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Argumentos a favor del cálculo mental

Este artículo se ha tomado del libro "Festival matemático. 50 pasatiempos y curiosidades", de George Szpiro

Desde que Pitágoras pintaba sus triángulos en los suelos arenosos de Samos hace unos 2500 años, los docentes no han dejado de buscar los mejores métodos para enseñar matemáticas a sus alumnos. Encontramos un ejemplo de ello en un debate surgido entre los expertos reunidos en el XXV Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Madrid durante el verano de 2006. Se discutieron los distintos enfoques utilizados en los centros de educación primaria y secundaria y las discrepancias fueron inevitables. Los «reformadores», que tienen en cuenta la evolución social y técnica, se enfrentaron a los «tradicionalistas», que defienden la aritmética con papel y lápiz. Hubo réplicas acaloradas, ánimos exaltados, y no salió indemne ni la manipulación aritmética más fundamental. Anthony Ralston, por ejemplo, un reformador precoz de la Universidad de Búfalo, abogó a gritos por la abolición de la aritmética con papel y lápiz en las clases. Aunque admitía la realización de cálculos de cabeza es esencial para el desarrollo de la valoración matemática, afirmaba también que la habilidad para efectural cálculos mentales podría conseguirse con facilidad utilizando calculadoras.Festival Matemático

A esto se opuso Ehud De Shalit, teórico de números de la Universidad Hebrea de Jerusalén muy anclado en las formas tradicionales de enseñar matemáticas. En su opinión, los profesores deben equipar a sus alumnos desde el primer momento con las herramientas que les permitirán manipular objetos matemáticos tales como números, figuras y símbolos. Como ejemplo mencionó las divisiones largas realizadas con lápiz y papel; no es necesario enseñar esa técnica a estudiantes de primaria porque es esencial que avancen en asuntos relacionados con la vida cotidiana, explicó De Shalit. Él entiende que esas operaciones se efectúan con más facilidad mediante calculadoras, pero ayudan a los alumnos a pensar y conceptualizar en términos matemáticos. Según De Shalit, las divisiones largas son, de hecho, todo un tesoro para la docencia, no tanto por su valor práctico sino porque refuerzan la comprensión del sistema decimal y explican cómo funcionan los algoritmos. Para demostrar la supuesta insensatez de las propuestas reformadoras, De Shalit formuló la pregunta retórica de si no querríamos también precindir por completo de las fracciones. Las fracciones se convierten fácilmente en números decimales con ayuda de calculadoras y, por tanto, podrían considerarse obsoletas, pero ése sería el primer paso hacia una cuesta abajo resbaladiza, advirtió a sus colegas. Sin el recurso de la calculadora, los alumnos no tardarían mucho en dejar de saber si \(3/7\) o \(5/9\) son mayores o menore que \(1/2\).

La cuestión de si usar o no calculadoreas y ordenadores en las aulas no fue el único escollo que enfrentó a reformadores y tradicionalistas. También tuvieron un gran día discutiendo cuál es el método óptimo para enseñar técnicas matemáticas a los alumnos. Ralston cree que se debería dejar que los alumnos desarrollasen los métodos con los que se sientan más cómodos. De Shalit enseguida rechazó como ilusorio que niños de 10 años sean capaces de descubrir por sí solos métodos matemáticos considerardos parte de los grandes logros de la antigüedad india y árabe. De modo que pide a los profesores que se concentren en los métodos normalizados, ya comprobados, a través de un programa de ejercitación y práctica. Sólo cuando dominen los métodos normalizados de cálculo podrá permitirse a los alumnos que recurran a sus propias iniciativas (por ejemplo, intercambiando multiplicandos).

Pero De Shalit matizó un tanto su estricta concepción. Las técnicas normalizadas no son lo más importante y, desde luego, tampoco constituyen el único aspecto de la enseñanza de las matemáticas.Para resolver problemas reales resultan esenciales otras habilidades: los alumnos deberían ser capaces de distinguir los datos relevantes de los irrelevantes, saber seleccionar con inteligencia las variables más importantes y ser capaces de traducir la prosa a formulaciones algebraicas. Estas habilidades son indispensables incluso antes de aplicar las técnicas puras y duras para resolver el problema. En geometría, por ejemplo, hay que dibujar las figuras a escala, hay que descomponer los objetos y hay que detectar las partes ocultas antes de utilizar la aritmética para efectuar los verdaderos cálculos.

