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La existencia de los números irracionales

En las matemáticas de la Educación Secundaria Obligatoria se presentan los números irracionales como aquellos que no son racionales, es decir, aquellos que no se pueden poner en forma de fracción. Como es muy habitual hablar de la expresión decimal de una fracción (que es o bien decimal exacta o bien decimal periódica), se dice también de los irracionales que tienen una expresión decimal infinita no periódica, o sea, que tienen infinitas cifras decimales que no forman período. De este modo, es fácil construir números de este tipo, por ejemplo:

\[1,234567891011121314151617181920...\quad;\quad0,10011000111000011110000011111...\]

Sin embargo, el ejemplo clásico de número irracional es la raíz de dos. Vamos, el número cuyo cuadrado es dos. En las matemáticas de la Educación Secundaria Obligatoria se da por hecho que es un número irracional, es decir, un número con infinitas cifras decimales que no forman período. Una calculadora cualquiera da una aproximación de la raíz de dos con bastantes cifras significativas.

Dedicaremos nuestro esfuerzo en este artículo a ir un poco más allá: demostraremos que, efectivamente, no hay ningún número racional cuyo cuadrado sea dos y, a partir de ahí, nos preguntaremos por la existencia de los números irracionales. Es decir, no daremos por hecho que todo número que no sea racional es un número real, sino que lo demostraremos. Es la manía de los matemáticos de demostrar las cosas, siempre que se pueda. Y se puede.

Ya habíamos comentado en un artículo anterior, dedicado al axioma del supremo, que una consecuencia de tal axioma es que nos permitirá probar la existencia de números irracionales. Es decir, de números reales que no son racionales (o, más comúnmente, que no son fracciones). Recordemos que el conjunto \(\mathbb{Q}\) de los racionales se define de la siguiente forma:

\[\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}\ :\ p\in\mathbb{Z}\ ,\ n\in\mathbb{N}\right\}\]

Recordemos también que fuimos capaces de demostrar que no existe ningún número racional cuyo cuadrado es dos. De todos modos volveremos a demostrarlo a continuación.

Para ello supongamos, razonando por reducción al absurdo, que existe \(x\in\mathbb{Q}\) tal que \(x^2=2\), es decir, que \(x=\dfrac{m}{n}\), donde \(m\) y \(n\) son naturales y que la fracción \(\dfrac{m}{n}\) es irreducible, es decir, una fracción en la que \(\text{mcd}(m,n)=1\) (tomar una fracción irreducible no limita la demostración, ya que si no lo fuera habría otra fracción equivalente que sí que lo sería y podríamos tomar esta última como la fracción cuyo cuadrado sea dos, objeto de nuestra demostración). Completemos ahora la demostración:

\[x=\frac{m}{n}\Rightarrow x^2=\left(\frac{m}{n}\right)^2\Rightarrow 2=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=2n^2\]

De lo anterior deducimos que \(m^2\) es par (el doble de cualquier número siempre es par), con lo que \(m\) también es par (¿te atreves a demostrar que si el cuadrado de un número natural es par entonces el número en cuestión también lo es?) Por tanto existe \(k\in\mathbb{N}\) tal que \(m=2k\). Sustituyendo tenemos:

\[\left(2k\right)^2=2n^2\Rightarrow 4k^2=2n^2\Rightarrow2k^2=n^2\]

De la misma forma que anteriormente, deducimos ahora que \(n^2\) es par y que, por tanto, \(n\) también lo es. Hemos demostrado entonces que \(m\) y \(n\) son ambos números pares, pero esto entra en contradicción con el hecho supuesto de que la fracción \(\dfrac{m}{n}\) sea irreducible, pues siendo tanto \(m\) como \(n\) números pares la fracción se podría reducir aún más (dividiendo entre dos).

La contradicción anterior demuestra que \(x\) tal que \(x^2=2\) no es racional. Debemos suponer que será un número, pero no racional. Tenemos entonces, presumiblemente, el derecho a suponer que hay números reales que no son racionales, es decir, que "esa cosa" cuyo cuadrado es dos es de verdad un número pero no racional\(\ldots\) Aclaremos esto un poco más e intentemos seguir el razonamiento (ya, ya sé que los matemáticos somos un poco retorcidos). A ver, el conjunto \(\mathbb{Q}\) de los números racionales tiene la misma estructura que el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales: es un cuerpo ordenado conmutativo. Es decir, que los conjuntos \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{Q}\) serían indistinguibles, incluso podrían ser el mismo. Esto, de momento, nos obliga a no poder afirmar la existencia de números reales que no sean racionales. Puesto que hemos encontrado "algo" que no es racional, debemos demostrar que realmente es un número real, es decir, que existen números irracionales, o lo que es lo mismo, números reales que no son racionales. Sólo podremos hacerlo con la ayuda del axioma del supremo (de aquí se explica la necesidad de introducir este último axioma para completar la estructura del conjunto de los números reales).

