cramer.

Ejemplo 1

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{cases}
  8x-6y+2z=-1\\
  3x+y-z=10\\
  -x+3y-2z=5
\end{cases}\]

El determinante de la matriz de los coeficientes es:

\[|A|=\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -6 & 2 \\
              3 & 1 & -1\\
              -1 & 3 & -2
            \end{array}
\right|=(-16-6+18)-(-2+36-24)=-4-10=-14\]

Como el determinante anterior es distinto de cero el sistema es compatible determinando (rango de la matriz de los coeficientes, igual al rango de la matriz ampliada, igual a tres, que es el número de incógnitas). Aplicando la regla de Cramer obtenemos las soluciones:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              -1 & -6 & 2 \\
              10 & 1 & -1\\
              5 & 3 & -2
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(2+30+60)-(10+120+3)}{-14}=\frac{92-133}{-14}=\frac{-41}{-14}=\frac{41}{14}\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -1 & 2 \\
              3 & 10 & -1\\
              -1 & 5 & -2
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(-160-1+30)-(-20+6-40)}{-14}=\frac{-131+54}{-14}=\frac{-77}{-14}=\frac{77}{14}=\frac{11}{2}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              8 & -6 & -1 \\
              3 & 1 & 10\\
              -1 & 3 & 5
            \end{array}
\right|}{-14}=\frac{(40+60-9)-(1-90+240)}{-14}=\frac{91-151}{-14}=\frac{-60}{-14}=\frac{30}{7}\]

Ejemplo 2

La regla de Cramer también es útil cuando el sistema es compatible indeterminado. Consideremos el sistema siguiente:

\[\begin{cases}
  x+y+z+t=4\\
  x-y+z=1\\
  y-z+t=1
\end{cases}\]

La matriz de los coeficientes es

\[A=\left(\begin{array}{cccc}
            1 & 1 & 1 & 1 \\
            1 & -1 & 1 & 0 \\
            0 & 1 & -1 & 1
          \end{array}
\right)\]

cuyo rango es 3 porque contienen un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 1 & 1 \\
          1 & -1 & 1 \\
          0 & 1 & -1
        \end{array}
\right|=(1+1)-(-1+1)=2-0=2\]

Por tanto, el rango de la matriz ampliada también es 3 (el menor anterior nos serviría para demostrarlo) y, como el número de incógnitas es 4, el sistema es compatible determinado. El grado de libertad del sistema es igual al número de incógnitas menos el rango, en este caso, es igual a 1. Si llamamos \(t=\lambda\) el sistema lo podemos reescribir así:

\[\begin{cases}
  x+y+z=4-\lambda\\
  x-y+z=1\\
  y-z=1-\lambda
\end{cases}\]

El determinante hallado anteriormente es el determinante de la matriz de los coeficientes de este sistema, es decir, \(|A|=2\). Aplicando la regla de Cramer tenemos:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              4-\lambda & 1 & 1 \\
              1 & -1 & 1\\
              1-\lambda & 1 & -1
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(4-\lambda+1-\lambda+1)-(-1+\lambda-1+4-\lambda)}{2}=\frac{4-2\lambda}{2}=2-\lambda\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              1 & 4-\lambda & 1 \\
              1 & 1 & 1\\
              0 & 1-\lambda & -1
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(-1+1+\lambda)-(-4+\lambda+1-\lambda)}{2}=\frac{3-\lambda}{2}\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
              1 & 1 & 4-\lambda \\
              1 & -1 & 1\\
              0 & 1 & 1-\lambda
            \end{array}
\right|}{2}=\frac{(-1+\lambda+4-\lambda)-(1-\lambda+1)}{2}=\frac{1+\lambda}{2}\]

Por tanto, las soluciones son:

\[(x,y,z,t)=\left(2-\lambda,\frac{3-\lambda}{2},\frac{1+\lambda}{2},\lambda\right)\]

Soluciones que también podemos escribir del siguiente modo:

\[(x,y,z,t)=\left(2,\frac{3}{2},\frac{1}{2},0\right)+\lambda\left(-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)\]

Desde el punto de vista geométrico, la igualdad anterior viene ser la ecuación vectorial de una recta en un espacio de dimensión cuatro. O sea, que el sistema de ecuaciones del cual hemos extraído las soluciones no es otra cosa que una recta en el hiperespacio.

Ejemplo 3

Usando la regla de Cramer también podemos hallar el punto de corte de dos rectas. Por ejemplo, sean las rectas

\[r\equiv\begin{cases}
x+2y-z=1\\
-x+y-3z=2
\end{cases}\quad;\quad
s\equiv\begin{cases}
x+y=0\\
3x+2y+z=a
\end{cases}\]

Vamos a hallar el valor del parámetro \(a\) para el que ambas rectas son secantes y, para ese valor de \(a\), hallaremos el punto de corte. El sistema de ecuaciones formado por ambas rectas es

\[\begin{cases}
  x+2y-z=1\\
  -x+y-3z=2\\
  x+y=0\\
  3x+2y+z=a
\end{cases}\]

La matriz de los coeficientes es

\[A=\left(\begin{array}{ccc}
                   1 & 2 & -1 \\
                   -1 & 1 & -3 \\
                   1 & 1 & 0 \\
                   3 & 2 & 1
                 \end{array}\right)\]

cuyo rango es 3 ya que contiene un menor de orden tres distinto de cero, por ejemplo

\[\left|\begin{array}{ccc}
          1 & 2 & -1 \\
          -1 & 1 & -3 \\
          1 & 1 & 0
        \end{array}
\right|=(-6+1)-(-1-3)=-5+4=-1\neq0\]

La matriz ampliada \(A|b\) es una matriz cuadrada de orden 4. Hallemos su determinante:

\[\left|\begin{array}{cccc}
          1 & 2 & -1 & 1 \\
          -1 & 1 & -3 & 2 \\
          1 & 1 & 0 & 0 \\
          3 & 2 & 1 & a
        \end{array}\right|=
\left|\begin{array}{cccc}
          1 & 1 & -1 & 1 \\
          -1 & 2 & -3 & 2 \\
          1 & 0 & 0 & 0 \\
          3 & -1 & 1 & a
        \end{array}\right|=\]

\[=\left|\begin{array}{ccc}
        1 & -1 & 1 \\
        2 & -3 & 2 \\
        -1 & 1 & a
      \end{array}
\right|=\left|\begin{array}{ccc}
        1 & -1 & 1 \\
        0 & -1 & 0 \\
        0 & 0 & a+1
      \end{array}
\right|=-a-1\]

De lo anterior se deduce que si \(a\neq-1\), el determinante anterior es distinto de cero, o lo que es lo mismo, el rango de la matriz ampliada es \(4\). Y como el rango de la matriz de los coeficientes es \(3\), el sistema será incompatible. En este caso las rectas no serán secantes (serán paralelas o se cruzarán).

Sin embargo, si \(a=-1\), el determinante anterior es igual a cero, con lo que el rango de la matriz ampliada y el de la matriz de los coeficientes es tres, igual que el número de incógnitas. Se trata pues de un sistema compatible determinado (solución única). Es decir, ambas rectas se cortan en un punto. Para hallar el punto de corte resolvemos el sistema. Como el rango es tres, podemos eliminar una de las ecuaciones y usar la regla de Cramer. Es decir, resolveremos el sistema siguiente:

\[\begin{cases}
  x+2y-z=1\\
  -x+y-3z=2\\
  x+y=0\\
\end{cases}\]

Ya hemos visto que el determinante de la matriz de los coeficientes es igual a \(-1\). Por tanto, por la regla de Cramer:

\[x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 2 & -1 \\
                  2 & 1 & -3 \\
                  0 & 1 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(-2)-(-3)}{-1}=\frac{1}{-1}=-1\]

\[y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 1 & -1 \\
                  -1 & 2 & -3 \\
                  1 & 0 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(-3)-(-2)}{-1}=\frac{-1}{-1}=1\]

\[z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}
                  1 & 2 & 1 \\
                  -1 & 1 & 2 \\
                  1 & 1 & 0
                \end{array}
\right|}{-1}=\frac{(4-1)-(1+2)}{-1}=\frac{0}{-1}=0\]

Resumiendo, si \(a=1\), las rectas son secantes y el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\) es el punto \((-1,1,0)\).


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Sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro

Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que dependan de un parámetro. Recordemos pues, en primer lugar, el enunciado del Teorema de Rouché-Frobenius.

