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Dificultades con los porcentajes. Aumentos y descuentos. Impuestos y rebajas

Porcentajes. Aumentos y disminuciones porcentuales

Una parte considerable del alumnado de secundaria (y también de la población en general) encuentra dificultades a la hora de hacer cálculos con porcentajes. No acaban de tener clara la idea de porcentaje, sobre todo la de porcentajes de aumento (aplicar un impuesto) y la de porcentaje de descuento (llevar a cabo una rebaja). O bien, aunque tengan claro como hacer un porcentaje, lo aplican de forma errónea en la práctica. Aunque en esta Web dedicada a las matemáticas ya se ha analizado el asunto de los porcentajes, incluyendo ejemplos de problemas con porcentajes y de aumentos y disminuciones porcentuales, queremos comentar los errores más comunes que se cometen y aclarar cómo las matemáticas nos ayudan a resolverlos.

Empecemos por recordar que un porcentaje es una razón de denominador \(100\), es decir, cuando escribimos \(k\%\) nos referimos a la razón \(\dfrac{k}{100}\). Así, el \(k\%\) de una cantidad \(C\) se calcula mediante la siguiente operación:

\[\frac{k}{100}\cdot C=\frac{k\cdot C}{100}\]

Por ejemplo, el \(40\%\) de \(1260\) es \(\dfrac{40\cdot1260}{100}=\dfrac{50400}{100}=504\).

Hasta aquí todo funciona bien. El problema surge cuando tenemos que aplicar los porcentajes a situaciones cotidianas. Para darnos cuenta vamos a suponer que tenemos una propiedad cuyo valor ha disminuido en un \(50\%\) en el año 2014 y ha aumentado su valor un \(60\%\) en el año 2015. La pregunta es: ¿se ha revalorizado nuestra propiedad?, ¿sí o no? Mucha gente responde que sí, que se se ha revalorizado en un \(10\%\). Y no es cierto. ¿Nuestro sentido común nos juega una mala pasada? Es posible. Veamos lo que dicen las matemáticas al respecto. Para ello supongamos que, a comienzos de 2014, el valor de la propiedad era de \(1000\) €. Es obvio que a principios de 2015 el valor de la propiedad es de \(500\) €, pues su valor ha disminuido un \(50\%\). Como este valor ha aumentado un \(60\%\) en 2015, tenemos que el valor de la propiedad cuando comienza el año 2016 es:

\[500+\frac{60}{100}500=500+\frac{30000}{100}=500+300=800\]

Por tanto la propiedad ha pasado de tener un valor de \(1000\) euros a comienzos de 2014, a tener un valor de \(800\) euros a principios de 2016. Es decir, no se ha revalorizado, sino que su valor se ha reducido en un \(20\%\).

El cálculo, desde el punto de vista matemático, se puede hacer mediante la siguiente operación combinada:

\[1000\cdot(1-0,5)\cdot(1+0,6)=1000\cdot0,5\cdot1,6=500\cdot1,6=800\]

¿Qué significado tienen los factores \((1-0,5)\) y \((1+0,6)\) en la operación anterior? No es difícil intuir que aplicar el factor \(1-0,5\) supone disminuir o rebajar una cantidad en un \(50\%\), y aplicar el factor \(1+0,6\) implica aumentar o subir una cantidad un \(60\%\).

En general si disminuimos o rebajamos una cantidad \(C\) un \(k\%\), hemos de hacer la siguiente operación matemática:

\[C-\frac{k}{100}\cdot C=\left(1-\frac{k}{100}\right)\cdot C\]

Se observa con claridad que el factor que hay que aplicar a la cantidad \(C\) para disminuirlal un \(k\%\) es \(1-\dfrac{k}{100}\). Si el porcentaje de rebaja, descuento o disminución es del \(50\%\), como en el ejemplo anteior, entonces \(k=50\) y tenemos el factor \(1-\dfrac{50}{100}=1-0,5\).