Ambos bandos coincidieron en un punto: los exámenes son una cuestión política. Estuvieron de acuerdo en que la fijación de exámenes oficiales obstaculiza el trabajo de los docentes. Los exámenes oficiales tienen su utilidad, afirman los tradicionalistas, pero hay que estipular desde un principio qué examinan en realidad los exámenes. ¿Evalúan los conocimientos adquiridos, o el potencial futuro? ¿Miden capacidades algorítmicas, o el razonamiento creativo? ¿Se utilizan como criterio de admisión en una universidad, o para valorar distintos centros o programas de enseñanza?

Por su parte, los reformadores contemplan los exámenes oficiales como un desastre absoluto. Para hacer hincapié en este aspecto, Ralston menciona el decreto federal estadounidense de 2002 que decía «No Child left behind» ['Ningún niño rezagado']. El éxito del programa se midió mediante la puntuación en exámenes oficiales. La presión a la que se vieron sometidos los docentes los llevó a incentivar la capacidad de los chicos para efectuar manipulaciones rutinarias, en lugar de desarrollar su capacidad para resolver problemas. Así que tal vez los alumnos sacaran mejores notas en los exámenes, pero no adquirieron en realidad destreza matemática. Ralston está firmemente convencido de que los exámenes deberían utilizarse tan sólo con fines diagnósticos, ya que pueden servir como instrumento para determinar si un método particular de enseñanza funciona o no.

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Problemas de matemáticas que se resuelven planteando ecuaciones

El álgebra, y en concreto las ecuaciones, son instrumentos que nos permiten resolver con facilidad muchos problemas que se plantean en la vida real. Aunque no existe una "receta mágica" para la resolución de problemas, sí que podemos sugerir unas técnicas y etapas para enfrentarnos a los problemas por difíciles que estos sean. Son las siguientes:

  1. Comprender el problema: identificar los datos y las incógnitas y buscar sus relaciones. Para ello se lee el enunciado con atención y se expresa en lenguaje algebraico.
  2. Trazar un plan para resolverlo: plantear la ecuación o ecuaciones que permitan resolver el problema. Esta etapa es fundamental, pues hemos de traducir los datos del problema a lenguaje algebraico.
  3. Poner en práctica el plan: resolver la ecuación o ecuaciones planteadas.
  4. Interpretar y comprobar los resultados: se interpreta la solución escribiéndola, en su caso, con las unidades correspondiente; y se comprueba si la solución tiene sentido en el contexto particular del problema.

Veamos algunos ejemplos típicos de resolución de problemas.

Ejemplo 1

Pedro tiene 14 años y su hermana Elisa, 3. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de Pedro sea el doble que la de su hermana?

Llamaremos \(x\) a los años que han de transcurrir. Cuando hallan transcurrido precisamente esos \(x\) años, la edad de Pedro será \(14+x\) y la edad de su hermana \(3+x\). En ese momento la edad de Pedro es el doble que la de su hermana, es decir:

\[14+x=2(3+x)\]

Resolviendo la ecuación anterior:

\[14+x=6+2x\Rightarrow x-2x=6-14\Rightarrow -x=-8\Rightarrow x=8\]

Por tanto, han de transcurrir 8 años para que la edad de Pedro sea el doble que la de su hermana. Fíjate que esta solución cumple con en el enunciado del problema pues cuando han pasado 8 años, Pedro tiene 22 años y su hermana 11, con lo que la edad de Pedro es el doble que la de su hermana.

Ejemplo 2

Una bodega quiere producir 400 litros de un vino nuevo que cueste 4,80 €/l ("euros el litro"). Para ello va a mezclar 2 tipos de vino, uno de 4,60 €/l y otro de 6,20 €/l. Averiguar cuántos litros de cada tipo de vino va a emplear en producir la nueva mezcla.