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{1n}}{x_n} = {b_1}\\
{a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{2n}}{x_n} = {b_2}\\
\,\,\,.................................\\
{a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + \,.\,.\,.\,.\,.\, + {a_{mn}}{x_n} = {b_m}
\end{array} \right.\]

un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas y sean también

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}\,\,\,\,{a_{12}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}\,\,\,\,{a_{22}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{2n}}}\\
{.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,}\\
{{a_{m1}}\,\,\,\,{a_{m2}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{mn}}}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}\,\,\,\,{a_{12}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{1n}}\,\,\,\,{b_1}}\\
{{a_{21}}\,\,\,\,{a_{22}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{2n}}\,\,\,\,{b_2}}\\
{.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,}\\
{{a_{m1}}\,\,\,\,{a_{m2}}\,\,.\,.\,.\,.\,.\,\,\,{a_{mn}}\,\,\,\,{b_m}}
\end{array}} \right)\]

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada, respectivamente, asociadas al sistema. Llamemos \(r(A)\) al rango de la matriz \(A\) y \(r(A|b)\) al rango de la matriz ampliada. Entonces:

1. Si \(r(A)\neq r(A|b)\) el sistema es incompatible (no tiene solución).

2. Si \(r(A)=r(A|b)\) el sistema es compatible. Además:

2.1. Si \(r(A)=r(A|b)=n\), el sistema es compatible determinado (solución única).

2.2. Si \(r(A)=r(A|b)<n\), el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). En este caso, llamando \(r\) al rango, se pueden expresar \(r\) incógnitas en función de las \(n-r\) restantes. Al número \(n-r\) se le llama grado de libertad del sistema.

Ejemplo 1

En el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x + 2y + 5z - t = 2\\
2x - y - z + t = 3\\
x + y + 3z - 2t = 4
\end{array} \right.\]

tenemos que

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5&{ - 1}\\
2&{ - 1}&{ - 1}&1\\
1&1&3&{ - 2}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5&{ - 1}&2\\
2&{ - 1}&{ - 1}&1&3\\
1&1&3&{ - 2}&4
\end{array}} \right)\]

Ya vimos en otro artículo cómo calcular el rango de una matriz usando los determinantes. En este caso, tanto el rango de la matriz de los coeficientes, como el rango de la matriz ampliada, es al menos tres. Pero es que hay por lo menos un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&5\\
2&{ - 1}&{ - 1}\\
1&1&3
\end{array}} \right| = \left( { - 9 - 2 + 10} \right) - \left( { - 5 + 12 - 3} \right) =  - 1 - 4 =  - 5 \ne 0\]

Por tanto \(r = r(A) = r(A|b) = 3 < 4 = n\), con lo que, aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Como su grado de libertad es \(n - r = 4 - 3 = 1\), entonces tres de las incógnitas se expresarán en función de una restante. Usando el menor distinto de cero que hemos escogido anteriormente (formado por las tres primeras columnas), tomaremos como incógnita libre la última, que pasaremos al segundo miembro, y aplicaremos la regla de Cramer. Es decir, si llamamos \(t=\lambda\), el sistema se puede escribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
3x + 2y + 5z = 2 + \lambda \\
2x - y - z = 3 - \lambda \\
x + y + 3z = 4 + 2\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 + \lambda }&2&5\\
{3 - \lambda }&{ - 1}&{ - 1}\\
{4 + 2\lambda }&1&3
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{5 + 5\lambda }}{{ - 5}} =  - 1 - \lambda \,\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{2 + \lambda }&5\\
2&{3 - \lambda }&{ - 1}\\
1&{4 + 2\lambda }&3
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{50 + 15\lambda }}{{ - 5}} =  - 10 - 3\lambda\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&2&{2 + \lambda }\\
2&{ - 1}&{3 - \lambda }\\
1&1&{4 + 2\lambda }
\end{array}} \right|}}{{ - 5}} = \frac{{ - 25 - 10\lambda }}{{ - 5}} = 5 + 2\lambda\]

Ejemplo 2

Dado el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x + y - z = 4\\
x - y + 2z = 1\\
x + 2y + z = 0\\
x + 2y + 5z =  - 3
\end{array} \right.\]

tenemos que la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son las siguientes:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
1&2&1\\
1&2&5
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}&4\\
1&{ - 1}&2&1\\
1&2&1&0\\
1&2&5&{ - 3}
\end{array}} \right)\]

En este caso \(r(A)=3\), ya que hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
1&2&1
\end{array}} \right| = \left( { - 2 + 2 - 2} \right) - \left( {1 + 1 + 8} \right) =  - 2 - 10 =  - 12 \ne 0\]

Y también \(r(A|b)=3\), pues el único menor de orden cuatro (el menor principal de orden cuatro) es igual a cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&{ - 1}&4\\
1&{ - 1}&2&1\\
1&2&1&0\\
1&2&5&{ - 3}
\end{array}} \right| = \begin{array}{*{20}{c}}
{{f_1} - 2{f_2}}\\
{{f_2} - {f_3}}\\
{}\\
{{f_4} - {f_3}}
\end{array} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&3&{ - 5}&2\\
0&{ - 3}&1&1\\
1&2&1&0\\
0&0&4&{ - 3}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 5}&2\\
{ - 3}&1&1\\
0&4&{ - 3}
\end{array}} \right| = 0\]

Obsérvese las transformaciones que se han hecho para hallar el determinante. Primero hemos hecho ceros teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes (se pueden hacer de muchas otras formas distintas) y luego hemos desarrollado por los elementos de la primera columna. El último determinante (el de orden tres) es igual a cero porque la última fila es igual a la opuesta de la primera menos la segunda (aunque también se puede calcular aplicando la regla de Sarrus).

Por tanto \(r(A) = r(A|b) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única). Para resolverlo podemos eliminar la última ecuación pues, por ser \(r(A|b) = 3\), dependerá linealmente de las demás. Las soluciones son:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&2\\
0&2&1
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( { - 4 - 2} \right) - \left( {1 + 16} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{ - 6 - 17}}{{ - 12}} = \frac{{23}}{{12}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&4&{ - 1}\\
1&1&2\\
1&0&1
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( {2 + 8} \right) - \left( { - 1 + 4} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{10 - 3}}{{ - 12}} =  - \frac{7}{{12}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&4\\
1&{ - 1}&1\\
1&2&0
\end{array}} \right|}}{{ - 12}} = \frac{{\left( {1 + 8} \right) - \left( { - 4 + 4} \right)}}{{ - 12}} = \frac{{9 - 0}}{{ - 12}} =  - \frac{9}{{12}} =  - \frac{3}{4}\]

Sistemas que dependen de un parámetro

Es corriente que, dado un sistema de ecuaciones lineales, alguno o algunos de los coeficientes o de los términos independientes sean desconocidos y dependan de uno o más parámetros. Discutir un sistema de ecuaciones dependiente de uno o más parámetros es identificar para qué valores de los parámetros el sistema es compatible, distinguiendo los casos en que es determinado o indeterminado.

Es posible discutir sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Aquí veremos cómo hacerlo con la ayuda de los determinantes. Como mejor se entiende es viendo algunos ejemplos.

Ejemplo 3

Discutiremos el sistema de ecuaciones

\[\left\{ \begin{array}{l}
ax + y + z = 2a\\
x - y + z = a - 1\\
x + (a - 1)y + az = a + 3
\end{array} \right.\]

según los valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1\\
1&{ - 1}&1\\
1&{a - 1}&a
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1&{2a}\\
1&{ - 1}&1&{a - 1}\\
1&{a - 1}&a&{a + 3}
\end{array}} \right)\]

El rango de ambas es al menos dos pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| = 1 - ( - 1) = 2\]

Además

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&1\\
1&{ - 1}&1\\
1&{a - 1}&a
\end{array}} \right| = ( - {a^2} + 1 + a - 1) - ( - 1 + a + {a^2} - a) =\]

\[= ( - {a^2} + a) - ({a^2} - 1) =  - 2{a^2} + a + 1\]

Entonces \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow  - 2{a^2} + a + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - \frac{1}{2}\\
a = 1
\end{array} \right.\,\).

Veamos ahora las distintas opciones que se pueden presentar.

Si \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), \(\left| A \right| \ne 0\) y entonces \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única).

Si \(a =  - \frac{1}{2}\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1/2}&1&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&1&{ - 3/2}\\
1&{ - 3/2}&{ - 1/2}&{5/2}
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es tres, pues hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1/2}&1&{ - 1}\\
1&{ - 1}&{ - 3/2}\\
1&{ - 3/2}&{5/2}
\end{array}} \right| = \left( {\frac{5}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}} \right) - \left( {1 + \frac{5}{2} - \frac{9}{8}} \right) = \frac{5}{4} - \frac{{19}}{8} =  - \frac{9}{8} \ne 0\]

Por tanto, en este caso, \(r\left( A \right) = 2 \ne r\left( {A|b} \right) = 3\), con lo que el sistema es incompatible.

Finalmente, si \(a=1\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&2\\
1&{ - 1}&1&0\\
1&0&1&4
\end{array}} \right)\]

cuyo rango también es tres pues vuelve a haber un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2\\
1&{ - 1}&0\\
1&0&4
\end{array}} \right| = ( - 4 + 0 + 0) - ( - 2 + 4 + 0) =  - 4 - 2 =  - 6 \ne 0\]

Por tanto, otra vez \(r\left( A \right) = 2 \ne r\left( {A|b} \right) = 3\), y el sistema vuelve a ser incompatible.

