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El último axioma. El axioma del supremo

Hay conceptos matemáticos de los que apenas se habla en las matemáticas del Bachillerato, o bien se pasa de puntillas sobre ellos. Es cierto que "jugamos" con los números reales dando por hecho muchas propiedades de los mismos y eso está bien, pues de manera intuitiva el alumno no tiene porqué preguntarse algunas cosas realmente obvias. Por poner un par de ejemplos, damos por hecho como axiomas las propiedades asociativa y conmutativa para la suma y para el producto, y establecemos un orden en los números reales representándolos en la recta real, añadiendo propiedades para las desigualdades que el alumno admite sin problemas. Hay otros conceptos, precisamente relacionados con las desigualdades, como los distintos intervalos o semirrectas de la recta real, así como los conceptos de máximo y de mínimo de un conjunto de números reales, de los que también se habla en la Secundaria y en el Bachillerato y que el alumno suele entender con cierta facilidad. Sin embargo, insistiendo en las desigualdades y en el orden numérico establecido en el conjunto de los números reales, dejamos de lado ciertos conceptos como los de cota superior o inferior, conjunto mayorado o minorado, supremo e ínfimo. La idea es que el alumno, además de admitir que hay cosas realmente evidentes en el conjunto de los números reales, debe considerar el hecho de que todos los axiomas y propiedades convierten al conjunto de los números reales en un conjunto con unas estructuras, que lo hacen realmente potente para continuar trabajando en otros ámbitos más precisos de las matemáticas.

En esta Web ya se ha hablado de del conjunto de los números reales y de sus estructuras en algunos artículos. Son los siguientes:

Se recomienda la lectura de los artículos anteriores para comprender este con más facilidad, aunque no es que sea estrictamente necesario.

Y es que en este artículo vamos a poner bases sólidas a ideas que son fáciles de admitir y que tienen que ver con el orden establecido (estructura de cuerpo ordenado) en el conjunto de los números reales. Después de ello podremos enunciar un axioma que, tal y como expresa el título de este artículo, es el último que vamos a dar por hecho en nuestro conjunto: el axioma del supremo. Tal y como decía uno de mis profesores, es un axioma fácil de entender y no tan fácil de asimilar. El hecho de asimilar el axioma del supremo tiene que ver, además de reflexionar bastante sobre el mismo, con la agilidad y práctica en el uso de las desigualdades y acotaciones, cuestiones que facilitarán enormemente no solamente la resolución de algunos ejercicios, sino entender con facilidad muchas demostraciones, ya que el uso que se hará del axioma del supremo en temas posteriores del análisis matemático es realmente abundante. Vuelvo a admitir que he usado como guía el texto de Camilo Aparicio del Prado y Rafael Payá Albert, titulado Análisis Matemático I, y que fue mi referente principal al empezar los estudios superiores de matemáticas. Otros textos de Análisis Matemático afrontan este episodio de manera similar.

Mayorantes, minorantes, supremo e ínfimo

Existen conjuntos no vacíos de números reales que no tienen máximo ni mínimo, por ejemplo \(\mathbb{R}\) (los conceptos de máximo y mínimo los puedes consultar en la parte final de este artículo). El conjunto

\[A=\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\}\]

no tiene máximo ni mínimo como se puede fácilmente comprobar, pero, a diferencia de \(\mathbb{R}\), existen números reales mayores o iguales que todos los de \(A\) y números reales menores o iguales que todos los de \(A\). A continuación damos nombres a estos números reales. Merece la pena recordar que estas definiciones pueden hacerse en cualquier cuerpo ordenado.

Definición 1.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Diremos que un número real \(x\) es mayorante (o cota superior) de \(A\) si verifica

\[x\geq a,\forall a\in A\]

Diremos que un número real \(x\) es minorante (o cota inferior) de \(A\) cuando sea

\[x\leq a,\forall a\in A\]

Nótese que, a diferencia del máximo y del mínimo, un mayorante o minorante de un conjunto no tiene por qué pertenecer a dicho conjunto. De hecho, es claro que el máximo (respectivamente, el mínimo) de un conjunto, si existe, es un mayorante (respectivamente, un minorante) de dicho conjunto, y que un mayorante (respectivamente, un minorante) de un conjunto \(A\) es máximo (respectivamente, mínimo) de \(A\) si, y sólo si, pertenece a \(A\).

Si un conjunto admite un mayorante diremos que está mayorado (o acotado superiormente). Si un conjunto admite un minorante diremos que está minorado (o acotado inferiormente). Si un conjunto está a la vez mayorado y minorado diremos que está acotado.

Dado un conjunto \(A\) de números reales, notaremos \(M(A)\) al conjunto de los mayorantes de \(A\), y \(m(A)\) al conjunto de su minorantes. Nótese que si \(A\) está mayorado (\(M(A)\neq\emptyset\)), entonces \(M(A)\) es un conjunto infinito (puesto que si \(x\in M(A)\), entonces \(\{x+n:n\in\mathbb{N}\}\subset M(A)\)). Análogamente, si \(A\) está minorado, entonces \(m(A)\) es infinito.

A titulo de ejemplo, el conjunto \(\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\}\) está acotado, \(\mathbb{R}\) no está mayorado ni minorado, \(\mathbb{R}^+\) está minorado pero no mayorado y \(\mathbb{R}^-\) está mayorado pero no minorado. El siguiente lema puede ayudar a determinar todos los mayorantes y minorantes de un conjunto.

Lema

Sean \(a\) y \(b\) números reales y supongamos \(a<b+\varepsilon\) para todo \(\varepsilon\) real y positivo. Entonces \(a\leq b\).

Supongamos por el contrario que \(b<a\) y sea entonces \(\varepsilon=a-b\); se tiene que \(a<b+\varepsilon=a\), lo cual es una contradicción.

Utilizando este lema es fácil comprobar que:

\[M(\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\})=\{x\in\mathbb{R}:1\leq x\}\quad ;\]

\[m(\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\})=\{x\in\mathbb{R}:x\leq 0\}=\mathbb{R}_0^-\quad ;\]

\[M(\mathbb{R}^-)=\mathbb{R}_0^+\quad ;\quad m(\mathbb{R}^+)=\mathbb{R}_0^-\]

Definición 2.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. Si \(A\) está mayorado y el conjunto de los mayorantes de \(A\) tiene mínimo, se define el supremo de \(A\) como el mínimo del conjunto de los mayorantes de \(A\). Análogamente se define el ínfimo de un conjunto como el máximo del conjunto de sus minorantes supuesto que exista.