A veces es muy útil organizar los datos del problema en una tabla. Sobre todo en los problemas de este tipo en los que aparecen mezclas de algún tipo de producto.

   Cantidad (l) Precio (€/l) Coste 
Vino A \(x\) \(4,60\) \(4,6x\)
Vino B \(400-x\) \(6,20\) \(6,2(400-x)\)
Mezcla \(400\) \(4,80\) \(4,6x+6,2(400-x)\)

Ahora, como el coste de la mezcla es de 4,80 €/l, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[4,6x+6,2(400-x)=4,8\cdot400\]

Resolviéndola:

\[4,6x+2480-6,2x=1920\Rightarrow4,6x-6,2x=1920-2480\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-1,6x=-560\Rightarrow x=\frac{-560}{-1,6}\Rightarrow x=350\]

Por tanto debemos mezclar 350 litros de vino A y 50 litros de vino B. Obsérvese que 350 litros de vino A cuestan 1610 euros, y 50 litros de vino B cuestan 310 euros. La mezcla de los 400 litros cuesta entonces 1920 euros (400 litros a 4,8 euros el litro, tal y como se expresaba en el enunciado del problema).

Ejemplo 3

Desde una localidad sale un ciclista a las 10 horas con una velocidad de 22 km/h. Al cabo de una hora sale de la misma localidad otro ciclista con una velocidad de 30 km/h. Si ambos ciclistas son capaces de mantener de manera constante sus velocidades, ¿a qué hora alcanza el segundo ciclista al primero?

Tendremos en cuenta que, a velocidad constante, el espacio recorrido \(s\) es igual a la velocidad \(v\) por el tiempo transcurrido \(t\): \(s=vt\).

Llamemos \(t\) al tiempo que tarda el segundo ciclista en alcanzar al primero.

Cuando sale el segundo ciclista, el primero lleva recorridos ya 22 kilómetros (pues el segundo sale una hora después que el primero).

Con las consideraciones anteriores, tras el tiempo \(t\) que tarda el segundo en alcanzar al primero, la distancia recorrida por el primer ciclista es \(22+22t\) y la distancia recorrida por el segundo es \(30t\). Como la distancia recorrida por ambos hasta ese momento en que el segundo alcanza al primero es la misma, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[22+22t=30t\]

Resolviéndola:

\[22t-30t=-22\Rightarrow-8t=-22\Rightarrow t=\frac{-22}{-8}\Rightarrow t=2,75\]

Por tanto deben transcurrir 2,75 horas (2 horas y 45 minutos) para que el segundo ciclista alcance al primero.

Para comprobar que el resultado es correcto, observemos que, transcurridas 2,75 horas, el primer ciclista recorre \(22+22\cdot2,75=82,5\) kilómetros. El segundo, en el mismo tiempo, recorre también \(30\cdot2,75=82,5\) kilómetros. Por eso es justamente cuando pasan dos horas y tres cuartos cuando el segundo ciclista alcanza al primero.

Ejemplo 4

De un depósito de agua lleno se saca la mitad del contenido, y después, un tercio del resto. En el depósito quedan 200 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Llamemos \(x\) a la capacidad en litros del depósito. Como se saca la mitad, resulta que queda en el depósito la otra mitad, es decir, queda la mitad de \(x\): \(\dfrac{x}{2}\). Después se caca un tercio del resto, o sea, un tercio de esta mitad que ha quedado en el depósito:\(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{6}\).

En total hemos sacado pues \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{6}\) litros. Como quedan 200 litros dentro del depósito, la capacidad del depósito \(x\) es igual a lo que hemos sacado más los 200 litros que quedan dentro del mismo. Podemos entonces plantear la siguiente ecuación:

\[\frac{x}{2}+\frac{x}{6}+200=x\]

Resolviéndola:

\[3x+x+1200=6x\Rightarrow3x+x-6x=-1200\Rightarrow-2x=-1200\Rightarrow x=600\]

Por tanto, la capacidad del depósito es de 600 litros.