En el primer caso, cuando \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), podemos hallar la solución única aplicando la regla de Cramer. Recordemos que \(\left| A \right| =  - 2{a^2} + a + 1\). Entonces:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2a}&1&1\\
{a - 1}&{ - 1}&1\\
{a + 3}&{a - 1}&a
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( { - 2{a^2} + a + 3 + {a^2} - 2a + 1} \right) - \left( { - a - 3 + {a^2} - a + 2{a^2} - 2a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \]

\[= \frac{{\left( { - {a^2} - a + 4} \right) - \left( {3{a^2} - 4a - 3} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{ - 4{a^2} + 3a + 7}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&{2a}&1\\
1&{a - 1}&1\\
1&{a + 3}&a
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( {{a^3} - {a^2} + 2a + a + 3} \right) - \left( {a - 1 + 2{a^2} + {a^2} + 3a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \]

\[= \frac{{\left( {{a^3} - {a^2} + 3a + 3} \right) - \left( {3{a^2} + 4a - 1} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&1&{2a}\\
1&{ - 1}&{a - 1}\\
1&{a - 1}&{a + 3}
\end{array}} \right|}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{\left( { - {a^2} - 3a + a - 1 + 2{a^2} - 2a} \right) - \left( { - 2a + a + 3 + {a^3} - 2{a^2} + a} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} =\]

\[= \frac{{\left( {{a^2} - 4a - 1} \right) - \left( {{a^3} - 2{a^2} + 3} \right)}}{{ - 2{a^2} + a + 1}} = \frac{{ - {a^3} + 3{a^2} - 4a - 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}\]

Como se puede apreciar, para cada valor del parámetro   hay un sistema distinto y su correspondiente solución única. Por ejemplo, si \(a=-1\), tendríamos que \(x=0\), \(y=0\), \(z=-2\) (¡compruébese!).

Hay una interpretación geométrica de todo esto. Sabemos que una ecuación lineal del primer grado con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Pues bien, si \(a=-\frac{1}{2}\) o \(a=1\), los tres planos no tienen ningún punto en común.

Sin embargo, si \(a \ne  - \frac{1}{2}\) y \(a\ne1\), los tres planos tienen un punto en común, el punto de coordenadas

\[\left( {\frac{{ - 4{a^2} + 3a + 7}}{{ - 2{a^2} + a + 1}},\frac{{{a^3} - 4{a^2} - a + 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}},\frac{{ - {a^3} + 3{a^2} - 4a - 4}}{{ - 2{a^2} + a + 1}}} \right)\]

Ejemplo 4

Dados los planos \(\alpha  \equiv x + y + z = 1\), \(\beta  \equiv ax + y = 1\), \(\gamma  \equiv x + (a + 1)z = 0\), determinar la posición relativa de los mismos según los valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

Planteemos el sistema formado por los tres planos:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
ax + y = 1\\
x + (a + 1)z = 0
\end{array} \right.\]

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
a&1&0&1\\
1&0&{a + 1}&0
\end{array}} \right)\]

El rango de ambas es al menos dos pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&0
\end{array}} \right| = 0 - 1 =  - 1 \ne 0\]

Además, el determinante de \(A\) es

\[\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right| = (a + 1 + 0 + 0) - (1 + a(a + 1) + 0) = (a + 1) - (1 + {a^2} + a) =  - {a^2}\]

Entonces \(\left| A \right| = 0 \Leftrightarrow  - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0\).

Los distintos casos que se pueden dar los analizamos a continuación.

Si \(a\ne0\), entonces \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 3 = n\), con lo que el sistema es compatible determinado (solución única). Esta solución es:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&1&0\\
0&0&{a + 1}
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = 0\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&0\\
1&0&{a + 1}
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = \frac{{\left( {a + 1} \right) - \left( {1 + {a^2} + a} \right)}}{{ - {a^2}}} = \frac{{ - {a^2}}}{{ - {a^2}}} = 1\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&1&1\\
1&0&0
\end{array}} \right|}}{{ - {a^2}}} = 0\]

Si \(a=0\), la matriz ampliada es

\[A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&0&1\\
1&0&1&0
\end{array}} \right)\]

cuyo rango es dos pues todos los menores de orden tres son iguales a cero. También es fácil decidir que el rango es dos argumentando que la tercera fila es la primera menos la segunda.

Por tanto, en este caso, \(r\left( A \right) = r\left( {A|b} \right) = 2 < 3 = n\), con lo que el sistema es compatible indeterminado, es decir,  hay infinitas soluciones. Vamos a hallarlas. El grado de libertad del sistema es \(3-2=1\), con lo que una incógnita va libre y las otras dos dependen de ella. Pongamos pues \(z=\lambda\) y eliminemos la última ecuación. El sistema es el siguiente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
y = 1
\end{array} \right.\]

Rápidamente vemos que las soluciones del sistema anterior son \(x=-\lambda\), \(y=1\), \(z=\lambda\).

La interpretación geométrica de los dos casos anteriores es la siguiente.

Si \(a\ne0\) los tres planos se cortan en un punto de coordenadas

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,1,0} \right)\]

Si \(a=0\) los tres planos se cortan según una recta de ecuación vectorial

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( { - \lambda ,1,\lambda } \right) = \left( {0,1,0} \right) + \lambda \left( { - 1,0,1} \right)\]

Ejemplo 5

Discutamos por último el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 5\\
y + z = a\\
x - 2z = 3\\
2x - 3z = a
\end{array} \right.\]

para los diferentes valores del parámetro \(a\in\mathbb{R}\).

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son, respectivamente:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}\\
2&0&{ - 3}
\end{array}} \right)\quad;\quad A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
0&1&1&a\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right)\]

El rango de la matriz \(A\) es tres, pues hay un menor de orden tres distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right| =  - 2 - 1 =  - 3\]

Hallemos el determinante de la matriz \(A|b\), que es cuadrada de orden cuatro:

\[\left| {A|b} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
0&1&1&a\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0&5\\
1&0&1&{a + 5}\\
1&0&{ - 2}&3\\
2&0&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{a + 5}\\
1&{ - 2}&3\\
2&{ - 3}&a
\end{array}} \right| = \]

\[ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{a + 5}\\
0&{ - 3}&{ - a - 2}\\
0&{ - 5}&{ - a - 10}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}&{ - a - 2}\\
{ - 5}&{ - a - 10}
\end{array}} \right| = (3a + 30) - (5a + 10) =  - 2a + 20\]

Se deja al lector que analice las propiedades de los determinantes que se han utilizado para calcular el determinante anterior. Por tanto \(\left| B \right| = 0 \Leftrightarrow a = 10\), con lo que podemos hacer la siguiente discusión:

Si \(a \ne 10 \Rightarrow r\left( {A|b} \right) = 4 \ne r\left( A \right) = 3\) y el sistema es incompatible.

Si \(a = 10 \Rightarrow r\left( {A|b} \right) = r\left( A \right) = 3\) y el sistema es compatible determinado (solución única). En este caso el sistema adopta la forma siguiente:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 5\\
y + z = 10\\
x - 2z = 3\\
2x - 3z = 10
\end{array} \right.\]

Podemos eliminar la última ecuación y aplicar la regla de Cramer para obtener la solución del sistema.

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
5&{ - 1}&0\\
{10}&1&1\\
3&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{( - 10 - 3 + 0) - (0 + 20 + 0)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 33}}{{ - 3}} = 11\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&5&0\\
0&{10}&1\\
1&3&{ - 2}
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{( - 20 + 5 + 0) - (0 + 0 + 3)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 18}}{{ - 3}} = 6\]

\[z = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&5\\
0&1&{10}\\
1&0&3
\end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&0\\
0&1&1\\
1&0&{ - 2}
\end{array}} \right|}} = \frac{{(3 - 10 + 0) - (5 + 0 + 0)}}{{ - 3}} = \frac{{ - 12}}{{ - 3}} = 4\]


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Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas tiene la siguiente forma

\[\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\qquad(1)\]

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, un plano en el espacio. En este caso tenemos dos en su forma general:

\[\pi  \equiv Ax + By + Cz + D = 0\quad \text{;}\quad \pi ' \equiv A'x + B'y + C'z + D' = 0\]

Las posibles posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres: coincidentes, paralelos y secantes. Utilizaremos el teorema de Rouché para interpretar las soluciones del sistema e identificarlas con la posición relativa correspondiente.

Sean pues, respectivamente,

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right)\quad\text{;}\quad\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right)\]

la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema (1). Como hay tres incógnitas escribiremos \(n=3\). Veamos ahora los casos que se pueden presentar.

Caso 1

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 1 < 3 = n\]

El sistema es compatible indeterminado. Es decir, existen infinitas soluciones. En este caso las filas son proporcionales, con lo que los dos planos serán coincidentes. La condición pues para que esto ocurra es

\[\pi  \equiv \pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} = \frac{D}{{D'}}\]

Caso 2

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = 1 \ne {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2\]

El sistema no tiene solución, con lo que los planos serán paralelos. En este caso las filas de la matriz de los coeficientes son proporcionales, pero no lo son las de la matriz ampliada. Por tanto es fácil deducir que la condición para que los dos planos sean paralelos es la siguiente:

\[\pi\, |\,|\,\pi ' \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}\]

Caso 3

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C\\
{A'}&{B'}&{C'}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
A&B&C&{ - D}\\
{A'}&{B'}&{C'}&{ - D'}
\end{array}} \right) = 2 < 3 = n\]

El sistema vuelve a ser compatible indeterminado. Es decir, hay infinitas soluciones. La única posibilidad es que estas soluciones, al ser el rango dos y no ser las filas proporcionales, estén sobre la recta donde se cortan ambos planos. En este caso los planos son secantes según una recta: \(\pi  \cap \pi ' = r\). Las soluciones, o lo que es lo mismo, la recta de corte de ambos planos, se puede obtener hallando las soluciones del sistema (que dependerán de un parámetro). De este modo obtendríamos las ecuaciones paramétricas de la recta. De hecho, si los planos son secantes según una recta \(r\), al conjunto de las dos ecuaciones del sistema se les llama ecuaciones implícitas de la recta:

\[r \equiv \left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
A'x + B'y + C'z + D = 0
\end{array} \right.\]

Veamos un ejemplo de este último caso.