Claramente el supremo y el ínfimo de un conjunto, si existen, son únicos y son respectivamente un mayorante y un minorante del mismo. Notaremos \(\sup A\) (respectivamente \(\inf A\)) al supremo (respectivamente ínfimo) de un conjunto \(A\). En vista de lo dicho anteriormente se tiene:

\[\sup\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\}=1\quad ;\quad \inf\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\}=0\]

\[\sup\mathbb{R}^-=\sup\mathbb{R}_0^-=0\quad ; \quad \inf\mathbb{R}^+=\inf\mathbb{R}_0^+=0\]

La relación entre supremo y máximo de un conjunto y la relación entre ínfimo y mínimo, se especifican a continuación.

Proposición 1.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales.

i) Si \(A\) tiene máximo, entonces tiene supremo y se verifica \(\sup A=\max A\).

ii) Si \(A\) tiene mínimo, entonces tiene ínfimo y se verifica \(\inf A=\min A\).

iii) Supongamos que \(A\) tiene supremo, entonces:

- Si \(\sup A\in A\), \(A\) tiene máximo y \(\max A=\sup A\).

- Si \(\sup A\notin A\), \(A\) no tiene máximo.

iv) Supongamos que \(A\) tiene ínfimo, entonces:

- Si \(\inf A\in A\), \(A\) tiene mínimo y \(\min A=\inf A\).

- Si \(\inf A\notin A\), \(A\) no tiene mínimo.

i) Si \(x\) es mayorante de \(A\), se tiene \(a\leq x,\forall a\in A\) y como \(\max A\in A\), \(\max A\leq x\), luego \(\max A\) es el mínimo de \(M(A)\), es decir, \(\max A=\sup A\).

ii) Analoga a la de i).

iii) Si \(\sup A\in A\) \(\sup A\) es un mayorante de \(A\) que pertenece a \(A\), luego es el máximo de \(A\). Si \(\sup A\notin A\), supongamos que \(A\) tuviese máximo; entonces por i) \(\max A=\sup A\) y \(\sup A\) pertenecería a \(A\), lo cual es absurdo.

iv) Análoga a la de iii).

La siguiente proposición es una importante caracterización del supremo y del ínfimo de un conjunto de números reales.

Proposición 2.

Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales y sea \(x\) un número real. Entonces:

i) \(x=\sup A\Leftrightarrow\begin{cases}
      x\geqslant a,\forall a\in A\\
      \forall\varepsilon\in\mathbb{R}^+,\exists\,a\in A\ \text{tal que}\ a>x-\varepsilon\end{cases}\)

ii) \(x=\inf A\Leftrightarrow\begin{cases}
      x\leqslant a,\forall a\in A\\
      \forall\varepsilon\in\mathbb{R}^+,\exists\,a\in A\ \text{tal que}\ a<x+\varepsilon\end{cases}\)

i) \(\Rightarrow)\) Si \(x=\sup A\), \(x\) es mayorante de \(A\) y dado \(\varepsilon\in\mathbb{R}^+\), \(x-\varepsilon\) no puede ser mayorante de \(A\), luego \(\exists\,a\in A\) tal que \(a>x-\varepsilon\).

\(\Leftarrow)\) Por hipótesis \(x\) es un mayorante de \(A\). Sea \(y\) un mayorante cualquiera de \(A\). Si fuese \(y<x\), sea \(\varepsilon=x-y\); por hipótesis existe \(a\in A\) tal que \(a>x-\varepsilon=x+(y-x)=y\), lo cual es absurdo pues \(y\) era un mayorante de \(A\). Así pues \(x\leqslant y\), lo que prueba que \(x\) es el mínimo de los mayorantes de \(A\).

ii) Análoga a la de i).

El último axioma

El siguiente axioma junto con todos los demás que se resumían afirmando que \(\mathbb{R}\) era un cuerpo ordenado conmutativo, completa la axiomática que define el cuerpo \(\mathbb{R}\) de los números reales.

El axioma del supremo.

Todo conjunto de números reales no vacío y mayorado tiene supremo.

Obsérvese que para que un conjunto de números reales tenga supremo debe ser necesariamente no vacío y mayorado. El axioma anterior nos asegura que estas dos condiciones, trivialmente necesarias, son también suficientes. Cabría preguntarse por qué no se exige análogamente que todo conjunto de números reales no vacío y minorado tenga ínfimo. A continuación veremos que esto ya se deduce a partir de nuestra axiomática.

Proposición 3.

Todo conjunto de números reales no vacío y minorado tiene ínfimo.

Sea \(A\) un tal conjunto. Si notamos \(-A=\{-a:a\in A\}\), comenzaremos probando que un número real \(m\) es minorante de \(A\) si, y sólo si, \(-m\) es mayorante de \(-A\):

\[m\in m(A)\Leftrightarrow m\leqslant a,\forall a\in A\Leftrightarrow -m\geqslant -a,\forall a\in A\Leftrightarrow-m\in M(-A)\]

Sea \(h=\sup(-A)\); como \(h\) es mayorante de \(-A\), \(-h\) es minorante de \(A\). Nos queda probar que \(-h\) es el mayor de los minorantes del conjunto \(A\): si \(m\) es minorante de \(A\) se tiene que \(-m\) es mayorante de \(-A\), luego \(-m\geqslant h\) y \(m\leqslant -h\) y así \(-h=\inf A\).

Nótese que hemos probado que si \(A\) es un conjunto de números reales no vacío y minorado, entonces \(-A\) está mayorado y se tiene:

\[\inf A=-\sup(-A)\]

Cambiando \(A\) por \(-A\), si \(A\) es un conjunto de números reales no vacío y mayorado, entonces \(-A\) está minorado y se tiene:

\[\sup A=-\inf(-A)\]

Corolario 1.

Todo conjunto de números reales no vacío y acotado tiene supremo e ínfimo.

Aunque parezca obvio que siempre hay un número natural mayor que cualquier número real, esto se puede demostrar. De hecho, como consecuencia fundamental del axioma del supremo obtenemos a continuación el llamado Principio de Arquímedes, según el cual un número real cualquiera puede ser superado por el procedimiento de sumar la unidad consigo misma suficientes veces.

Teorema (Principio de Arquímedes).