Veamos que este resultado es coherente con el enunciado. Primero sacamos la mitad, o sea, 300 litros, quedando dentro otros 300 litros. Ahora sacamos la tercera parte de 300 litros, que son 100 litros. Por tanto hemos sacado en total 400 litros. Esto quiere decir que dentro del depósito, tras las dos extracciones, quedan 200 litros, tal y como se expresaba en el enunciado.

Los problemas que se resuelven planteando ecuaciones se introducen ya en las matemáticas de primer ciclo de educación secundaria obligatoria. A continuación os dejo algunos enlaces más con problemas para resolver planteando ecuaciones.

Relación con 48 problemas que se resuelven planteando ecuaciones de primer grado. Nivel 1º de ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Relación con 42 problemas que se resuelven planteando ecuaciones de primer grado. Nivel 2º, 3º de ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Relación con ecuaciones, sistemas y problemas que se resuelven planteando una ecuación de primer grado o un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas. Nivel 4º ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Artículo sobre ecuaciones. El ejercicio 2 contiene cinco problemas de ecuaciones completamente resueltos.

 

 

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problemas

¿Queréis tener problemas? Aquí os proporciono unos cuantos. De matemáticas, claro. De esos que se resuelven planteando ecuaciones.

Por cierto, la imagen de arriba se ha tomado de sxc.hu

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Haciendo demostraciones en Matemáticas I

  • Publicado en Retos

Propongo un par de problemas donde se pide demostrar un par de cosas relacionadas con números. El nivel es de Matemáticas I (1º de Bachillerato Ciencias y Tecnología). Se trata de pensar, de razonar, de involucrarse con el problema matemático hasta que uno ve la idea con la que poder atacarlo.

Problema 1

Demuestra que la expresión \(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\) da como resultado un número entero. Calcula su valor.

Problema 2

Dados dos números reales positivos diferentes, demuestra que el producto de su suma por la suma de sus inversos es mayor que 4.

Animo a mis alumnos de 1º de Bachillerato a que lo intenten. Bueno, y a cualquier otra persona. 

En todo caso, si después de intentarlo no te sale, puedes ver las soluciones aquí debajo.

Solución del Problema 1

Elevemos la expresión al cuadrado:

\[\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2=\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2+2\cdot\sqrt{6+4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\]

\[=6+4\sqrt{2}+6-4\sqrt{2}+2\cdot\sqrt{\left(6+4\sqrt{2}\right)\cdot\left(6+4\sqrt{2}\right)}=12+2\cdot\sqrt{6^2-\left(4\sqrt{2}\right)^2}=\]

\[=12+2\cdot\sqrt{36-16\cdot2}=12+2\cdot\sqrt{36-32}=12+2\cdot\sqrt{4}=12+2\cdot2=12+4=16\]

Por tanto hemos llegado a la siguiente conclusión:

\[\left(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\right)^2=16\]

Extrayendo raíces cuadradas en ambos miembros de la igualdad tenemos:

\[\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}=4\]

Y hemos demostrado que, efectivamente, la expresión \(\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}\) es un número entero, en concreto el número \(4\).

Solución del Problema 2

 

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Cinco problemas de matemáticas inspirados en la antigua China

  • Publicado en Retos

Hace un tiempo escribí un artículo dedicado al árbelos. En él me refería a un libro titulado Expediciones Matemáticas, cuyo autor es Frank J. Swetz. Este libro propone multitud de problemas planteados a lo largo de la historia por distintas civilizaciones, haciendo un recorrido por la antigua Babilonia, el antiguo Egipto, la antigua Grecia, la antigua China, la India, el mundo islámico, la Europa medieval y la Europa renacentista. Pero esto es sólo una parte del libro. También se proponen, entre otros, problemas de los templos japoneses, problemas victorianos del siglo XIX, problemas norteamericanos de los siglos XVIII y XIX y problemas de cálculo del siglo XIX.