Sean los planos \(\pi  \equiv 2x - 3y + z - 1 = 0\) y \(\pi ' \equiv  - x + y - 4z + 1 = 0\). El sistema formado por ambos es:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z - 1 = 0\\
 - x + y - 4z + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z = 1\\
 - x + y - 4z =  - 1
\end{array} \right.\]

Es muy fácil darse cuenta de que

\[{\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}
\end{array}} \right) = {\rm{rango}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1&1\\
{ - 1}&1&{ - 4}&{ - 1}
\end{array}} \right) = 2\]

pues hay un menor de orden dos distinto de cero:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| = 2 - 3 =  - 1 \ne 0\]

Si llamamos \(z=\lambda\), el sistema lo podemos escribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y = 1 - \lambda \\
 - x + y =  - 1 + 4\lambda
\end{array} \right.\]

cuyas soluciones son, aplicando la regla de Cramer:

\[x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - \lambda }&{ - 3}\\
{ - 1 + 4\lambda }&1
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{1 - \lambda  - \left( {3 - 12\lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 11\lambda }}{{ - 1}} = 2 - 11\lambda\]

\[y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{1 - \lambda }\\
{ - 1}&{ - 1 + 4\lambda }
\end{array}} \right|}}{{ - 1}} = \frac{{ - 2 + 8\lambda  - \left( { - 1 + \lambda } \right)}}{{ - 1}} = \frac{{ - 1 + 7\lambda }}{{ - 1}} = 1 - 7\lambda\]

Estas soluciones las podemos escribir así:

\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {2 - 11\lambda ,1 - 7\lambda ,\lambda } \right) = \left( {2,1,0} \right) + \lambda \left( { - 11,7,1} \right)\]

que no es otra cosa que la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(P\left( {2,1,0} \right)\) y tiene vector director \(\vec u = \left( { - 11,-7,1} \right)\).

En la siguiente figura se pueden apreciar los dos planos y la recta donde se cortan ambos.

sistemas03


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Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma

\[\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + C = 0\\
A'x + B\,'y + C' = 0
\end{array} \right.\quad(1)\]

Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas es, desde el punto de vista geométrico, una recta en el plano. En este caso tenemos dos en su forma general:

\[r \equiv Ax + By + C = 0\quad\text{;}\quad  s \equiv A'x + B\,'y + C' = 0\]

Las posibles posiciones relativas de dos rectas en el plano son tres: coincidentes, paralelas y secantes.

Si son coincidentes es porque una recta es la misma que la otra salvo un factor numérico, es decir,

\[Ax + By + C = k\left( {A'x + B\,'y + C'} \right) = 0 \Rightarrow Ax + By + C = kA'x + kB\,'y + kC' = 0\,\,,\,\,k \in \mathbb{R}\]

De aquí se deduce que \(A = kA'\,\,,\,\,B = kB\,'\,\,,\,\,C = kC'\) y despejando \(k\) obtenemos una condición para que las dos rectas coincidan:

\[r \equiv s \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}} = \frac{C}{{C'}}\]

Si las dos rectas son paralelas tienen la misma dirección, con lo que los vectores directores de \(r\) y \(s\) son iguales o proporcionales. Es decir, llamando \(\vec u\) al vector director de \(r\), y \(\vec v\) al vector director de \(s\), tenemos que \(\vec u = k\vec v\), donde \(k\) es un número real. Pero recordemos que los vectores directores se podían obtener fácilmente de la ecuación general de la recta: \(\vec u = \left( { - B,A} \right)\) y \(\vec v = \left( { - B\,',A'} \right)\), con lo que:

\[\vec u = k\vec v \Leftrightarrow \left( { - B,A} \right) = k\left( { - B\,',A'} \right) \Leftrightarrow \left( { - B,A} \right) = \left( { - kB\,',kA'} \right) \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- B = - kB\,'\\
A = kA'
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = \frac{B}{{B\,'}}\\
k = \frac{A}{{A'}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}}\]

Así pues para que dos rectas sean paralelas tenemos la siguiente condición:

\[r\,|\,|\,s \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B\,'}} \ne \frac{C}{{C'}}\]

En este caso el sistema \((1)\) no tienen ninguna solución (claro: dos rectas paralelas no tienen ningún punto en común, no se cortan en ningún punto).

Por último, si las dos rectas son secantes, han de tener distinta dirección, con lo que sus vectores directores no serán proporcionales. Esto nos lleva a la siguiente condición:

\[r \cap s = \left\{ P \right\} \Leftrightarrow \frac{A}{{A'}} \ne \frac{B}{{B\,'}}\]

En este caso el sistema \((1)\) tienen una única solución. Esta solución es el punto de corte de las rectas \(r\) y \(s\): \(P\left( {a,b} \right)\).

Veamos un ejemplo.

Consideremos el sistema de ecuaciones \(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y - 7 = 0\\
- 5x - y + 3 = 0
\end{array} \right.\). Este sistema está formado por las rectas \(r \equiv 2x - 3y - 7 = 0\) y \(s \equiv - 5x - y + 3 = 0\). Como tenemos que \(\dfrac{2}{{ - 5}} \ne \dfrac{{ - 3}}{{ - 1}}\), entonces las rectas son secantes. Si queremos saber el punto de corte basta resolver el sistema. Por reducción es muy sencillo. Multiplicando la segunda ecuación por \(-3\) tenemos: \(\displaystyle\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y - 8 = 0\\
15x + 3y - 9 = 0
\end{array} \right.\) y sumando ambas ecuaciones obtenemos \(17x - 17 = 0 \Rightarrow x = 1\). Sustituyendo en la primera ecuación podemos despejar \(y\): \(2 - 3y - 8 = 0 \Rightarrow - 3y - 6 = 0 \Rightarrow y = - 2\). Entonces el punto de corte de las rectas es \(P\left( {1, - 2} \right)\).

sistemas01

Puede que ahora sea un buen momento de hablar de independencia lineal. Es un concepto muy sencillo. Para ello vamos a pensar en dimensión tres, en un espacio tridimensional como en el que vivimos. Es decir, vamos a fijar un sistema de referencia afín donde cada punto y cada vector tiene tres coordenadas. Este sistema de referencia afín lo podemos escribir así: \(R = \left\{ {O\,,\,\left\{ {{\rm{i}},{\rm{j}},{\rm{k}}} \right\}} \right\}\) donde \({\rm{i}} = \left( {1,0,0} \right)\), \({\rm{j}} = \left( {0,1,0} \right)\) y \({\rm{k}} = \left( {0,0,1} \right)\). Algo así como decir que \(\text{i}\) mide la anchura, \(\text{j}\) la profundidad y \(\text{k}\) la altura. De modo que, por ejemplo, el vector \(\vec u\left( {3,4,2} \right)\) tiene tres unidades de anchura, cuatro de profundidad y dos de altura.

Pues bien, un vector es siempre linealmente independiente y genera una recta (la recta que lo contiene, que es un espacio de dimensión uno). Dos vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección, en cuyo caso generan todo un plano (el plano que los contiene, que es de dimensión dos). Si dos vectores no tienen distinta dirección serán proporcionales (uno se puede poner como el otro multiplicado por un número) y no son linealmente independientes. Tres vectores son linealmente independientes si no están situados en un mismo plano (no coplanarios) y generan todo el espacio, que es de dimensión tres.

¿Qué queremos decir cuando hablamos de que dos vectores linealmente independientes generan el plano que los contiene? Pues que, combinando adecuadamente los dos vectores, podemos llegar a cualquier otro vector del plano.