Demostremos pues la existencia de números irracionales. Hemos de insistir en que la demostración hace uso del axioma del supremo y, además, hace uso de las desigualdades de una forma bastante técnica. Pero merece la pena intentar seguirla. Es, por tanto, fundamental leer y comprender con claridad todo lo que se dijo antes y después de enunciar el axioma del supremo, en el artículo dedicado al mismo y ya mencionado en más de una ocasión, pues se hará uso con profusión de todo ello.

Finalmente, aprovecharemos también para demostrar otro par de resultados que demostrarán la abundancia de racionales e irracionales y nos harán reflexionar sobre si hay más irracionales que racionales.

Proposición.

Existe un número real y positivo \(\alpha\) tal que \(\alpha^2=2\).

Sea \(A=\{x\in\mathbb{R}_0^+\ :\ x^2<2\}\). Un inciso: \(\mathbb{R}_0^+\) es la semirrecta \([0,+\infty)\). \(A\) es no vacío (\(1\in A\)) y si \(x\in A\) tenemos \(x^2<2<2^2\) de donde usado que \(x\geqslant0\) se deduce fácilmente que \(x<2\). Por tanto \(A\) está mayorado; sea \(\alpha=\sup A\). Claramente \(\alpha\geqslant1\) y queda probar que \(\alpha^2=2\).

Sea \(n\) un natural arbitrario. Como \(\alpha+\dfrac{1}{n}>\alpha\), tenemos que \(\alpha+\dfrac{1}{n}\notin A\), esto es

\[2\leqslant\left(\alpha+\frac{1}{n}\right)^2=\alpha^2+\frac{2\alpha}{n}+\frac{1}{n^2}\leqslant\alpha^2+\frac{2\alpha+1}{n}\]

obteniéndose

\[\frac{2-\alpha^2}{2\alpha+1}\leqslant\frac{1}{n}\]

Por otra parte, al ser \(\alpha-\dfrac{1}{n}<\alpha\) tenemos, por definición de supremo, que existe \(x\in A\) verificando que \(\alpha-\dfrac{1}{n}<x\), pero como \(\alpha-\dfrac{1}{n}\geqslant0\) también se tiene que \(\left(\alpha-\dfrac{1}{n}\right)^2<x^2\) y por tanto que \(\left(\alpha-\dfrac{1}{n}\right)^2<2\). Así pues

\[2>\left(\alpha-\dfrac{1}{n}\right)^2=\alpha^2-\frac{2\alpha}{n}+\frac{1}{n^2}>\alpha^2-\frac{2\alpha}{n}\]

de donde \(\dfrac{\alpha^2-2}{2\alpha}<\dfrac{1}{n}\) y con mayor motivo

\[\frac{\alpha^2-2}{2\alpha+1}<\frac{1}{n}\]

En resumen, si notamos \(\beta=\dfrac{|\alpha^2-2|}{2\alpha+1}\), se tiene \(\beta\leqslant\dfrac{1}{n}\), \(\forall\,n\in\mathbb{N}\). Si fuese \(\beta\neq0\) existiría, por el principio de Arquímedes, un natural \(n_0\) tal que \(\dfrac{1}{\beta}<n_0\), es decir, \(\beta>\dfrac{1}{n_0}\), lo que es una contradicción. Así pues \(\beta=0\) y \(\alpha^2=2\).

Puesto que, tal y como hemos demostrado más arriba, no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea \(2\), deducimos que el número real \(\alpha\), que aparece en la proposición anterior, es un real no racional, es decir, un irracional.

Si tenemos en cuenta que la suma de un racional y un irracional es irracional y que el producto de un racional no nulo por un irracional es también irracional (¿serías capaz de comprobar ambas afirmaciones?: ánimo no es difícil), la abundancia de números irracionales está asegurada; de hecho se tiene el siguiente resultado al respecto, en el que se demuestra que hay siempre un irracional entre dos números reales, por cerca que estos dos últimos se encuentren.