Como profesor estoy convencido de que, en nuestras clases, debemos manejar y trabajar con mucha más frecuencia los problemas de matemáticas. No se hace y debemos hacerlo. Es la salsa de las matemáticas. Y si además tienen un contexto histórico, pues mejor. Frank J. Swetz, en el prefacio del libro mencionado dice así:

Analizar y estudiar estos problemas puede servir para presentar a la clase un nuevo concepto matemático o reforzar alguno ya estudiado. En sí mismo, cada problema también proporciona una breve anécdota sobre por qué se necesitan las matemáticas. Igualmente, el contexto de los problemas proporciona al lector detalles sobre cómo era la vida de las personas en la época en la cual fueron escritos. Su contenido conecta las matemáticas con la sociedad y, dado que no son elementos cerrados, este aspecto permite utilizarlos tanto para la enseñanza interdisciplinar como para generar diferentes debates en clase.

Para que sirva de muestra he seleccionado cinco problemas matemáticos de la antigua China. Antes de los enunciados, en el libro se hace una breve introducción. En el caso de la antigua China, merece la pena hacerla aquí:

Al igual que Mesopotamia y el antiguo Egipto, la antigua China era una “sociedad hidráulica”. Se desarrolló en fértiles valles que permitieron la agricultura. Sin embargo, los ríos, principalmente el Yangtsé y el Amarillo, sufrían inundaciones, por lo que para la supervivencia de los asentamientos humanos se hacían necesarios sistemas de irrigación y diques par el control del agua. La responsabilidad de la construcción y mantenimiento de estos sistemas recayó en el gobierno y su burocracia. Con el tiempo, este gobierno terminó consistiendo en un emperador y ministerios imperiales dirigidos por eruditos de la corte. Las dos disciplinas científicas utilizadas para mantener el imperio eran las matemáticas (necesarias para la construcción y el cobro de impuestos) y la astronomía (para predecir los ciclos del crecimiento agrícola).
Los pocos manuales de matemáticas que se conservan contienen problemas que demuestran la naturaleza práctica de las primeras matemáticas chinas. El más importante de estos libros se titula Los nueve capítulos del arte matemático (c. 100 a.C.), que satisfizo las necesidades matemáticas chinas durante cientos de años y fue adoptado en países vecinos como Japón y Corea.
Los problemas siguientes contienen varias unidades de medida tradicionales chinas. Cuando ha sido necesario, se han proporcionado algunas relaciones de conversión. No obstante, sería un interesante ejercicio que el alumno estudiara las relaciones entre ellas y las comparara con las unidades de medida modernas.

Pues bien, ahí van los cinco problemas de la antigua China que he seleccionado. El enunciado de cada uno de ellos se ha transcrito literalmente del libro. A veces puede parecer que falta algún dato, o hay que presuponer cierta situación que se omite. ¿Te atreves a dar con la solución de alguno? Yo estoy en ello. Posteriormente, publicaré aquí mismo el desarrollo que conduce a la solución final. De todas formas, si alguien quiere hacer alguna aportación que no dude en escribirme a la dirección Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Usted necesita tener Javascript activado para poder verla. o a través de la página de contacto de esta Web. En general, los cuatro primeros problemas son aptos para cualquier alumno que esté en último curso de secundaria obligatoria, incluso en algún curso anterior. El quinto problema no es fácil. Al menos eso pienso yo (pero seguro que hay alguien que lo ve extraordinariamente sencillo). De hecho, he de confesar que muchos de los problemas cuyo enunciado ya he leído y que se proponen en el libro, o bien aún no he dado con la forma de resolverlos, o bien me ha costado mucho llegar a la solución. Pero eso está bien, pues me hace navegar otra vez por conceptos matemáticos un poco olvidados y, así, mantener viva esta pasión por las matemáticas.

Problema 1

Encuentra un número cuyos restos son 2, 3 y 2 cuando es dividido respectivamente entre 3, 5 y 7.

Problema 2

Un caballo, que disminuye su velocidad a la mitad cada día, viaja 700 millas en 7 días. ¿Cuánto camino recorre cada día?