El conjunto de los números naturales no está mayorado. Equivalentemente:

\[\forall x\in\mathbb{R}:\exists\,n\in\mathbb{N}:x<n\]

Si \(\mathbb{N}\) estuviese mayorado, sea \(h=\sup\mathbb{N}\). Si \(n\) es un natural cualquiera, \(n+1\) es natural, luego \(n+1\leqslant h\) y \(n\leqslant h-1\). Como \(n\) era arbitrario hemos probado que \(h-1\) es mayorante de \(\mathbb{N}\), lo cual es absurdo pues \(h\) era el mínimo de los mayorantes y \(h-1<h\).

El papel de la unidad en el principio de Arquímedes puede ser desempeñado por cualquier real positivo, obteniéndose el siguiente enunciado que no es más que una formulación equivalente del principio de Arquímedes.

Corolario 2.

Dados un real \(x\) y un real positivo \(\varepsilon\) puede encontrarse un número natural \(n\) (que dependerá de \(x\) y de \(\varepsilon\)) tal que

\[x<n\varepsilon\]

Por el teorema anterior \(\dfrac{x}{\varepsilon}\) no puede ser mayorante de \(\mathbb{N}\), luego existe un natural \(n\) tal que \(\dfrac{x}{\varepsilon}<n\), de donde \(x<n\varepsilon\) pues \(\varepsilon>0\).

Una consecuencia fundamental del axioma del supremo es que nos permitirá probar la existencia de números irracionales. Sí, de números reales que no son racionales, es decir, que no son fracciones. Aunque parezca mentira nadie nos dijo que existían. Ya se habló de la introducción de manera natural, en las matemáticas de Secundaria, de las fracciones. Más concretamente, el conjunto de los \(\mathbb{Q}\) racionales se define de la siguiente forma:

\[\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}\ :\ p\in\mathbb{Z}\ ,\ n\in\mathbb{N}\right\}\]

Pero nadie nos dijo que había más números más allá de los racionales. Como mucho fuimos capaces de demostrar que no existe ningún número racional cuyo cuadrado es dos. Pero... ¿qué será esa cosa cuyo cuadrado es dos? ¿Tenemos derecho a pensar que es un número? Y si lo es, ¿qué clase de número es? Pero esto lo dejaremos para un próximo artículo...

Se proponen a continuación una colección de ejercicios relacionados con el supremo y el ínfimo de conjuntos.

Ejercicios

1. Sea \(A\) un conjunto no vacío de números reales. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de números reales pueden ser iguales a \(M(A)\)?: \(\mathbb{R}\), \(\emptyset\), \(\mathbb{R}^+\), \(\{x\in\mathbb{R}\,:\,0\leqslant x\leqslant1\}\), \(\{x\in\mathbb{R}\,:\,2\leqslant x\}\).

Es imposible que \(M(A)=\mathbb{R}\), ya que el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales no tiene mínimo.

Ocurrirá que \(M(A)=\emptyset\) cuando \(A\) no esté acotado superiormente. Por ejemplo, si \(A=\mathbb{R}\): \(M(\mathbb{R})=\emptyset\).

No puede darse nunca que \(M(A)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,0\leqslant x\leqslant1\}\), ya que \(\{x\in\mathbb{R}\,:\,0\leqslant x\leqslant1\}\) está acotado superiormente.

Si tomamos \(A=\{x\in\mathbb{R}\,:\,x<2\}\), se tiene que \(M(A)=\{x\in\mathbb{R}\,:\,2\leqslant x\}\).

2. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos de números reales verificando \(A\subset B\). Probar que si \(B\) está mayorado (respectivamente minorado) lo está A y se verifica \(\sup A \leqslant \sup B\) (respectivamente \(\inf A \geqslant \inf B\)).

Si \(B\) está mayorado entonces existe \(\beta=\sup B\). Como \(A\subset B\) entonces existe \(b\in B\) tal que \(a\leqslant b\leqslant\beta\,,\forall a\in A\). Por tanto, \(A\) está mayorado y existe \(\alpha=\sup A\). Claramente \(\beta\) es un mayorante de \(A\), por tanto \(\alpha\leqslant\beta\), es decir, \(\sup A\leqslant\sup B\).

Si \(A\subset B\) entonces también \(-A\subset -B\) con lo que, por lo demostrado anteriormente, \(\sup(-A)\leqslant\sup(-B)\), o lo que es lo mismo, \(-\inf A\leqslant-\inf B\Rightarrow\inf A\geqslant\inf B\) (véanse los comentarios que siguen a la proposición número 3).

3. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos y acotados de números reales. Probar que \(A\cup B\) está acotado y que se verifican: \(\sup(A\cup B)=\max\{\sup A, \sup B\}\), \(\inf(A\cup B)=\min\{\inf A, \inf B\}\).

Sea \(\alpha\in A\cup B\). Entonces o bien \(\alpha\in A\Rightarrow\alpha\leqslant\sup A\); o bien \(\alpha\in B\Rightarrow\alpha\leqslant\sup B\). En cualquier caso \(\alpha\leqslant\max\{\sup A,\sup B\}\). Por tanto, \(A\cup B\) está mayorado y además tenemos que \(\sup (A\cup B)\leqslant\max\{\sup A,\sup B\}\). Por otro lado, utilizando el ejercicio anterior, como \(A\subset A\cup B\) y \(B\subset A\cup B\), se tiene que \(\sup A\leqslant\sup(A\cup B)\) y también que \(\sup B\leqslant\sup(A\cup B)\). Por tanto \(\max\{\sup A,\sup B\}\leqslant\sup(A\cup B)\). Hemos demostrado que \(A\cup B\) está mayorado y que \(\sup(A\cup B)=\max\{\sup A,\sup B\}\).

Sea \(\beta\in A\cup B\). Entonces o bien \(\beta\in A\Rightarrow\beta\geqslant\inf A\); o bien \(\beta\in B\Rightarrow\beta\geqslant\inf B\). En cualquier caso \(\beta\geqslant\min\{\inf A,\inf B\}\). Por tanto, \(A\cup B\) está minorado y además tenemos que \(\inf (A\cup B)\geqslant\min\{\inf A,\inf B\}\). Por otro lado, utilizando el ejercicio anterior, como \(A\subset A\cup B\) y \(B\subset A\cup B\), se tiene que \(\inf A\geqslant\inf(A\cup B)\) y también que \(\inf B\geqslant\inf(A\cup B)\). Por tanto \(\min\{\inf A,\inf B\}\geqslant\inf(A\cup B)\). Hemos demostrado que \(A\cup B\) está minorado y que \(\inf(A\cup B)=\min\{\inf A,\inf B\}\).

4. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos y acotados de números reales. Probar que si \(A\cap B\neq\emptyset\), \(A\cap B\) está acotado y se verifica:

\[\max\{\inf A,\inf B\}\leqslant\inf(A\cap B)\leqslant\sup(A\cap B)\leqslant\min\{\sup A,\sup B\}\]

Probar que las anteriores desigualdades pueden ser estrictas.

Puesto que \(A\cap B\subset A\) y \(A\cap B\subset B\), el ejercicio 2 asegura que \(A\cap B\) está acotado y además se verifica que \(\inf(A\cap B)\geqslant\inf A\), \(\inf(A\cap B)\geqslant\inf B\), \(\sup(A\cap B)\leqslant\sup A\), \(\sup(A\cap B)\leqslant\sup B\). Por tanto, por un lado \(\inf(A\cap B)\geqslant\max\{\inf A,\inf B\}\) y, por otro, \(\sup(A\cap B)\leqslant\min\{\sup A,\sup B\}\). Como \(\inf(A\cap B)\leqslant\sup(A\cap B)\), tenemos probado el resultado.

Para probar que las desigualdades pueden ser estrictas sean \(A=\{2,3,4,5\}\) y \(B=\{1,3,4,8,9\}\). Se tiene que \(\inf A=2\), \(\sup A=5\), \(\inf B=1\), \(\sup B=9\). Además, \(A\cap B=\{3,4\}\) con lo que \(\inf(A\cap B)=3\) y \(\sup(A\cap B)=4\). Entonces

\[\max\{\inf A,\inf B\}=2<\inf(A\cap B)=3<\sup(A\cap B)=4<\min\{\sup A,\sup B\}=5\]

y las desigualdades son estrictas.

5. Dados dos conjuntos no vacíos de números reales \(A\) y \(B\), sea \(C=\{x+y\,:\,x\in A\,,\,y\in B\}\). Probar que si \(A\) y \(B\) están mayorados, \(C\) está mayorado y se verifica

\[\sup C=\sup A+\sup B\]

Como aplicación calcular el supremo y el ínfimo del conjunto

\[\left\{\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^m}+\frac{1}{5^p}\,:\,m,n,p\in\mathbb{N}\right\}\]

Sean \(\alpha=\sup A\) y \(\beta=\sup B\). Entonces \(\alpha\geqslant x\,,\forall\,x\in A\) y \(\beta\geqslant y\,,\forall\,y\in B\). De lo anterior se deduce que \(\alpha+\beta\geqslant x+y\,,\forall\,x\in A\,,\forall\,y\in B\). Por tanto, \(C\) está mayorado y se tiene que \(\sup C\leqslant\alpha+\beta=\sup A+\sup B\).

Supongamos ahora, razonando por reducción al absurdo, que \(\sup C<\sup A+\sup B\). Llamemos \(k=\sup A+\sup B\), \(k'=\sup C\) y sea \(d=\frac{1}{2}(k-k')>0\). Por definición de supremo existen \(x_0\in A\), \(y_0\in B\) tales que \(\alpha-d<x_0\) y \(\beta-d<y_0\). Entonces:

\[\alpha+\beta-2d<x_0+y_0\Rightarrow\alpha+\beta-(\alpha+\beta-\sup C)<x_0+y_0\Rightarrow\sup C<x_0+y_0\]

Llamando \(z_0=x_0+y_0\), hemos demostrado que existe \(z_0\in C\) tal que \(z_0>\sup C\), lo cual es absurdo. Así \(\sup C\geqslant\sup A+\sup B\). De esta última desigualdad y de la demostrada anteriormente, se deduce que \(\sup C=\sup A+\sup B\).

Dado ahora el conjunto \(A=\left\{\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^m}+\frac{1}{5^p}\,:\,m,n,p\in\mathbb{N}\right\}\), sean \(A_1=\{\frac{1}{2^n}\,:\,n\in\mathbb{N}\}\), \(A_2=\{\frac{1}{3^m}\,:\,m\in\mathbb{N}\}\), \(A_3=\{\frac{1}{5^p}\,:\,p\in\mathbb{N}\}\). Es claro que \(\sup A_1=\frac{1}{2}\), \(\sup A_2=\frac{1}{3}\), \(\sup A_3=\frac{1}{5}\). De este modo \(\sup A=\sup A_1+\sup A_2+\sup A_3=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{31}{30}\).

Demostremos por otro lado que \(\inf A_1=\inf A_2=\inf A_3=0\). Se tiene que \(\frac{1}{2^n}>0\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Si fuera \(\inf A_1=k>0\), entonces \(0<k\leqslant\frac{1}{2^n}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\Rightarrow0<2^n\leqslant\frac{1}{k}\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Esto es una contradicción pues el conjunto \(\{2^n\,:\,n\in\mathbb{N}\}\) no está mayorado. Así, \(\inf A_1=0\). De igual modo se demuestra que \(\inf A_2=\inf A_3=0\). Entonces \(\sup(-A_1)=\sup(-A_2)=\sup(-A_3)=0\) y, por tanto:

\[\sup(-A)=\sup(-A_1)+\sup(-A_2)+\sup(-A_3)=0\Rightarrow\inf A=-\sup(-A)=0\]

6. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos y mayorados de números reales y sea \(C=\{xy\,:\,x\in A\,,\,y\in B\}\). Probar que si \(A\subset\mathbb{R}_0^+\) y \(B\subset\mathbb{R}_0^+\), entonces \(C\) está acotado superiormente y se verifica

\[\sup C=\sup A \sup B\]

Como aplicación calcular el supremo del conjunto

\[\left\{x\left(1-\frac{1}{n}\right)\,:\,x\in\mathbb{R}\,,\,2<x<3\,,\,n\in\mathbb{N}\right\}\]

Podemos suponer que \(\sup A\) y \(\sup B\) son números reales positivos pues si \(\sup A=0\) o bien \(\sup B=0\), entonces \(A=\{0\}\) o \(B=\{0\}\), con lo que \(C=\{0\}\) y \(\sup C=0\). Así, si \(A\neq\{0\}\) y \(B\neq\{0\}\), entonces \(C\neq\{0\}\) y \(\sup C>0\).