Proposición

Dados dos números reales, \(x\) e \(y\), verificando \(x<y\), existe siempre un número irracional \(\beta\) tal que \(x<\beta<y\).

Si uno de los números es racional y el otro irracional, basta tomar \(\beta=\dfrac{x+y}{2}\). Si los dos son irracionales sea \(z=\dfrac{x+y}{2}\); puede ocurrir que \(z\) sea irracional, y bastará tomar \(\beta=z\), o que \(z\) sea racional, en cuyo caso tomaremos \(\beta=\dfrac{x+z}{2}\). Queda considerar el caso en que \(x\) e \(y\) son racionales. Sea \(\alpha\) el número racional dado por la proposición anterior. Puesto que \(1<\alpha\) se tiene \(0<\dfrac{1}{\alpha}<1\), y basta tomar \(\beta=x+\dfrac{y-x}{\alpha}\).

A pesar de la abundancia de irracionales, igualmente, demostraremos que también hay un racional entre dos reales cualesquiera o equivalentemente, que todo número real puede "aproximarse" por racionales.

Teorema (Densidad de \(\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\)).

Dados dos números reales, \(x\) e \(y\), verificando \(x<y\), existe un número racional \(r\) tal que \(x<r<y\).

Supongamos primeramente que \(0\leqslant x\). Por el Principio de Arquímedes existe un natural \(n_0\) tal que \(1<n_0(y-x)\) y por tanto \(\dfrac{1}{n_0}<y-x\). Sea \(m_0=\min\{m\in\mathbb{N}\ : \ n_0x<m\}\) (por el propio Principio de Arquímedes el conjunto \(\{m\in\mathbb{N}\ : \ n_0x<m\}\) es no vacío y por el principio de buena ordenación de los naturales tiene mínimo). Veamos que \(m_0-1\leqslant n_0x\). Si \(m_0\neq1\), es \(m_0-1\) natural y por tanto \(m_0-1\notin\{m\in\mathbb{N}\ : \ n_0x<m\}\). Si \(m_0=1\), se tiene \(m_0-1=0\leqslant n_0x\) (hemos supuesto que \(x\) es positivo). Se tiene entonces

\[x<\frac{m_0}{n_0}=\frac{m_0-1}{n_0}+\frac{1}{n_0}\leqslant x+\frac{1}{n_0}<x+(y-x)=y\]

y basta tomar \(r=\dfrac{m_0}{n_0}\).

Supongamos ahora que \(x<0\). Si \(y>0\) podemos tomar \(r=0\) y si \(y\leqslant0\), por la primera de la demostración existe un racional \(s\) tal que \(-y<s<-x\), y basta tomar \(r=-s\).

Los dos últimos resultados sugieren que nos preguntemos si hay más racionales que irracionales o viceversa. Hay un resultado en matemáticas que demuestra que hay más irracionales que racionales, pero esto será motivo de otro estudio en el que las matemáticas se adentran en el tortuoso camino de los conjuntos infinitos. Y aquí es donde matemáticas y filosofía, filosofía y matemáticas comienzan a darse la mano.

Por cierto, en este otro artículo se demuestra que el famoso número \(\text{e}\) también es irracional.

Incluimos finalmente un par de propiedades más que se podrían proponer como ejercicio.

Ejercicios

1. Sean \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) números racionales verificando \(c^2+d^2\neq0\), y sea \(x\) un número irracional. ¿Qué condición deben cumplir \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) para que el número \(\frac{ax+b}{cx+d}\) sea racional?

Supongamos que \(\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{p}{n}\), con \(p\in\mathbb{Z}\) y \(n\in\mathbb{N}\). Entonces

\[(ax+b)n=(cx+d)p\Rightarrow axn+bn=cx+dp\Rightarrow x(an-cp)=dp-bn\]

Como el producto de un irracional por un racional no nulo es irracional, debemos de concluir que \(an-cp=0\) y \(dp-bn=0\), lo que significa que \(\frac{p}{n}=\frac{a}{c}\) y \(\frac{p}{n}=\frac{b}{d}\). Luego la condición para que el número \(\frac{ax+b}{cx+d}\) sea racional es que \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\), o lo que es lo mismo, \(ad-bc=0\) (obsérvese que, como \(c^2+d^2\neq0\), \(c\) y \(d\) son ambos distintos de cero).