Análogamente si aumentamos una cantidad \(C\) un \(k\%\), la operacion matemática es muy parecida a la anterior:

\[C+\frac{k}{100}\cdot C=\left(1+\frac{k}{100}\right)\cdot C\]

En el caso del ejemplo anterior, como el aumento en el año 2015 fue del \(60\%\), tenemos que \(k=60\) y el factor de aumento es \(1+\dfrac{60}{100}=1+0,6\).

Haciendo transacciones comerciales: echando números en tiendas y establecimientos

Veamos otros dos casos que se pueden dar en la práctica. Salimos a la calle de compras o a realizar alguna gestión. Esta situación implica que tengo que "echar números" por ver si la cuenta está bien, y así convencerme de que no me están "engañando".

Caso 1: ¿me "engaña" el comerciante?

Ya sabemos que, hoy por hoy, me puedo fiar en muchos de los comercios o establecimientos cuando hago una compra y hay rebajas. Los productos ya incluyen el Impuesto sobre el Valor Añadido (IVA) y en la etiqueta aparece el precio antes del descuento y el precio después de la rebaja. Sin embargo hay establecimientos en lo que esto puede no ocurrir. Por ejemplo, supongamos que estamos interesados en comprar cierta bicicleta que hemos visto en el escaparate de un establecimiento especializado, en el que marca un precio de \(350\) euros. Entramos y el vendedor nos dice que la bicicleta tiene, además, el \(25\%\) de descuento, pero que también hay que aplicar el correspondiente \(21\%\) de IVA. Después de ver la bicicleta bien decidimos comprarla y el vendedor nos cobra los \(350\) euros menos un \(4\%\) (la diferencia entre el \(25\%\) de la rebaja y el \(21\%\) del aumento por el IVA). Así, la cuenta es, según hemos visto anteriormente:

\[350\cdot(1-0,04)=350\cdot0,96=336\]

Entonces abonamos los \(336\) euros que nos solicita el vendedor y nos vamos con nuestra bicicleta recién adquirida tan contentos. Pues bien, queriéndolo o no, el vendedor nos ha engañado.

Realmente la cuenta que debemos hacer es la siguiente:

\[350\cdot(1-0,25)\cdot(1+1,21)=350\cdot0,75\cdot1,21=317,625\]

Es decir, tenemos que pagar \(317,625\) euros o, si se quiere y redondeando, \(317,63\) euros (18 euros y 37 céntimos menos de lo que me habían cobrado antes).

Y es que realmente el descuento no es del \(4\%\), sino del \(9,25\%\) ya que los factores multiplicativos son \(0,75\cdot1,21=0,9075\), es decir, hemos de pagar un \(90,75\%\) del producto y ahorrarnos el resto.

Caso 2: ¿estoy por la labor de pagarle al mecánico lo que realmente es justo?

Este caso se da con mucha frecuencia. Supongamos que quiero reparar la chapa de uno de los laterales de mi coche, que está un poco chafada debido a que no me doy mucha maña al aparcarlo en mi plaza de garaje. Pues bien, me voy con mi coche a mi chapista de confianza y le digo que me haga un presupuesto del arreglo. Después de analizar la situación, el chapista me dice que la factura ascendería a \(968\) euros incluyendo el \(21\%\) de IVA, pero que si no quiero factura podría pagar el arreglo en metálico sin el IVA. Estoy de acuerdo y le dejo el coche en el taller. Al cabo de unos días el chapista me llama para que pase a recoger el coche. Yo, que no quiero factura, ya he echado "mis cuentas" y voy con la cantidad justa en metálico: \(764,72\) euros. Cuando voy a pagarle, el chapista me dice que no, que son \(800\) euros. Yo no doy mi brazo a torcer y le demuestro que la cuenta es la siguiente: \(968\) euros menos el \(21\) por ciento de \(968\) es \((1-0,21)\cdot968=0,79\cdot968=764,72\) euros.