Llamemos \(k=\sup A\cdot\sup B\). Como \(0\leqslant x\leqslant\sup A\,,\forall\,x\in A\) y \(0\leqslant y\leqslant\sup B\,,\forall\,y\in B\), entonces \(0\leqslant xy\leqslant\sup A\cdot\sup B\,,\forall\,x\in A\,,\forall\,,y\in B\). De aquí se deduce que \(C\) está acotado superiormente y que \(\sup C\leqslant\sup A\cdot\sup B\). Llamemos \(r=\sup C\) y supongamos ahora que \(\sup C<\sup A\cdot \sup B\), es decir, que \(r<k\). Sea \(\varepsilon=\sqrt{\frac{r}{k}}\). Obsérvese que \(0<\varepsilon<1\), con lo que \(0<\varepsilon\cdot\sup A<\sup A\), \(0<\varepsilon\cdot\sup B<\sup B\). Tenemos así, por definición de supremo, que existen \(x_0\in A\), \(y_0\in B\) tales que \(0<\varepsilon\cdot\sup A<x_0\,\), \(0<\varepsilon\cdot\sup B<y_0\). Llamando \(z_0=x_0y_0\), esto significa que existe \(z_0\in C\) tal que \(0<\varepsilon^2k=r<z_0\), lo cual es absurdo pues habíamos supuesto que \(r=\sup C\). Así, debe de ser \(\sup C\geqslant\sup A\cdot\sup B\). Por tanto se tiene que \(\sup C=\sup A\cdot\sup B\), tal y como queríamos demostrar.

Para calcular el supremo del conjunto \(C=\left\{x\left(1-\frac{1}{n}\right)\,:\,x\in\mathbb{R}\,,\,2<x<3\,,\,n\in\mathbb{N}\right\}\), sean \(A=\{x\in\mathbb{R}\,:\,2<x<3\}\) y  \(B=\{1-\frac{1}{n}\,:\,n\in\mathbb{N}\}\). Entonces \(\sup A=3\) y \(\sup B=1\). Por tanto, como \(C=\{xy\,:\,x\in A,y\in B\}\), tenemos que \(\sup C=\sup A\cdot\sup B=3\cdot1=3\).

7. Calcular el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos:

\[A=\{x\in\mathbb{R}\,:\,3x^2-10x+3<0\}\quad\text{;}\quad B=\{x\in\mathbb{R}\,:\,(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)<0\}\]

en que \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\) y \(a<b<c<d\).

Tenemos que

\[A=\{x\in\mathbb{R}\,:\,3x^2-10x+3<0\}=\left\{x\in\mathbb{R}\,:\,(x-3)(x-\frac{1}{3})<0\right\}= \left\{x\in\mathbb{R}\,:\,\frac{1}{3}<x<3\right\}\]

con lo que \(\inf A=\frac{1}{3}\) y \(\sup A=3\).

Sea \(B=\{x\in\mathbb{R}\,:\,(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)<0\}\) en que \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\) y \(a<b<c<d\). Dado \(x\in\mathbb{R}\) tenemos que

\[x\in B\Leftrightarrow\begin{cases}
    (x-a)(x-b)<0\\
    (x-c)(x-d)<0
  \end{cases}\ \text{o bien  }\ \begin{cases}
    (x-a)(x-b)<0\\
    (x-c)(x-d)>0
  \end{cases}\]

Se puede comprobar con facilidad, usando la hipótesis \(a<b<c<d\), que la solución del primer sistema de inecuaciones es el intervalo abierto \((c,d)\), es decir, los números reales \(x\) tal que \(c<x<d\). Del manera análoga también se puede comprobar que la solución del segundo sistema de inecuaciones es el intervalo abierto \((a,b)\), o lo que es lo mismo, los números reales \(x\) tal que \(a<x<b\). Por tanto:

\[A=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a<x<b\}\cup\{x\in\mathbb{R}\,:\,c<x<d\}\]

Usando el ejercicio 3 se tiene que \(\inf A=a\) y que \(\sup A=d\).

8. Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos no vacíos de números reales y supongamos que \(a\leqslant b\,,\forall\,a\in A\), \(\forall\,b\in B\). Probar que \(A\) está mayorado, que \(B\) está minorado y que \(\sup A\leqslant\inf B\).

Sean \(a_0\in A\) y \(b_0\in B\), fijos pero arbitrarios. Es claro que \(a_0\) es un minorante de \(B\) y \(b_0\) un mayorante de \(A\), luego \(A\) está mayorado y \(B\) minorado. Además, como tenemos que \(a\leqslant b\,,\forall\,a\in A\,,\forall\,b\in B\), entonces \(\sup A\leqslant b\,,\forall\, b\in B\) (pues en caso contrario, tomando \(\varepsilon=\sup A-b\), existiría \(a\in A\) tal que \(a>\sup A-\varepsilon=b\), que es una contradicción) y, por tanto, \(\sup A\leqslant\inf B\) (si fuera \(\sup A>\inf B\), tomando \(\varepsilon=\sup A-\inf B\), existiría \(b\in B\) tal que \(b<\inf B+\varepsilon=\sup A\), lo cual contradice que \(\sup A\leqslant b\,,\forall\,b\in B\)).


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Parte entera de un número real. Función parte entera

Se llama parte entera de un número real \(x\) al número entero \(\text{E}(x)\) dado por:

\[\text{E}(x)=\text{Max}\{p\in\mathbb{Z}\,:\,p\leqslant x\}\]

La abreviatura \(\text{Max}\) indica que estamos calculando el máximo del conjunto correspondiente. El conjunto de números enteros \(\{p\in\mathbb{Z}\,:\,p\leqslant x\}\) ha de tener máximo pues está formado por todos los enteros que son menores o iguales que \(x\) (es decir, está mayorado por \(x\), con lo que ha de existir un entero que sea el mayor de ese conjunto y menor o igual que \(x\)).