Problema 3

Una ciudad cuadrada y amurallada de dimensiones desconocidas tiene 4 puertas, una en el centro de cada lado. A 20 bu de la puerta norte hay un árbol. Hay que caminar 14 bu hacia el sur desde la puerta sur y luego girar al oeste y caminar 1775 bu antes de poder ver el árbol. ¿Cuáles son las dimensiones de la ciudad?

Problema 4

Un estanque cuadrado tiene lados de 10 pies de longitud. En la orilla occidental crecen cañas verticales que sobresalen exactamente 3 pies del agua. En la orilla oriental un tipo diferente de caña sobresale exactamente 1 pie fuera del agua. Cuando se hace que los dos tipos de caña se junten, sus extremos superiores están exactamente nivelados con la superficie del agua. Permíteme que te pregunte cómo calcular estas tres cosas: la profundidad del agua y la longitud de cada caña.

Problema 5

Tengo dos cañas. El primer día una crece 3 pies y la otra 1 pie. El crecimiento de la primera disminuye cada día a la mitad que el día anterior, mientras que la otra crece el doble que el día anterior. ¿Cuántos días tardarán en tener la misma altura?

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El problema de las piedras mágicas

  • Publicado en Retos
Extraído del libro "Uno + uno son diez", de José María Letona.

En 1885 la expedición científica, dirigida por el eminente profesor Onarres Nabetse, a la Amazonia, para hacer un inventario de las hojas de los árboles, recogió, en sus cuadernos de campo, una bella historia que había sucedido en plena selva, en la tribu de los Licaf Recah, tribu de valientes guerreos que vivían de la pesca y la caza.

En ella se relata como su jefe, el viejo Anotel, sintiéndose cansado y viendo llegar el final de sus días, hizo llamar a sus dos hijos varones para proponerles un problema cuya solución determinaría cuál de los dos hijos le iba a suceder.

En Licaf Recah existía un mito relativo a piedras blancas y piedras negras. Las primeras significaban el bien y las segundas encarnaban el mal.

De esta forma, si querían ahuyentar los espíritus malignos, arrojaban cantos negros y si querían solicitar el amparo de los dioses, se guardaban piedras blancas.

Disponible en la cabaña sagrada, que ocupara un lugar preferente en el albero de la tribu, había dos sacos: uno con unas 2000 piedras negras y otro con una 2000 piedras blancas, a disposición de los integrantes de la tribu.

Hasta allí llevó Anotel a sus dos hijos a los que planteó el siguiente problema:

—Como véis, hijos —dijo con voz entrecortada por la emoción dle momento—, aquí están los sacos sagrados con sus piedras mágicas. Tendréis que coger un número, el que os parezca oportuno de piedras blancas y las introduciréis en el saco de las piedras negras. Una vez hecho esto las removeréis de forma que queden bien repartidas, procediendo después a coger la misma cantidad de piedras del saco de las negras y echarlas en el de las blancas, procediendo de nuevo a mezclarlas. De nuevo tomaréis una cantidad del saco de las blancas para echarlo en el de las negras y removeréis para que se mezclen lo mejor posible. Del saco de las negras tomaréis la misma cantidad para echarlo en el de las blancas. Y esto repetido 150 veces. Me diréis, al cabo de estas operaciones, si hay más piedras negras en el saco de las blancas o blancas en el saco de las negras.

Terminada su exposición, Anotel miró a cada uno de sus hijos para comprobar que habían entendido bien la propuesta de sucesión. Afirmaron con la cabeza y se pusieron a manipular las piedras con las normas establecidas.

Mientras trasvasaban piedras de un saco al otro, la hija de Anotel, Aluap Orenidrás, se acercó a su padre y en voz muy baja le habló de tal manera que el jefe de la tribu, levantándose de su trono, gritó:

—¡Dejadlo!, mi sucesor será mi hija Aluap, que me ha demostrado su capacidad para resolver problemas difíciles en el Licaf Recah.

¿Qué le había susurrado la bella Aluap a su padre Anotel?