Pero el chapista me dice que no funciona así. Que no hay que rebajar en un \(21\%\) una cantidad previamente aumentada en un \(21\%\). El chapista, de manera correcta, hace la cuenta del siguiente modo. Supongamos que el precio del arreglo es \(x\) euros. A esta cantidad hay que añadirle el \(21\%\) de IVA y el total es de \(968\) euros, con lo que:

\[(1+0,21)x=968\Rightarrow1,21\cdot x=968\Rightarrow x=\frac{968}{1,21}=800\]

A regañadientes admito las cuentas del chapista y pago los \(800\) euros, que es lo justo, entre otras cosas porque si a los \(764,72\) euros que pretendía pagar le añado el \(21\%\) de IVA obtengo \(1,21\cdot764,72=925,3112\) cantidad que no coincide con los \(968\) euros que costaba el arreglo con el IVA.

Así como para calcular el precio de un producto con IVA basta multiplicar el precio original por \(1,21\); es importante observar que, para la operación contraria, obtener la cantidad sin IVA de una cantidad que ya contiene el IVA, basta con dividir entre \(1,21\). Muchos de los comerciales que trabajan ofreciendo sus productos a empresas tienen esto muy presente y hacen las cuentas con mucha rapidez.

 

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Porcentajes

Porcentajes

Un porcentaje o tanto por ciento, \(k\)% de una cantidad dada \(c\) es una parte \(a\) de dicha cantidad \(c\), que viene dada mediante la siguiente fórmula:

\[\frac{k\cdot c}{100}=a\qquad\qquad(1)\]

Así por ejemplo, el 35% de 6200 es \(\dfrac{35\cdot6200}{100}=\dfrac{217000}{100}=2170\).

Problemas con porcentajes

Ya hemos visto que en los porcentajes aparecen siempre tres cantidades relacionadas: el propio porcentaje o tanto por ciento, que hemos llamado \(k\), la cantidad total \(c\), y la parte \(a\) de dicha cantidad que se obtiene al aplicar el porcentaje.

Cualquiera de las tres cantidades anteriores se pueden calcular despejando de la fórmula \((1)\), si se conocen las otras dos. Veamos algunos ejemplos de problemas de este tipo donde aparecen porcentajes.

Ejemplo 1

Joaquín compra un abrigo en una tienda donde todos sus artículos están rebajados un 18%. ¿Qué cantidad le descontarán si el precio del abrigo es de 352 €?

Este problema es el más sencillo, pues se desconoce la parte \(a\) que se obtiene al aplicar el porcentaje. El tanto por ciento y la cantidad total son conocidas. Así pues:

\[a=\frac{18\cdot352}{100}=\frac{6336}{100}=63.36\,\text{€}\]

Ejemplo 2

Jaime compra un coche por 16000 € y le hacen un descuento de 1920 €. ¿Qué porcentaje le descuentan?

En este caso conocemos la cantidad total, 16000, y la parte resultante tras aplicar el porcentaje correspondiente, que es desconocido. Entonces:

\[\frac{k\cdot16000}{100}=1920\Rightarrow k=\frac{1920\cdot100}{16000}=12\]

Por tanto, a Jaime le descuentan un 12% en la compra del coche.

Ejemplo 3

Ana trabaja desde hace 10 años en una empresa, y ha cobrado 235 € en concepto de antigüedad, que es el 20% de su salario. ¿A cuánto asciende el salario de Ana?

Ahora conocemos la parte que corresponde a aplicar un 20% al salario de Ana, que son 235 €. Tenemos que calcular la cantidad total, es decir, el salario de Ana.

\[\frac{20\cdot c}{100}=235\Rightarrow c=\frac{235\cdot100}{20}=1175\]

Es decir, el salario de Ana es de 1175 €.