Veamos un ejemplo. Para ello volvamos a la dimensión dos. Consideremos los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\), que tienen distinta dirección. Por tanto, según hemos definido anteriormente, son linealmente independientes, y generan todo el plano de dimensión dos. Esto quiere decir que cualquier otro vector se puede poner como combinación de ellos. Pensemos, por ejemplo en el vector \(\left( {3,-5} \right)\). ¿Podremos llegar a él usando los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\)? Es decir, ¿existirán números reales \(x\), \(y\) tales que \(x\left( {1,3} \right) + y\left( { - 2,1} \right) = \left( {3, - 5} \right)\)? Seguro que sí. Veamos:

\[x\left( {1,3} \right) + y\left( { - 2,1} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow \left( {x,3x} \right) + \left( { - 2y,y} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\left( {x - 2y,3x + y} \right) = \left( {3, - 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3\\
3x + y = - 5
\end{array} \right.\]

Resolviendo el sistema anterior se obtiene \(x =  - 1\), \(y=-2\). Esto quiere decir que si el vector \(\left( {1,3} \right)\) lo multiplicamos por \(-1\) (o sea, le cambiamos el sentido), el vector \(\left( {-2,1} \right)\) lo multiplicamos por \(-2\) (o sea, lo duplicamos en longitud y le cambiamos el sentido) y, finalmente, sumamos ambos resultados, obtenemos como resultado el vector \(\left( {3,-5} \right)\). Esto, en matemáticas, se resume diciendo que el vector \(\left( {3,-5} \right)\) se puede poner como combinación lineal de los vectores \(\left( {1,3} \right)\) y \(\left( {-2,1} \right)\):

\[\left( {3, - 5} \right) =  - 1\left( {1,3} \right) + \left( { - 2} \right)\left( { - 2,1} \right)\]

Podemos ver el resultado en la figura siguiente:

sistemas02

Si en el sistema \(\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + C = 0\\
A'x + B\,'y + C' = 0
\end{array} \right.\) escribimos los términos independientes en el segundo miembro, lo podemos reescribir así:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_{11}}x + {a_{12}}y = {b_1}\\
{a_{21}}x + {a_{22}}y = {b_2}
\end{array} \right.\]

Una vez escrito así vamos incluso a disponer de una forma más cómoda el sistema. Llamaremos \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\end{array}} \right)\) matriz de los coeficientes del sistema y \(A|b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{b_1}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{b_2}}
\end{array}} \right)\) a la matriz ampliada del sistema. No descubrimos nada nuevo si pensamos en una matriz como una disposición de elementos en filas y en columnas. Obsérvese que al escribir la matriz ampliada \(A|b\) tenemos completamente definido el sistema sin necesidad de escribir las incógnitas.
Ahora, la posición relativa de las dos rectas depende del carácter de la matriz de los coeficientes \(A\) y del de la matriz ampliada \(A|b\), en el siguiente sentido:

  • Si las rectas son coincidentes, las filas de la matriz \(A\) son proporcionales y las de la matriz \(A|b\) también.
  • Si las rectas son paralelas, las filas de la matriz \(A\) son proporcionales, pero no los son las de la matriz \(A|b\).
  • Si las rectas son secantes, las filas de la matriz \(A\) no son proporcionales y, por tanto, tampoco lo son los de la matriz \(A|b\).

Este carácter de las matrices en matemáticas se conoce con el nombre de rango de una matriz. Hemos de observar que las filas de las matrices las podemos ver como vectores (con dos, tres, cuatro,\(\ldots\,\) coordenadas). Se define el rango de una matriz como el número de filas (vectores) linealmente independientes. Esto nos lleva a reescribir la posición relativa de dos rectas, en función de los rangos de la matriz de los coeficientes \(A\) y de la matriz ampliada \(A|b\), del siguiente modo:

  • Si las rectas son coincidentes, entonces \(\text{rango}A=\text{rango}A|b=1\).
  • Si las rectas son paralelas, entonces \(\text{rango}A=1\neq\text{rango}A|b=2\).
  • Si las rectas son secantes, entonces \(\text{rango}A=\text{rango}A|b=2\).

Estas ideas se pueden generalizar a un sistema de \(m\) ecuaciones y \(n\) incógnitas. Según el teorema de Rouché-Frobenius, para que un sistema del tipo anterior tenga solución se ha de cumplir que el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser igual al rango de la matriz ampliada: \(\text{rango}A=\text{rango}A|b\). Además, si este número es igual al número de incógnitas \(n\), el sistema tiene solución única (sistema compatible determinado). Sin embargo, si este número es menor que el número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado). Por último, si \(\text{rango}A\neq\text{rango}A|b\). el sistema no tiene solución (sistema incompatible).

Seguiremos dándole vueltas a todo esto en un artículo que dedicaremos a los sistemas de ecuaciones lineales de primer grado con tres incógnitas.


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La ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. La recta en el plano afín

Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas.

Si la ecuación solamente tiene una incógnita la ecuación es de la forma

\[ax+b=0\]

donde \(a\) y \(b\) son números reales con \(a\neq0\) , y \(x\) es la incógnita.

Como \(a\neq0\) , \(a\) tiene inverso, con lo que podemos despejar la incógnita con facilidad.

\[ax + b = 0\, \Rightarrow {a^{ - 1}} \cdot \left( {ax + b} \right) = {a^{ - 1}} \cdot 0 \Rightarrow {a^{ - 1}}ax + {a^{ - 1}}b = 0 \Rightarrow x + {a^{ - 1}}b = 0 \Rightarrow x =  - {a^{ - 1}}b\]

Así por ejemplo, la solución de \(3x+4=0\) es \(x =  - {3^{ - 1}} \cdot 4 =  - \dfrac{1}{3} \cdot 4 =  - \dfrac{4}{3}\).

Si la ecuación tiene dos incógnitas la ecuación adopta la forma

\[ax+by+c=0\]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales con \(a\neq0\) y \(b\neq0\), y las incógnitas son \(x\) e \(y\). Llamando por ejemplo \(x=\lambda\), podemos despejar la incógnita \(y\).

\[ax + by + c = 0 \Rightarrow by =  - a\lambda  - c \Rightarrow y =  - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}\]

El hecho de llamar \(\lambda\) a la incógnita \(x\) viene a decir que la incógnita \(x\) puede tomar cualquier valor real, al que llamaremos parámetro. Por tanto, la incógnita \(y\) depende del valor que le demos al parámetro \(\lambda\).

Podemos escribir las soluciones para \(x\) y para \(y\) en forma de par ordenado, de la siguiente manera:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}} \right)\]

Veamos un ejemplo. Sea la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas dada por \(2x-y+3=0\). En este caso \(a=2\), \(b=-1\) y \(c=3\). Por tanto las soluciones son de la forma:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{2}{{ - 1}}\lambda  - \frac{3}{{ - 1}}} \right) = \left( {\lambda ,2\lambda  + 3} \right)\]

Ahora, si damos valores a \(\lambda\) podemos hacer una tabla de valores:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  x & \lambda & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
  \hline
  y & 2\lambda+3 & -7 & -5 & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 & 7\\
  \hline
\end{array}\]

Incluso podemos representar los valores anteriores usando unos ejes de coordenadas.

recta01

No es difícil darse cuenta de que podemos colocar infinitos puntos y que todos ellos formarán una recta. Por eso, a la expresión de una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas, también se la conoce como ecuación general de una recta.

Además ya sabíamos que, si de la ecuación \(ax+by+c=0\), despejamos la incógnita \(y\) tenemos otra ecuación con la forma \(y=mx+n\), llamada ecuación afín de la recta. En nuestro ejemplo la ecuación afín de la recta es \(y=2x+3\). Y en esta ecuación es donde podemos con facilidad realizar también la tabla de valores anterior con el objetivo de representar gráficamente la recta dada.

Con algo de conocimiento de geometría en el plano afín podemos hacer más cosas con la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas. Ya hemos visto que las soluciones las podemos escribir en forma de par ordenado:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}} \right)\]

Recordemos que, dados dos pares ordenados \(\left( {a,b} \right)\), \(\left( {c,d} \right)\), y un número real \(\lambda\), la suma de pares ordenados y el producto de un número real por un par ordenado, vienen dadas por las fórmulas:

\[\left( {a,b} \right) + \left( {c,d} \right) = \left( {a + c,b + d} \right)\quad\text{;}\quad\lambda \left( {a,b} \right) = \left( {\lambda a,\lambda b} \right)\]

Si se establecen unos ejes cartesianos sobre un plano, un par ordenado \(\left( {a,b} \right)\) tiene una visualización gráfica: un punto en el plano. O también: el par ordenado lo podemos ver como un vector con origen en el punto \(\left( {0,0} \right)\) (origen de coordenadas) y extremo el punto \(\left( {a,b} \right)\).

Con las ideas anteriores, las soluciones de una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas, \(ax+by+c=0\), las podemos escribir así:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda  - \frac{c}{b}} \right) = \left( {\lambda , - \frac{a}{b}\lambda } \right) + \left( {0, - \frac{c}{b}} \right) = \lambda \left( {1, - \frac{a}{b}} \right) + \left( {0, - \frac{c}{b}} \right)\]

Siguiendo con el ejemplo visto anteriormente podemos escribir las soluciones de la ecuación \(2x-y+3=0\) del siguiente modo:

\[\left( {x,y} \right) = \lambda \left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right)\]

La interpretación geométrica de la expresión anterior es la siguiente: la recta \(2x-y+3=0\) es la recta paralela al vector \(\left( {1,2} \right)\) que pasa por el punto \(\left( {0,3} \right)\). Dicho de otro modo: todos los puntos de esta recta son los extremos de los vectores que se obtienen al sumar cualquier vector proporcional al vector \(\left( {1,2} \right)\) con el vector \(\left( {0,3} \right)\).