La joven le dijo a su padre la solución que dedujo pasando a plantear el problema con su esquema más simple. Como en este caso, en múltiples ocasiones el problema que nos plantean resulta difícil por su tamaño, por presentar demasiados elementos que lo hacen enrevesado y lo que procede es hacer la simplificación que se planteó Aluap: supongamos que trasvasamos solo una piedra negra al saco de las piedras blancas. Removemos y sacamos una que puede ser la negra que hemos introducido o una de las blancas que hay en el saco. Si fuera la negra, al meterla de nuevo en el saco de las negras, tendríamos tantas blancas en el saco de las negras como negras en el saco de las blancas, es decir, ninguna. Si la que hemos sacado después de remover es blanca y la metemos en el saco de las negras, es claro que tendremos tantas blancas en el saco de las negras como negras en el saco de las blancas, es decir, una.

Dicho esto, la respuesta es que, en cualquier caso, las negras en el saco de las blancas serán las mismas que las blancas en el saco de las negras.

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Hilbert. "Debemos saber, sabremos"

En la contraportada del libro que lleva por título "El reto de Hilbert", escrito por el historiador de la matemática Jeremy J. Gray, dice así:

David Hilbert es un nombre mítico en la historia de la matemática. Y no sólo de la matemática: también de la física cuántica, la ciencia que "transformó el mundo" durante el siglo XX, se encuentra íntimamente ligada a unas estructuras matemáticas que llevan su nombre: "espacios de Hilbert". A su genialidad creativa como científico, Hilbert unió una incomparable perspicacia en su visión de conjunto de la matemática. 

Tal perspicacia se concretó en una ocasión única, que ha pasado a la historia: la conferencia que pronunció el 8 de agosto de 1900 durante el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. Aquel día presentó sus célebres 23 problemas. Se trataba de las cuestiones más básicas y profundas que los matemáticos debían solucionar en el futuro, y que en aquel momento Hilbert "retó" a que lo hicieran. Más de cien años después, algunos de esos problemas han sido, efectivamente, resueltos (como el conocido "Último teorema de Fermat"), pero otros (como la "Hipótesis de Riemann") aún esperan su juez definitivo.

Hace poco, leyendo otro libro del que puede que hable otro día, me topé con la célebre cita de Hilbert: "Debemos saber, sabremos". Me dio por escribirla así, tal cual, en el buscador de Google y me encontré con un artículo de Manuel de León titulado precisamente "Debemos saber, sabremos". Es breve, pero directo e intenso. Su lectura puede arrojar luz sobre la utilidad y la irrazonable eficacia de las matemáticas.

Manuel de León es el director del Instituto de Ciencias Matemáticas del CSIC y, buscando acerca de su persona en Internet, me encontré también con este programa de radio nacional, presentado por Carlos Garrido, en el que Manuel de León nos explica cómo las matemáticas están en nuestra vida.

También encontré esta entrevista con Manuel de León en ABC.es Ciencia.

Efectivamente, las matemáticas están en todos sitios, sirven para muchas cosas y, además, apasionan.

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Compraventa y beneficio

  • Publicado en Retos
En una tienda se compraron unos adornos de porcelana por 629 euros. Se rompieron 3 y los que quedaron se han vendido a 4 euros más de lo que costaron. Si se ha obtenido un beneficio de 85 euros, ¿cuántos adornos se compraron?

Llamemos \(x\) al número de adornos que se compraron. Cada uno costó \(\dfrac{629}{x}\) euros. Como se rompieron tres quedaron \(x-3\). Como cada uno de ellos se vendió ahora a \(4\) euros más, el montante total al que asciende la venta es \((x-3)\left(\dfrac{629}{x}+4\right)\), o lo que es lo mismo, número de adornos vendidos por el precio al que ahora se vendió cada uno. Puesto que el beneficio es de \(85\) euros, el montante total debió de ascender a \(629+85=714\) euros. Así pues la ecuación que podemos plantear para resolver el problema es la siguiente:

\[(x-3)\left(\dfrac{629}{x}+4\right)=714\]

Si la resuelves se obtienen dos soluciones: \(x_1=-\dfrac{51}{4}\) y \(x_2=37\). La primera de ellas no nos sirve como solución a nuestro problema pues es negativa. De este modo podemos afirmar que se compraron \(37\) adornos.