Aumentos y disminuciones porcentuales

Aumentar una cantidad \(c\) un \(k\)% equivale a calcular el \((100+k)\)% de dicha cantidad, es decir hemos de realizar la siguiente operación:

\[\frac{(100+k)\cdot c}{100}=a\]

Disminuir una cantidad \(c\) un \(k\)% equivale a calcular el \((100-k)\)% de dicha cantidad, es decir hemos de realizar la siguiente operación:

\[\frac{(100-k)\cdot c}{100}=a\]

En sendas formulas anteriores la cantidad \(a\) es la parte resultante tras hacer el aumento o la disminución porcentual.

Veamos otro par de ejemplos.

Ejemplo 4

Después de gastar el 15% del depósito de gasolina de un coche, quedan 42,5 litros. ¿Cuál es la capacidad total del depósito? 

Desconocemos la cantidad total \(c\) de gasolina o capacidad total del depósito. Como se ha gastado el 15%, hemos de hacer una dismunición porcentual. Se conoce que la parte resultante tras realizar la disminución porcentual es de 42,5 litros. Así pues:

\[\frac{(100-15)\cdot c}{100}=42,5\Rightarrow c=\frac{42,5\cdot100}{85}=50\]

Por tanto la capacidad total del depósito es de 50 litros.

Ejemplo 5

La factura de la comida de dos viajantes en un restaurante ascendió a 47,7 €. Tal factura incluía un 6% de IVA. ¿Cuál sería el valor de la factura sin IVA? 

Ahora también desconocemos la cantidad \(c\) a la que ascendía la factura sin IVA y a la que se a aplicado un aumento porcentual (el 6% de IVA). También sabemos que, tras realizar el aumento, la factura asciende a 47,7 €. Por tanto:

\[\frac{(100+6)\cdot c}{100}=47,7\Rightarrow c=\frac{47,7\cdot100}{106}=45\]

O sea, el valor de la factura sin IVA era de 45 €.

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Beda el Venerable

  • Publicado en Retos

En el siglo VIII, un monje benedictino inglés conocido con el nombre de Beda el Venerable planteó este problema.

Un testador a punto de morir deja dicho en su herencia: “Como mi mujer está próxima a dar a luz, otorgaré mi herencia en función del sexo de mi prole: si es niño le dejaré 2/3 de mi herencia, y a su madre 1/3; y si es niña, le dejaré 1/3 de mi herencia y a mi mujer 2/3”. El testador muere, y días más tarde su viuda da a luz a un par de mellizos de distinto sexo. ¿Cómo han de repartirse la herencia?

La razón entre las cantidades de hijo varón y madre es \(\dfrac{2/3}{1/3}=2\). La razón entre las cantidades de hija hembra y madre es \(\dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac{1}{2}\). Las anteriores son las constantes de proporcionalidad hijo-madre, hija-madre. De la primera se deduce que el hijo recibe el doble que la madre, y de la segunda que la hija recibe la mitad de la madre.

De lo anterior se deduce que si la cantidad que recibe la madre es \(x\), la del hijo es \(2x\) y la de la hija es \(\dfrac{x}{2}\), cantidades que suman un total de \(3,5x\). Por tanto el reparto se realizará de la siguiente manera:

A la madre le corresponde \(x\) de \(3,5x\), es decir \(\dfrac{x}{3,5x}=\dfrac{2}{7}\) del total.

Al hijo le corresponde \(2x\) de \(3,5x\), es decir \(\dfrac{2x}{3,5x}=\dfrac{4}{7}\) del total.

A la hija le corresponde \(0,5x\) de \(3,5x\), es decir \(\dfrac{0,5x}{3,5x}=\dfrac{1}{7}\) del total.

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El cumpleaños

La intuición a veces no nos funciona tan bien como creemos. Por ejemplo, supón que te encuentras en grupo con otras \(22\) personas. ¿Cuál crees que sería la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día? Si nos dejamos llevar por la intuición pensarás que es complicado que en un grupo de \(23\) personas, dos de ellas cumplan años el mismo día y, por tanto, que esta probabilidad deba ser baja. Digamos ¿un \(10\,\%\) más o menos? ¿Qué te parece? Es decir, ¿cada \(100\) veces que nos encontremos un grupo de \(23\) personas, en \(10\) de ellas, aproximadamente, habrá coincidencia en la fecha de cumpleaños de dos de sus componentes? ¿Es elevado este porcentaje o probabilidad? ¿Es escaso? ¿Te parecería una buena estimación?