Por ejemplo:

\[\text{E}(4,5)=4\quad\text{;}\quad\text{E}(7,39)=7\quad\text{;}\quad\text{E}(-9,12)=-10\quad\text{;}\quad\text{E}(7)=7\]

Es fácil comprobar que

\[\text{E}(x)\leqslant x<\text{E}(x)+1\,,\,\forall x\in\mathbb{R}\]

y que si \(p\) es un número entero verificando \(p\leqslant x<p+1\) entonces

\[p=\text{E}(x)\]

Además, se cumplen estas otras dos propiedades de la parte entera:

\[\text{E}(x+y)\geqslant\text{E}(x)+\text{E}(y)\,,\,\forall\,x,\,y\in\mathbb{R}\]

\[\text{E}(x+p)=\text{E}(x)+p\,,\,\forall\,x\in\mathbb{R}\,,\,\forall\,p\in\mathbb{Z}\]

La función parte entera asigna, a cada número real \(x\), su parte entera, es decir, podemos definir

\[\begin{matrix}f:&\mathbb{R}  &\longrightarrow  &\mathbb{R} \\  &x  & \longmapsto  &\text{E}(x) \end{matrix}\]

El dominio de está función es claramente todo el conjunto de los números reales y su imagen es el conjunto de los números enteros. Su representación gráfica es la siguiente.

 funcion parte entera

Como puedes ver, la función parte entera es continua en todo su dominio salvo en los números enteros, pues si \(p\) es un número entero entonces:

\[\lim_{x\rightarrow p^-}\text{E}(x)=p-1\quad\text{;}\quad\lim_{x\rightarrow p^+}\text{E}(x)=p\]

Es decir, cuando \(x\) tiende a cualquier número entero \(p\) los límites laterales son distintos, por lo que no existe el límite de la función parte entera cuando \(x\rightarrow p\). Esto quiere decir que en cada número entero hay una discontinudad de salto finito, siendo la longitud del salto igual a \(1\).

En inglés y, por tanto, en muchos programas para realizar representaciones gráficas de funciones, a la función parte entera se le llama "floor". O sea, si queremos representar la parte entera de una función, tendremos que introducir floor y a continuación, la expresión de la función entre paréntesis. Así, con Desmos, para representar la función parte entera de la función \(x^2\), escribiremos \(\text{floor}(x^2)\) (que es la función \(y=\text{E}(x^2)\)). Su gráfica puedes verla representada aquí.

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Descubriendo el número e

Antes de leer este artículo, en el que vamos a demostrar la existencia de un número irracional como límite de una determinada sucesión (el número \(\text{e}\)), se recomienda hacer una lectura atenta de este otro: "Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión".

Proposición

Consideremos la sucesión \(\{x_n\}\) de números reales definida por:

\[x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

a)  \(\{x_n\}\) es convergente (es decir, tiene límite real). Su límite es por definición el número real \(\text{e}\).

b)  \(0<\text{e}-x_p\leqslant\dfrac{1}{p!p}\,,\,\forall\,p\in\mathbb{N}\).

c)  \(\text{e}\) es irracional.

Demostración:

a) Evidentemente \(\{x_n\}\) es creciente (si \(n,\,m\,\in\mathbb{N}\) con \(n\leqslant m\), entonces \(x_n\leqslant x_m\)). Además

\[x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}=1+1+1-\frac{1}{2^{n-1}}<3\qquad(1)\]

Hemos utilizado que la expresión

\[S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}\]

es la suma de los \(n-1\) primeros términos de la progresión geométrica \(\left\{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}=\left\{\dfrac{1}{2^n }\right\}\). Por tanto:

\[S=\frac{\frac{1}{2^{n-1}}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{n-1}}-1 \right )}{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}\]

También se ha hecho uso de la desigualdad \(k!\geqslant 2^{k-1},\,\forall\,k\in\mathbb{N}\), que se demuestra fácilmente por inducción (ver ejercicio resuelto c) al final de este artículo dedicado al principio de inducción).

Por tanto \(\{x_n\}\) es convergente por tratarse de una sucesión creciente y mayorada (tiene una cota superior: el número \(3\)).

La desigualdad \((1)\) implica que

\[|x_{n+1}-x_n|\leqslant\frac{1}{2^n},\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

lo que prueba también que \({x_n}\) es covergente pues la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera de la sucesión es menor o igual que \(\dfrac{1}{2^n}\), sucesión cuyo límite es cero (la demostración general de este hecho la puedes ver en el siguiente artículo: Sucesiones de Cauchy. Teorema de complitud de \(\mathbb{R}\)).

b) Para \(p\in\mathbb{N}\), \(n\in\mathbb{N}\), se tiene

\[0\leqslant x_{n+p}-x_p=\frac{1}{(p+1)!}+\frac{1}{(p+2)!}+\ldots+\frac{1}{(p+n)!}=\]

\[=\frac{1}{p!}\left(\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}+\ldots+\frac{1}{(p+1)(p+2)\cdots(p+n)}\right)\leqslant\]

\[\leqslant\frac{1}{p!}\left(\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)^2}+\ldots+\frac{1}{(p+1)^n}\right)=\]

\[=\frac{1}{p!}\frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}=\frac{1}{p!p}\left(1-\frac{1}{(p+1)^n}\right)<\frac{1}{p!p}\]

de donde, como para \(p\) fijo, la sucesión \(\{x_{n+p}\}\) converge al número \(\text{e}\), tenemos \(0\leqslant \text{e}-x_p\leqslant\dfrac{1}{p!p},\,\forall\,p\in\mathbb{N}\). Además, por ser \(x_p<x_{p+1}\leqslant \text{e}\), la primera de las desigualdades es estricta. Por cierto, es claro que si el límite de \(\{x_n\}\) es el número \(\text{e}\), también lo será de la sucesión \(\{x_{n+p}\}\), pues para \(p\) fijo solamente prescindimos de algunos términos iniciales de la sucesión \(\{x_n\}\).

Obsérvese también que para demostrar este apartado se ha utilizado que \(\left\{\dfrac{1}{(p+1)^n}\right\}\) es una progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{p+1}\) y, por tanto, la suma \(\dfrac{1}{p+1}+\dfrac{1}{(p+1)^2}+\ldots+\dfrac{1}{(p+1)^n}\) de los \(n\) primeros términos es

\[\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}\]

La demostración de la igualdad

\[\frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}=\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{(p+1)^n}\right)\]

la dejamos para el lector (¡es muy fácil!).

c) Supongamos que \(\text{e}\) fuese racional y pongamos \(\text{e}=\dfrac{m}{n}\) con \(m\) y \(n\) naturales y \(n>1\). Entonces, tomando \(p=n\) en el apartado b) tenemos

\[0<\frac{m}{n}-x_n\leqslant\frac{1}{n!n}\]

de donde, multiplicando todos los miembros de la desigualdad por \(n!\)

\[0<m(n-1)!-x_nn!\leqslant\frac{1}{n}<1\]

lo cual es absurdo, ya que \(m(n-1)!-x_nn!\) es un número entero.

Como de la suposición de que \(\text{e}\) es un número racional obtenemos una contradicción, la suposición ha de ser falsa y, entonces, \(\text{e}\) es irracional (ver demostración por reducción al absurdo).