Por ejemplo, si \(\lambda=1\), entonces \(\left( {x,y} \right) =  - 1\left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right) = \left( { - 1, - 2} \right) + \left( {0,3} \right) = \left( { - 1,1} \right)\). Véase la figura siguiente:

recta02

Analizando todo lo anterior llegamos a una conclusión: una recta viene completamente determinada por un vector y un punto. O lo que es lo mismo, existe una única recta que pasa por un punto dado y en una dirección determinada. Al vector que determina la recta se le llama vector de dirección o vector director de la recta.

Generalicemos esta situación desde el punto de vista vectorial. Para ello llamaremos \(O\), al origen de coordenadas, \(A\) a un punto cualquiera del plano, \(\overrightarrow {OA}\) al vector de posición con origen en \(O\) y extremo en \(A\) y \(\vec e\) a un vector. La ecuación de la recta que pasa por el punto \(A\) con la dirección del vector \(\vec e\) viene dada por

\[\overrightarrow {OX}  = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec e\,,\,\,\lambda  \in \mathbb{R}\]

donde \(\overrightarrow {OX}\) es el vector de posición con origen en \(O\) generado al dar un determinado valor al parámetro \(\lambda\).

Naturalmente, las coordenadas de los vectores están escritas en base a un sistema de referencia pues, en caso contrario, no podríamos trabajar con éstas. Habitualmente, y tal y como hemos hecho en el ejemplo anterior, esto es algo a lo que estamos acostumbrados cuando instalamos en el plano unos ejes cartesianos (el eje de abscisas y el eje de ordenadas). Pero es conveniente poner énfasis en esto. Cuando hablamos de tomar, por ejemplo, el vector \(\vec e = \left( { - 2,3} \right)\), y lo visualizamos en el plano como un segmento orientado desde el origen de coordenadas \(O = \left( {0,0} \right)\) hasta el extremo en el punto de coordenadas \(\left( { - 2,3} \right)\), lo que estamos haciendo realmente es la siguiente operación:

\[\left( { - 2,3} \right) =  - 2\left( {1,0} \right) + 3\left( {0,1} \right)\]

Si ahora visualizamos los vectores \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\) nos daremos cuenta rápidamente de que el primero está sobre el eje \(X\), el segundo sobre el eje \(Y\) y ambos tienen longitud o módulo \(1\). Además son claramente perpendiculares. En este caso se dice que la pareja de vectores son ortonormales o que forman una base ortonormal del plano.

Pero es que cualquier vector \(\left( {a,b} \right)\) lo podemos escribir así:

\[\left( {a,b} \right) = a\left( {1,0} \right) + b\left( {0,1} \right)\]

La igualdad anterior expresa que todo vector del plano, o lo que es lo mismo, todo el plano, se puede generar a partir de los vectores \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\). A veces se dice que todo vector del plano es una combinación lineal de \(\left( {1,0} \right)\) y \(\left( {0,1} \right)\). Estos dos vectores, junto con el origen de coordenadas \(O\), forman lo que se conoce como sistema de referencia afín. Además, si los dos vectores del sistema son ortonormales hablaremos de un sistema de referencia ortonormal. Suele nombrarse a los dos vectores del sistema así: \(\textbf{i} = \left( {1\,,\,0} \right)\), \(\textbf{j} = \left( {0\,,\,1} \right)\).

En realidad, la geometría en el plano afín empieza por aquí. Se considera un sistema de referencia afín ortonormal \(R = \left\{ {O\,,\,\left\{ {\textbf{i}\,,\,\textbf{j}} \right\}} \right\}\). Se sabe que todo vector que se apoye en \(O\) se puede poner como combinación lineal de \(\textbf{i}\) y de \(\textbf{j}\): \(X = \overrightarrow {OX}  = {x_1}{\textbf{i}} + {x_2}{\textbf{j}} = \left( {{x_1},{x_2}} \right)\). Por tanto un vector cualquiera del plano lo podemos "atrapar" en nuestro sistema de referencia. ¿Cómo? Es sencillo. Todo vector \(\vec e\) del plano tiene un origen \(A\left( {{a_1},{a_2}} \right)\) y un extremo \(B\left( {{b_1},{b_2}} \right)\) y por tanto \(\vec e = \overrightarrow {AB} \). Pero además es que (ver figura de más abajo):

\[\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA}  \Rightarrow \]

\[\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{b_1},{b_2}} \right) - \left( {{a_1},{a_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{b_1} - {a_1},{b_2} - {a_2}} \right)\]

recta03

Por ejemplo, el vector \(\vec e\) que une el punto \(P\left( { - 2\,,\,1} \right)\) con el punto \(Q\left( { 1\,,\,3} \right)\) es

\[\vec e = \overrightarrow {PQ}  = \left( {1 - \left( { - 2} \right),3 - 1} \right) = \left( {3,2} \right)\]

Nuestro vector \(\vec e\) acaba de ser escrito en base a nuestro sistema de referencia. Hay infinitos vectores en el plano con el mismo módulo, dirección y sentido, pero sólo uno que se apoya en el origen \(O\) de nuestro sistema de referencia. Al conjunto de todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido se le llama vector libre.

Con las consideraciones anteriores la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \(A\) con la dirección de un vector \(\vec e\), \(\overrightarrow {OX}  = \overrightarrow {OA} \, + \lambda \vec e\,,\,\,\lambda  \in\mathbb{R} \), adquiere todo su sentido.

recta04

Si la ecuación vectorial la expresamos en coordenadas tenemos:

\[\left( {x,y} \right) = \left( {a,b} \right) + \lambda \left( {{e_1},{e_2}} \right) \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {a,b} \right) + \left( {\lambda {e_1},\lambda {e_2}} \right) \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {a + \lambda {e_1},b + \lambda {e_2}} \right)\]

Igualando coordenadas:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = a + \lambda {e_1}\\
y = b + \lambda {e_2}
\end{array} \right.\]

Las ecuaciones anteriores reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta. De éstas, si despejamos el parámetro \(\lambda\) en ambas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta:

\[\left\{ \begin{array}{l}
\lambda  = \dfrac{{x - a}}{{{e_1}}}\\
\lambda  = \dfrac{{y - b}}{{{e_2}}}
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{x - a}}{{{e_1}}} = \frac{{y - b}}{{{e_2}}}\]

Si ahora eliminamos denominadores y pasamos todo al primer miembro tenemos:

\[{e_2}x - {e_2}a = {e_1}y - {e_1}b \Rightarrow {e_2}x - {e_1}y + {e_1}b - {e_2}a = 0\]

Si llamamos \(A = {e_2}\), \(B =  - {e_1}\) y \(C = {e_1}b - {e_2}a\) tenemos la ecuación general o implícita de la recta:

\[Ax + By + C = 0\]

Obsérvese que un vector director de la recta es \(\left( {{e_1},{e_2}} \right) = \left( { - B,A} \right)\) y que haciendo \(x=0\) se obtiene \(y=-\dfrac{C}{B}\) (conocida como ordenada en el origen), con lo que un punto de la recta (el que corta al eje \(Y\)) es \(\left( {0, - \dfrac{C}{B}} \right)\).

Volviendo a nuestro primer ejemplo, en el que considerábamos la recta \(2x-y+3=0\), tenemos que un vector director suyo es \(\left( { - B,A} \right) = \left( {1,2} \right)\) y que un punto suyo es \(\left( {0, - \dfrac{C}{B}} \right) = \left( {0,3} \right)\). Así obtenemos la ecuación vectorial \(\left( {x,y} \right) = \lambda \left( {1,2} \right) + \left( {0,3} \right)\), ecuación que ya habíamos deducido en su momento.


Para saber más puedes seguir este curso de geometría métrica plana en 10 sencillas lecciones.

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8. Intersección de una cónica y una recta

Resolviendo el sistema correspondiente a la ecuación de la recta y de la cónica se obtienen los puntos donde la recta corta a la cónica.

La ecuación de una cónica es una ecuación de segundo grado y la de una recta es de primer grado.

Entonces, para hallar los puntos comunes a una y otra tendremos que resolver el sistema formado por ambas ecuaciones. Normalmente este sistema lo resolveremos por sustitución, despejando la incógnita \(y\) en la ecuación de la recta, y sustituyendo su expresión en la ecuación de la cónica.

Este proceso nos llevará a una ecuación de segundo grado, que podrá tener dos, una o ninguna solución.

Lo mejor es verlo con un ejemplo.

Ejemplo 13

La circunferencia \(x^2+y^2-2x-3=0\) y la recta \(3x+y-5=0\) se cortan enn los puntos solución del sistema

\[\begin{cases}x^2+y^2-2x-3=0\\3x+y-5=0\end{cases}\]

Sustituyendo \(y=5-3x\) en la primera ecuación se tiene:

\[x^2+(5-3x)^2-2x-3=0\Rightarrow 10x^2-32x+22=0\Rightarrow 5x^2-16x+11=0\]

Resolviendo esta ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{16\pm\sqrt{256-220}}{10}=\frac{16\pm6}{10}=\begin{cases}x_1=\frac{11}{5}\\x_2=1\end{cases}\]

Por tanto los puntos de intersección son \(\left(\dfrac{11}{5}\,,\,-\dfrac{8}{5}\right)\) y \((1\,,\,2)\).