Ahora, además, no es difícil hacer la comprobación de que esta solución es la correcta.

Este otro problema no es de compraventa, pero la forma de plantear su resolución es similar al anterior.

Varios amigos han preparado un viaje de vacaciones que cuesta 4000 euros. Un amigo tiene problemas y los demás deciden pagar 200 euros más cada uno para que así puedan ir todos. Calcula el número de amigos que son.

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Los cuatro cuatros

  • Publicado en Retos
Utilizando cuatro cuatros y todas las operaciones que conozcas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación) además del uso de paréntesis, intenta escribir todos los números que puedas del 0 al 100, ambos inclusive.

Se admiten sugerencias.

\(0 = 4-4+4-4\)

\(1=\dfrac{4}{4}+4-4\)

\(2=4+4-4-\sqrt{4}\)

\(3=\dfrac{4\cdot4-4}{4}\)

\(4=\sqrt{4+4+4+4}\)

\(5=\dfrac{4\cdot4+4}{4}\)

\(6=\dfrac{4+4}{4}+4\)

\(7=\dfrac{4}{4}+\sqrt{4}+4\)

\(8=4\cdot4-4-4\)

\(9=\dfrac{4}{4}+4\cdot\sqrt{4}\)

\(10=\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{4}+4\)

...

 

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Un par de problemas de edades

  • Publicado en Retos

Problema 1

¿Qué edad tenía una persona en el año 2000 sabiendo que esa edad era igual a la suma de las cuatro cifras de su año de nacimiento?

Problema 2

En una lápida podía leerse la siguiente inscripción:

«Aquí yace Pío Niro, muerto en 1971. Vivió tantos años como la suma de las cifras de su año de nacimiento.»

¿A qué edad murió?

Solución al problema 2.

Para empezar observamos que Pío Niro no pudo nacer en los años treinta, es decir, no pudo nacer en un año de la forma \(193x\). La suma de las cifras de un año de este tipo es, a lo sumo, \(22\), que es la que corresponde al año \(1939\). Si a \(1939\) le sumamos \(22\) tenemos \(1961\) que no es \(1971\). Algo similar ocurre si a cualquier año de la forma \(193x\) le sumamos la suma de sus cifras: nunca alcanzará a ser \(1971\). Similar razonamiento se puede seguir si el año de nacimiento fuera de la forma \(192x\), \(191x\), \(190x\), \(189x\), etcétera.

Razonemos ahora con una fecha de la forma \(194x\). Si Pío Niro hubiera nacido en \(1948\), cuya cifras suman \(22\), su muerte se tendría que haber producido, según reza en su lápida, en \(1948+22=1970\), que no coincide con \(1971\): se queda un año corto. Si hubiera nacido en \(1949\), cuyas cifras suman \(23\). su muerte se tendría que haber producido en el año \(1949+23=1972\), que sobrepasa en un año a \(1971\).

De todo lo anterior se deduce que es muy probable que el año de nacimiento de Pío Niro sea de la forma \(195x\). Vamos a plantear una ecuación según lo que dice en su lápida.

El año \(195x\) lo podemos escribir así: \(1000+900+50+x=1950+x\). La suma de sus cifras es \(1+9+5+x=15+x\). Si sumamos ambas cosas debe de dar \(1971\):

\[1950+x+15+x=1971\Rightarrow 2x=1971-1950-15\Rightarrow2x=6\Rightarrow x=3\]

Así, el año de nacimiento de Pío Niro fue \(1953\). La suma de sus cifras es \(18\) y \(1953+18=1971\). Obsérvese que vivió tantos años como la suma de las cifras de su año de nacimiento: \(18\).


Procediendo de manera similar a como se ha hecho para el problema 2, se puede obtener la solución del problema 1: la edad de la persona en el año \(2000\) era \(19\) años y nació en \(1981\).

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