Veamos lo que dicen las matemáticas al respecto, en concreto la teoría de probabilidades.

La probabilidad de que ocurra un suceso determinado \(A\), que escribiremos \(P(A)\), se rige por la famosa regla de Laplace, según la cual esta probabilidad es igual al número de casos favorables de que ocurra el suceso \(A\), dividido entre el número de casos posibles en que se puede dar el suceso \(A\).

Simbólicamente:

De este modo la probabilidad de que dos personas no cumplan años el mismo día es:

Lo que supone un porcentaje superior al \(99,7\,\%\). Esto es así porque, elegida una persona cualquiera, debe haber nacido uno de los \(365\) días del año (estamos prescindiendo de los años bisiestos) y, para esta persona, el número de casos favorables es igual que el número de casos posibles: \(365\). Ahora bien, si elegimos otra persona, el número de casos favorables se reducirá a \(364\), uno menos que antes, pues no puede cumplir años el mismo día que la persona anterior. El número de casos posibles sigue siendo \(365\).

Es como calcular cuántos pares de días distintos se pueden elegir al año. En cualquier orden. Para el primer día del par hay \(365\) posibilidades y para el segundo día del par quedan \(364\), ya que alguno tuvo que haber sido usado para la primera persona. Por eso los casos favorables son:

Los casos posibles serían, visto de este modo, todos los posibles pares de días que se pueden formar en el año. Por lo tanto son:

En realidad, estamos utilizando una conocida regla para contar, el principio de la multiplicación o del producto. Podemos imaginar dos bombos con \(365\) bolas cada uno, numeradas desde el número \(1\) hasta el número \(365\), una para cada uno de los días del año (insistimos en que no contaremos los años bisiestos). Para los casos favorables utilizaremos un bombo completo para la primera persona, y el otro bombo con una bola menos para la segunda persona, justo aquella bola con el número en que cumple los años la primera persona. Está claro que para cada bola del primer bombo hay \(364\) bolas del segundo bombo. En total, como ya se había visto, \(365\cdot364=132860\) parejas distintas de números para los casos favorables.

Si ahora tuviéramos tres personas y quisiéramos saber la probabilidad de que ninguna de las tres hubiese nacido el mismo día, los casos favorables serían todas las posibles ternas de días del año sin repetición. O sea, siguiendo la argumentación anterior:

Y los casos posibles ahora serían, naturalmente:

Aplicando la regla de Laplace, la probabilidad de que ninguna de las tres personas hayan nacido el mismo día es, por tanto:

Si siguiéramos con cuatro personas, la probabilidad de que ninguna de ellas hayan nacido el miso día es, siguiendo el mismo proceso:

Podríamos seguir así con grupos formados por más personas: cinco, seis, siete, etcétera; y calcular la probabilidad de que ninguna de ellas haya nacido el mismo día. En concreto si llegamos a un grupo de \(23\) personas se tiene:

Es decir, la probabilidad de que, en un grupo de \(23\) personas, ninguna de ellas haya nacido el mismo día, es aproximadamente \(0,4898\), (en tanto por ciento \(48,98\,\%\)). Esto quiere decir que, en ese mismo grupo, la probabilidad de que dos de ellas sí que celebren su cumpleaños el mismo día es \(1-0,4898=0,5102\), que supone un porcentaje del \(51,02\,\%\).

Por tanto nuestra supuesta intuición estaba lejos de la realidad. En un grupo de, al menos \(23\) personas, la probabilidad de que dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día es de más del \(50\,\%\).

¡Haz la prueba cuando te encuentres en grupo de esta índole y ya me contarás!

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