En general, tal y como se ha visto, al resolver el sistema por sustitución, se obtiene una ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\), que tendrá (dependiendo del signo del discriminante \(\Delta=b^2-4ac\)):

  1. Dos soluciones (si \(\Delta>0\): la recta y la cónica son secantes.
  2. Una solución (si \(\Delta=0\)): la recta y la cónica son tangentes.
  3. Ninguna solución (si \(\Delta<0\)): la recta y la cónica son exteriores.

conicas 29

Esta regla general tiene dos excepciones: en los casos que nos muestran las dos figuras siguientes, a pesar de cónica y recta se cortan en un solo punto, la recta no es tangente a la cónica. La recta \(r\) paralela a una asíntota de la hipérbola corta a ésta en un sólo punto \(P\). Sin embargo no es tangente a la hipérbola en \(P\) (la tangente es la recta \(t\). Esto nos indica que la definición tradicional de tangente a una curva en un punto como «recta que corta a la curva solamente en ese punto», no es suficiente. Una definición correcta de tangente precisa del concepto de derivada.

conicas 30

En el caso de la figura siguiente, la recta \(r\) paralela al eje de la parábola, corta a ésta en un solo punto \(P\). Sin embargo no es la tangente a la parábola en \(P\) (la tangente es la recta \(t\)).

conicas 31

Teniendo en cuenta todo lo anterior es posible resolver algunos problemas de tangencia como el cálculo de las tangentes desde un punto exterior de una cónica y el cálculo de la tangente en un punto perteneciente a la cónica, aunque en este último caso, el uso de propiedades geométricas y sobre todo de la derivada, simplifican enormemente los cálculos. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 14

Encontrar las tangentes a la circunferencia \(x^2+y^2=4\) desde el punto exterior \(P(3\,,\,0)\)

Cualquier recta que pasa por \(P(3\,,\,0)\) cumple la ecuación

\[y=m(x-3)\]

Así pues, para hallar su intersección con la circunferencia resolvemos el sistema:

\[\begin{cases}x^2+y^2=4\\y=m(x-3)\end{cases}\Rightarrow x^2+m^2(x-3)^2=4\Rightarrow x^2+m^2x^2+9m^2-6m^2x=4\Rightarrow\]

\[\Rightarrow(1+m^2)x^2-6m^2x+9m^2-4=0\]

Para que esta ecuación de segundo grado tenga una sola solución, y que por tanto la recta y la circunferencia sean tangentes, se necesita que

\[\Delta=b^2-4ac=(-6m^2)^2-4(1+m^2)(9m^2-4)=0\Rightarrow36m^4-36m^2-36m^4+16+16m^2=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow -20m^2+16=0\Rightarrow m^2=\frac{4}{5}\Rightarrow m=\pm\sqrt{\frac{4}{5}}=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Por tanto las tangentes son las rectas

\[y=\frac{2\sqrt{5}}{5}(x-3)\quad;\quad y=-\frac{2\sqrt{5}}{5}(x-3)\]

Ejemplo 15

Hallar la ecvuación de la tangente a la circunferencia \(x^2+y^2=4\) en el punto \(P(1\,,\,\sqrt{3})\)

El punto \(P\) pertenece a la circunferencia.

Podría seguirse el método del ejemplo anterior, pero resulta muy engorroso; en cambio si tenemos en cuenta que la tangente es perpendicualr al radio en el punto de tangencia tendremos lo siguiente.

Como el centro es el punto \(C(0\,,\,0)\), la ecuación del radio \(CP\) es:

\[\dfrac{x-0}{1-0}=\dfrac{y-0}{\sqrt{3}-0}\Rightarrow x=\dfrac{y}{\sqrt{3}}\]

Utilizando la condición de perpendicularidad, la ecuación de la tangente en \(P\) es:

\[\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{y}{-1}\]

Para terminar, vamos a fijarnos en un caso de particular interés. Se trata de hallar la intersección de una hipérbola con una recta que pase por el origen de coordenadas (ver figura siguiente).

conicas 32

Ecuación de la hipérbola: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\).

Ecuación de la recta: \(y=mx\).

Entonces:

\[\begin{cases}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\y=mx\end{cases}\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}-\frac{m^2x^2}{b^2}=1\Rightarrow b^2x^2-a^2m^2x^2=a^2b^2\Rightarrow (b^2-a^2m^2)x^2=a^2b^2\]

Caben tres posibilidades:

  1. \(b^2-a^2m^2=0\). En este caso resulta \(0=a^2b^2\), lo cual es imposible.
  2. \(b^2-a^2m^2<0\). En este caso \(x^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2m^2}<0\), lo cual es así mismo imposible, pues un cuadrado no puede ser negativo.
  3. \(b^2-a^2m^2>0\). En este caso \(x^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2m^2}>0\), y \(x\) tiene dos soluciones.

Por tanto, el sistema sólo tiene solución si:

\[b^2-a^2m^2>0\Rightarrow b^2>am^2\Rightarrow\frac{b^2}{a^2}>m^2\Rightarrow \frac{b}{a}>|m|\Rightarrow \frac{b}{a}>m>-\frac{b}{a}\]

Si recordamos que las asíntotas de la hipérbola tenían pendientes respectivamente iguales a \(\dfrac{b}{a}\) y \(-\dfrac{b}{a}\), concluimos que las rectas que pasen por el origen de coordenadas y corten a la hipérbola son las de pendiente comprendida entre las pendientes de las dos asíntotas, o dicho de modo más intuitivo: las asíntotas son las «primeras» rectas que pasan por el origen y no cortan a la hipérbola.

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La función lineal. Ecuación de la recta

Se dice que una función real de variable real es una función lineal si es de la forma \(f(x)=mx+n\) (indistintamente utilizaremos la escritura \(y=mx+n\)). Es decir, la ecuación de la función se corresponde con un polinomio de primer grado. La representación gráfica de una función lineal es siempre una recta. El coeficiente \(m\) recibe el nombre de pendiente de la recta y, como su nombre indica, será el responsable de lo inclinada o "pendiente" que se encuentre la recta respecto del eje \(X\). Podemos distinguir un par de casos particulares.

Si \(m=0\) la función lineal es de la forma \(f(x)=n\). En este caso la función lineal es constante y su representación gráfica es una recta horizontal (paralela al eje \(X\)) que pasa por la ordenada \(y=n\). Es decir, todos sus puntos son de la forma \((x,\ n)\). Por ejemplo, la representación gráfica de la función \(f(x)=3\) es la siguiente:

lineal02

Obsérvese que adquiere sentido el nombre de pendiente para el coeficiente \(m\). Si \(m=0\) la recta no tiene pendiente, es decir, no tiene inclinación alguna y es horizontal.

Si \(n=0\) la función lineal es de la forma \(f(x)=mx\). En este caso la representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto \((0,\ 0)\). Por ejemplo, las funciones \(y=3x\), \(y=-3x\)  tienen por representación gráfica las siguientes rectas:

lineal03

Las funciones lineales del tipo anterior, es decir, aquellas cuya ecuación es \(f(x)=mx\), también se conocen con el nombre de funciones de proporcionalidad directa. Si en el eje \(X\) representamos una magnitud \(A\) y en el eje \(Y\) una magnitud \(B\) directamente proporcional a la anterior, con constante de proporcionalidad igual a \(m\), entonces a cada valor \(x\) de la magnitud \(A\) le correspondera el valor \(mx\) de la magnitud \(B\). Un ejemplo clásico es la trayectoria de un móvil que se mueve a velocidad constante, digamos igual a \(2\ m/s\), desde el comienzo del movimiento hasta el instante de tiempo \(t=10\ \text{seg}\). La ecuación del movimiento viene dada por \(s=2t\) donde \(s\) es el espacio recorrido en metros y \(t\) el tiempo transcurrido en segundos. Así, para \(t=2\,\text{seg}\) se ha recorrido \(s=2\cdot2=4\ \text{m}\). Y para \(t=5\,\text{seg}\) se ha recorrido \(s=2\cdot5=10\,\text{m}\). La representación gráfica del movimiento es:

lineal04

Toda recta forma, de manera natural, un ángulo con el eje \(X\). Teniendo en cuenta la orientación positiva de los ángulos (que es aquella que se corresponde con el sentido contrario de las agujas del reloj), y tomando como partida el propio eje \(X\), si la recta es creciente el ángulo que forma la recta con el eje \(X\) es agudo y si es decreciente el ángulo será obtuso. Así por ejemplo las rectas \(y=0,75x\), \(y=-1,5x\) forman, respectivamente, ángulos \(\alpha\) y  \(\beta\) con el eje \(X\): 

lineal05

De hecho, la pendiente de la recta también informa sobre el ángulo que forma la recta con el eje \(X\). Supongamos que los puntos \((x_1,\ y_1)\), \((x_2,\ y_2)\) pertenecen a la recta \(y=mx+n\). Entonces:

\[\begin{cases}y_2=mx_2+n\\y_1=mx_1+n\end{cases}\]

Restando ambas ecuaciones:

\[y_2-y_1=m\left(x_2-x_1\right)\]

Y de la igualdad anterior se obtiene la siguiente fórmula para la pendiente de una recta que pasa por dos puntos \((x_1,\ y_1)\), \((x_2,\ y_2)\):

\[m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Veamos el significado gráfico de la igualdad anterior.

lineal06

Obsérvese que, en la gráfica anterior, el triángulo \(PQR\) es rectángulo. En este triángulo rectángulo se cumple que \(\text{tg}\ \alpha=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Enlazando con la igualdad anterior tenemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente trigonométrica del ángulo \(\alpha\) que dicha recta forma con el eje \(X\): \(m=\text{tg}\ \alpha\).