Bien, ya hemos demostrado lo que queríamos. Obsérvese que la parte b) de la proposición permite obtener tantas cifras del número \(\text{e}\) como se desee. Por ejemplo, tomando \(p=12\), se obtiene fácilmente que

\[2,718281\leqslant \text{e}<2,718282\]

y por tanto podemos escribir \(\text{e}=2,718281\ldots\).

Aquí tienes también lo que dice la Wikipedia sobre el número \(\text{e}\).

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El conjunto de los números naturales. Una definición rigurosa y algunas propiedades

Con la idea de abrir boca para empezar los estudios de matemáticas en bachillerato, en un artículo anterior se hablaba sobre la introducción al número real en la Secundaria Obligatoria. En particular se definía el conjunto de los números naturales, \(\mathbb{N}\), como aquel formado por aquellos números que surgen de manera natural por la necesidad que tiene el ser humano de contar. De este modo:

\[\mathbb{N}=\{1\,,2\,,3\,,4\,,5\,,\ldots\}\]

Veremos en este artículo cómo definir de manera rigurosa, desde el punto de vista puramente matemático, el conjunto de los números naturales. Veremos el concepto de conjunto inductivo y demostraremos algunas propiedades de los naturales que, a primera vista, parecen evidentes. Así demostraremos, entre otras propiedades, que todo natural es mayor o igual que uno, que la suma y el producto de naturales es otro número natural, que el opuesto de un natural no es natural y que si \(m\) y \(n\) son números naturales decir que \(m-n\) es natural es lo mismo que decir que \(n<m\). Para ello haremos uso de otros dos artículos. Uno de ellos, en el que se hablaba sobre la estructura de cuerpo del conjunto de los números reales, y otro, en el que se culminaba el anterior, donde se mostraba que el conjunto de los números reales tiene estructura de cuerpo ordenado conmutativo.

Por último, y antes de comenzar, decir que la fuente utilizada para escribir este artículo ha sido el libro titulado Análisis Matemático I, de Camilo Aparicio del Prado y Rafael Payá Albert (Universidad de Granada). Este fue el libro con el que un servidor comenzó la andadura por este mundo de las matemáticas.

Conjuntos inductivos. Definición del conjunto de los números naturales

Intuitivamente el conjunto \(\mathbb{N}\) de los números naturales está formado por \(1\) y todos los números que se obtienen sumando \(1\) consigo mismo: \(1\), \(1+1\), \(1+1+1\),... El ejercicio resuelto número 6 de este artículo justifica que todos son distintos. En particular \(\mathbb{N}\) verifica que \(1\in\mathbb{N}\) y que si \(n\in\mathbb{N}\) entonces \(n+1\in\mathbb{N}\). \(\mathbb{N}\) debe ser el más pequeño conjunto de números reales de este tipo.

Definición.

Un subconjunto \(A\) de \(\mathbb{R}\) se llamará inductivo si verifica que \(1\in A\) y que si \(x\in A\) entonces \(x+1\in A\). 

Por ejemplo \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{R}^+\) son inductivos, mientras que \(\mathbb{R}^-\) y \(\mathbb{R}^\ast\) no lo son.

Se define el conjunto \(\mathbb{N}\) de los números naturales como la intersección de todos los subconjuntos inductivos de \(\mathbb{R}\).

Es inmediato que \(\mathbb{N}\) es un conjunto inductivo. El hecho de que sea el más pequeño de todos los subconjuntos inductivos de \(\mathbb{R}\) se justifica a continuación.

El principio de inducción

Teorema (Principio de inducción).

Si \(A\) es un conjunto inductivo de números reales y \(A\subset\mathbb{N}\), entonces \(A=\mathbb{N}\).

Demostración.

Por ser \(A\) inductivo se tiene \(\mathbb{N}\subset A\), luego \(A=\mathbb{N}\).

La utilización usual del anterior teorema es la siguiente. Supongamos que para cada \(n\) natural se tiene una cierta afirmación \(P_n\) y que se quiere demostrar que \(P_n\) es cierta para todo natural \(n\). Para ello basta probar que \(P_1\) es cierta y que de ser cierta \(P_n\) se deduce que \(P_{n+1}\) es cierta, \(\forall n\in\mathbb{N}\). En efecto, sea \(A=\{n\in\mathbb{N}:P_n\text{ es cierta}\}\), puesto que \(P_1\) es cierta se tiene que \(1\in A\) y como \(P_n\) es cierta implica que \(P_{n+1}\) es cierta, si \(n\in A\) se deduce que \(n+1\in A\), luego \(A\) es inductivo y como \(A\subset\mathbb{N}\), concluimos por el teorema anterior que \(A=\mathbb{N}\). Este razonamiento se conoce como demostración por inducción. Aquí puedes ver un ejercicio de aplicación del principio de inducción.

En el siguiente resultado se resumen las propiedades más inmediatas de los números naturales.

Corolario.

i) \(1\leqslant n,\forall n\in\mathbb{N}\).

ii) Si \(m\) y \(n\) son números naturales, entonces \(m+n\) y \(mn\) también lo son.

iii) Si \(n\) es un número natural, \(-n\) no es natural. Si \(n\) es natural y \(\dfrac{1}{n}\) es natural, entonces \(n=1\).

Demostración.

i) El conjunto \(\{x\in\mathbb{R}:1\leqslant x\}\) es inductivo, luego incluye a \(\mathbb{N}\).

ii) Tómese \(m\) un natural fijo, pero arbitrario y sean los conjuntos \(A=\{n\in\mathbb{N}:m+n\in\mathbb{N}\}\), \(B=\{n\in\mathbb{N}:mn\in\mathbb{N}\}\). Es muy fácil demostrar que \(A\) y \(B\) son inductivos (¿te atreves?). Por tanto \(A=\mathbb{N}\) y \(B=\mathbb{N}\), tal y como se quería demostrar.

iii) Si \(n\in\mathbb{N}\) se tiene por i) que \(0<1\leqslant n\), luego \(-n<0\) y así \(-n\) no es natural; también si \(n\neq1\) se tiene que \(1<n\), luego \(\dfrac{1}{n}<1\) y \(\dfrac{1}{n}\) es un real no natural por i).

Más propiedades del conjunto de los números naturales

Lema.

Si \(n\in\mathbb{N}\) y \(n\neq1\), entonces \(n-1\in\mathbb{N}\).