Por tanto, podemos deducir un par de propiedades más de las funciones lineales a partir de su pendiente.

  • Si \(m>0\) la recta es creciente, es decir, forma un ángulo agudo con el eje \(X\). Esto es por que si \(m=\text{tg}\ \alpha>0\Rightarrow0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\).
  • Si \(m<0\) la recta es decreciente, es decir, forma un ángulo obtuso con el eje \(X\). Esto es por que si \(m=\text{tg}\ \alpha<0\Rightarrow90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\).

Utilizando lo anterior podemos hallar el ángulo de las rectas que se han dibujado en anteriormente. La recta \(y=0,75x\) tiene pendiente igual a \(0,75\), es decir, \(\text{tg}\ \alpha=0,75\), y de aquí se deduce, utilizando una calculadora, que \(\alpha=\text{arctg}\ 0,75=36,87^{\circ}\). Análogamente, el ángulo \(\beta\) que forma la recta \(y=-1,5x\) con el eje \(X\) es \(\beta=\text{arctg}(-1,5)=123,69^{\circ}\).

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4. Ecuación punto-pendiente. Otras ecuaciones de la recta

Observemos la figura 5:

pendiente01

En primer lugar vamos a hallar el vector director p=(p1,p2) de la recta r que venga dada en su forma general:

pendiente02

En la figura se ha dibujado la recta r y otra paralela a ella, s, que pasa por el origen de coordenadas. Por tanto la ecuación de será de la forma:

pendiente03

Tomemos un punto cualquiera A(x1,y1) de s distinto del origen de coordenadas, es decir, x1≠0.  Este punto ha de satisfacer la ecuación de la recta s, o sea:

pendiente04

Ahora, dividiendo por x1:

pendiente05

 Observemos ahora que en los triángulos OABOPT se cumple:

pendiente06

Es conocido que la tangente de la inclinación de una recta (ángulo que forma con el eje OX) se le llama pendiente, y se la representa por m. Entonces:

pendiente07

Y, por tanto, un vector director de r es:

pendiente08

Ejemplo 7

Calcula el ángulo que forman las rectas

pendiente09


 

Utilizando lo que hemos visto anteriormente, es fácil darse cuenta de que vectores directores de rs son, respectivamente:

pendiente10

Por tanto:

pendiente11

Por cierto, hay otra manera de calcular el ángulo de dos rectas, sin necesidad de hallar antes vectores directores suyos. Observa la figura 6.

pendiente12

En la figura, las rectas:


pendiente13

se cortan en T bajo un ángulo α, y forman con el eje de abscisas el triángulo TPQ. El ángulo γ es ángulo exterior del triángulo, y es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. O sea:

pendiente14

Las pendientes de r y s son, respectivamente:

pendiente15

Entonces utilizando una conocida identidad trigonométrica:

pendiente16

Fórmula que si la escribirmos en funcón de las pendientes de las rectas, queda de la forma:

pendiente17

Ejemplo 8

Calcula, usando las pendientes, el ángulo que forman las rectas:

pendiente18


Hallemos las pendientes y usemos la fórmula anterior:

pendiente19

Observemos ahora la figura 7. En ella se representa la recta r de inclinación α y de pendiente m=tgα.

pendiente20

Consideremos sobre la recta un punto determinado A(x0,y0), y también, un punto cualquiera de ella X(x,y). En la figura se ha formado el triángulo ABX en el que se cumple:

pendiente21

Es decir:

pendiente22

La ecuación anterior se suele llamar ecuación punto-pendiente de la recta r, y es muy cómoda cuando se conoce un punto de la recta y su pendiente.

Observemos ahora la figura 8:

pendiente23

Si aplicamos la ecuación punto-pendiente al punto Q(0,b), se obtiene:

pendiente24

Es decir:

pendiente25

La ecuación anterior es la llamada forma explícita de la recta r. El término b es la ordenada en el origen.

Otro enfoque es el siguiente. Un vector director de r es:

pendiente26

Considerando el punto P(a,0), la ecuación continua de una recta, nos lleva al siguiente resultado:

pendiente27

Dividiendo todos los términos entre ab:

pendiente28

La ecuación anterior suele llamarse ecuación canónica de la recta. En ella ab son, respectivamente, la abscisa y la ordenada en el origen.

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5. Paralelismo y perpendicularidad →

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1. Repaso de la recta en el plano afín

Sobre la figura 1 recordamos las distintas formas de la recta en el plano afín.

recta 01 

Dado un punto \(A(a,\,b)\) siempre podemos trazar una recta \(r\) que pase por \(A\) en una determinada dirección. Si llamamos \(\vec{e}\) a la dirección de la recta o vector director de la recta, podremos generar cualquier punto \(X(x,\,y)\) de la recta mediante la ecuación

\[\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+k\cdot\vec{e}\]

donde \(k\) es un número real y \(O\) es el origen de coordenadas (ver figura 1). Esta es la llamada ecuación vectorial de la recta.

Escribiendo en coordenadas la ecuación anterior, tenemos que \((x,\,y)=(a,\,b)+k\cdot(e_1,\,e_2)\), o lo que es lo mismo, \((x,\,y)=(a+k\cdot e_1,\,b+k\cdot e_2)\), de donde, igualando coordenadas, se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta:

\[\begin{cases}x=a+k\cdot e_1\\ y=b+k\cdot e_2\end{cases}\]

Despejando \(k\) de las ecuaciones paramétricas e igualando obtenemos la ecuación continua de la recta:

\[\frac{x-a}{e_1}=\frac{y-b}{e_2}\]

Si en la ecuación anterior eliminamos denominadores y pasamos todos los términos al primer miembro obtenemos la ecuación general de la recta:

\[Ax+By+Cz+D=0\]

Tomemos ahora dos rectas \(r\) y \(s\) en su forma general:

\[r\equiv Ax+By+Cz+D=0\quad\text{;}\quad s\equiv A'x+B'y+C'z+D'=0\]

Vamos a resumir las condiciones de corte (incidencia) y paralelismo.

Las rectas \(r\) y \(s\) son secantes, es decir se cortan en un punto \(P\) si:

\[r\cap s=\{P\}\Leftrightarrow\frac{A}{A'}\neq\frac{B}{B'}\]

Las rectas \(r\) y \(s\) son paralelas si:

\[r\left|\right|s\Leftrightarrow\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}\neq\frac{C}{C'}\]

Las rectas \(r\) y \(s\) son coincidentes si:

\[r\equiv s\Leftrightarrow\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\]

Ejemplo 1

Escribe en forma paramétrica, continua y general, la ecuación de la recta que pasa por el punto \(A(−1,3)\) y tiene un vector director \(\vec{e}=(2,5)\).


Las ecuaciones paramétricas son:

\[\begin{cases}x=-1+2k\\y=3+5k\end{cases}\]

Despejando \(k\) obtenemos las ecuación continua y eleminando denominadores y pasando todos los términos al primer miembro, la ecuación general de la recta:

\[r\equiv\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{5}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv5(x+1)=2(y-3)\Leftrightarrow r\equiv5x-2y+11=0\]

Ejemplo 2

Escribe en forma paramétrica, continua y general, la ecuación de la recta que pasa por los puntos \(A(3,1)\) y \(B(-2,4)\).


 Un vector director de ella es:

\[\vec{e}=\overrightarrow{AB}=(-2-3,\,4-1)=(-5,\,3)\]

Entonces, usando el punto \(A\), por ejemplo:

\[r\equiv\begin{cases}x=3-5k\\y=1+3k\end{cases}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv\frac{x-3}{-5}=\frac{y-1}{3}\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow r\equiv3(x-3)=-5(y-1)\Leftrightarrow r\equiv3x+5y-14=0\]

Ejemplo 3

Dadas las rectas:

\[r\equiv x+3y+m=0\quad\text{;}\quad s\equiv2x-ny+5=0\]

halla \(m\) y \(n\), para que:

• Sean paralelas.

• Se corten en el punto \(P(1,2)\).

• Sean coincidentes.


 Aplicaremos las condiciones de incidencia y paralelismo:

• Para que sean paralelas:

\[r\left|\right|s\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{3}{-n}\neq\frac{m}{5}\Rightarrow n=-6\ \text{;} \ m\neq\frac{5}{2}\]

• Para que se corten en el punto \(P(1,2)\):

\[r\cap s=P(2,\,1)\Rightarrow\begin{cases}2+3\cdot1+m=0\Rightarrow m=-5\\ 4-n\cdot1+5=0\Rightarrow n=9\end{cases}\]

• Para que sean coincidentes:

\[r\equiv s\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{3}{-n}=\frac{m}{5}\Rightarrow n=-6\ \text{;}\ m=\frac{5}{2}\]

2. Distancias entre puntos →

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