Demostración.

Supongamos que \(n-1\notin\mathbb{N}\) y sea \(A=\mathbb{N}-\{n\}\). Como \(n\neq1\) se tiene que \(1\in A\). Si \(x\in A\) se tiene que \(x\in\mathbb{N}\), luego \(x+1\in\mathbb{N}\) (\(\mathbb{N}\) es inductivo); además como hemos supuesto que \(n-1\notin\mathbb{N}\), se tiene también que \(x+1\neq n\) (¿por qué?). Así \(x+1\in A\), y hemos demostrado que \(A\) es un conjunto inductivo. Se tiene entonces \(A=\mathbb{N}\) lo cual es absurdo pues \(n\) es natural y no pertenece a \(A\). Por tanto \(n-1\in\mathbb{N}\) como queríamos demostrar.

Proposición.

Dados dos números naturales \(m\) y \(n\) se tiene:

\[n<m\Leftrightarrow m-n\in\mathbb{N}\]

Demostración.

\(\Rightarrow)\) Sea \(A=\{n\in\mathbb{N}:m-n\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N},n<m\}\). Por el lema anterior se tiene que \(1\in A\). Queremos probar que si \(n\in A\), entonces \(n+1\in A\). Sea \(n\in A\) y sea \(m\) un natural verificando \(n+1<m\); al ser \(n<m\), deducimos por la hipótesis de inducción que \(m-n\in\mathbb{N}\). Si fuese \(m-n=1\), sería \(n+1=m\) y hemos supuesto \(n+1<m\); así \(m-n\) es un número natural distinto de \(1\) y aplicando el lema anterior obtenemos que \(m-(n+1)=(m-n)-1\in\mathbb{N}\), es decir, \(n+1\in A\). Hemos probado que \(A\) es inductivo, luego \(A=\mathbb{N}\). Queda así probado que si \(m\) y \(n\) son dos naturales cualesquiera verificando \(n<m\), entonces \(m-n\in\mathbb{N}\).

\(\Leftarrow)\) Si \(m-n\in\mathbb{N}\) es natural, tenemos que \(m-n\geqslant1\) de donde se deduce \(m>n\).

La proposición anterior es una caracterización algebraica del orden de los naturales.

Corolario.

Si \(m\) y \(n\) son números naturales verificando \(n<m\), entonces \(n+1\leqslant m\).

Demostración.

Por la proposición anterior \(m-n\) es un número natural, luego mayor o igual que \(1\).

El corolario anterior afirma que si \(n\) es un número natural, no existe ningún número natural comprendido estrictamente entre \(n\) y \(n+1\). Esta propiedad se enuncia a veces diciendo que el orden de \(\mathbb{N}\) es discreto.

Finalmente obtendremos un resultado de extraordinaria importancia relativo a los conjuntos de números naturales; para poder enunciarlo necesitamos introducir un nuevo concepto.

Principio de la buena ordenación de los naturales

Definición.

Se dice que un conjunto \(A\) de números reales tiene máximo si existe un número real \(x\in A\) tal que \(x\geqslant a,\forall a\in A\). Es inmediato que el elemento \(x\) es único, se denomina máximo del conjunto \(A\) y se nota \(\max A\). Análogamente, diremos que \(A\) tiene mínimo si existe un número real \(y\in A\) tal que \(y\leqslant a,\forall a\in A\). Es igualmente inmediato que \(y\) es único, se le llama mínimo de \(A\) y se le nota \(\min A\).

Resaltamos que un conjunto de números reales puede no tener ni máximo ni mínimo. El siguiente resultado asegura la existencia de mínimo en determinadas circunstancias.

Teorema (Principio de buena ordenación de los naturales).

Todo conjunto no vacío de números naturales tiene mínimo.

Demostración.

Sea \(A\subset\mathbb{N}\), \(A\) no vacío. Si \(1\in A\) no hay nada que demostrar pues entonces \(1=\min A\) (ver apartado i) del primer corolario de este artículo). Supongamos que \(1\notin A\) y sea \(B=\{n\in\mathbb{N}:n<a,\forall a\in A\}\). Claramente \(1\in B\). Si \(B\) fuese inductivo, sería \(B=\mathbb{N}\) y como consecuencia \(A\) sería vacío, luego \(B\) no es inductivo y por tanto \(\exists\,n\in B\) tal que \(n+1\notin B\). Por el corolario anterior se tiene \(n+1\leqslant a,\forall a\in A\) y como \(n+1\in A\), pues en otro caso \(n+1\) pertenecería a \(B\), concluimos que \(n+1=\min A\).

Por último vamos a definir y a obtener las propiedades básicas de las potencias de exponente natural.

Definición.

Para todo número real \(x\) se definen las potencias de exponente natural de \(x\) de la siguiente manera:

\[x^1=x\]

\[x^{n+1}=x^nx\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

En otras palabras: \(x^1=x\), \(x^2=xx\), \(x^3=x^2x\) y así "sucesivamente".

La siguiente proposición resume las propiedades esenciales.

Proposición.

i) \(x^{n+m}=x^nx^m\,,\forall\,m,n\in\mathbb{N}\).

ii) \((x^n)^n=x^{nm}\,,\forall\,m,n\in\mathbb{N}\).

iii) Si \(1<x\) y \(m,n\in\mathbb{N}\), entonces \(n<m\Leftrightarrow x^n<x^m\).

Demostración.

i) Sea \(m\in\mathbb{N}\) y sea \(A=\{n\in\mathbb{N}:x^{m+n}=x^mx^n\}\). Por definición de potencia de exponente natural se tiene \(1\in A\). Si \(n\in A\) se tiene \(x^{m+n+1}=x^{m+n}{x}=(x^mx^n)x=x^m(x^nx)=x^mx^{n+1}\). Así, \(A\) es inductivo, luego \(A=\mathbb{N}\) como queríamos demostrar.

ii) Similar a i).

iii) Sea \(1<x\). Como el conjunto \(B=\{n\in\mathbb{N}:1<x^n\}\) es inductivo, tenemos que \(1<x^n\,,\forall\,n\in\mathbb{N}\). Si \(n<m\), sabemos que \(m-n\in\mathbb{N}\) y por tanto \(1<x^{m-n}\), luego \(x^n<x^m\). Recíprocamente, supongamos que \(x^n<x^m\) y que \(m\leqslant n\); entonces por lo ya demostrado \(x^m\leqslant x^n\), lo cual es una contradicción.


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