2. Probar que si \(x\) es un número real se verifican:

i) \(x=\sup\{r\in\mathbb{Q}\,:\,r<x\}=\inf\{r\in\mathbb{Q}\,:\,r>x\}\).

ii) \(x=\sup\{\alpha\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\alpha<x\}=\inf\{r\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\alpha>x\}\).

i) Sea \(\varepsilon\in\mathbb{R}^+\). Entonces, por la densidad de \(\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\), existen dos números racionales \(r_1,r_2\) tal que \(x-\varepsilon<r_1<x<r_2<x+\varepsilon\). Por tanto, por la caracterización de supremo e ínfimo se tiene el resultado: \(x=\sup\{r\in\mathbb{Q}\,:\,r<x\}=\inf\{r\in\mathbb{Q}\,:\,r>x\}\).

ii) Sea \(\varepsilon\in\mathbb{R}^+\). Entonces, por la densidad de \(\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) en \(\mathbb{R}\), existen \(\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\) tal que \(x-\varepsilon<\alpha_1<x<\alpha_2<x+\varepsilon\). Por tanto, por la caracterización de supremo e ínfimo se tiene el resultado: \(x=\sup\{\alpha\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\alpha<x\}=\inf\{r\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\,:\,\alpha>x\}\).


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


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Descubriendo el número e

Antes de leer este artículo, en el que vamos a demostrar la existencia de un número irracional como límite de una determinada sucesión (el número \(\text{e}\)), se recomienda hacer una lectura atenta de este otro: "Sucesiones de números reales. Sucesiones convergentes: límite de una sucesión".

Proposición

Consideremos la sucesión \(\{x_n\}\) de números reales definida por:

\[x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\,,\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

a)  \(\{x_n\}\) es convergente (es decir, tiene límite real). Su límite es por definición el número real \(\text{e}\).

b)  \(0<\text{e}-x_p\leqslant\dfrac{1}{p!p}\,,\,\forall\,p\in\mathbb{N}\).

c)  \(\text{e}\) es irracional.

Demostración:

a) Evidentemente \(\{x_n\}\) es creciente (si \(n,\,m\,\in\mathbb{N}\) con \(n\leqslant m\), entonces \(x_n\leqslant x_m\)). Además

\[x_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}\leqslant1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}=1+1+1-\frac{1}{2^{n-1}}<3\qquad(1)\]

Hemos utilizado que la expresión

\[S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}\]

es la suma de los \(n-1\) primeros términos de la progresión geométrica \(\left\{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}=\left\{\dfrac{1}{2^n }\right\}\). Por tanto:

\[S=\frac{\frac{1}{2^{n-1}}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{n-1}}-1 \right )}{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}\]

También se ha hecho uso de la desigualdad \(k!\geqslant 2^{k-1},\,\forall\,k\in\mathbb{N}\), que se demuestra fácilmente por inducción (ver ejercicio resuelto c) al final de este artículo dedicado al principio de inducción).

Por tanto \(\{x_n\}\) es convergente por tratarse de una sucesión creciente y mayorada (tiene una cota superior: el número \(3\)).

La desigualdad \((1)\) implica que

\[|x_{n+1}-x_n|\leqslant\frac{1}{2^n},\,\forall\,n\in\mathbb{N}\]

lo que prueba también que \({x_n}\) es covergente pues la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera de la sucesión es menor o igual que \(\dfrac{1}{2^n}\), sucesión cuyo límite es cero (la demostración general de este hecho la puedes ver en el siguiente artículo: Sucesiones de Cauchy. Teorema de complitud de \(\mathbb{R}\)).

b) Para \(p\in\mathbb{N}\), \(n\in\mathbb{N}\), se tiene

\[0\leqslant x_{n+p}-x_p=\frac{1}{(p+1)!}+\frac{1}{(p+2)!}+\ldots+\frac{1}{(p+n)!}=\]

\[=\frac{1}{p!}\left(\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}+\ldots+\frac{1}{(p+1)(p+2)\cdots(p+n)}\right)\leqslant\]

\[\leqslant\frac{1}{p!}\left(\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)^2}+\ldots+\frac{1}{(p+1)^n}\right)=\]

\[=\frac{1}{p!}\frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}=\frac{1}{p!p}\left(1-\frac{1}{(p+1)^n}\right)<\frac{1}{p!p}\]

de donde, como para \(p\) fijo, la sucesión \(\{x_{n+p}\}\) converge al número \(\text{e}\), tenemos \(0\leqslant \text{e}-x_p\leqslant\dfrac{1}{p!p},\,\forall\,p\in\mathbb{N}\). Además, por ser \(x_p<x_{p+1}\leqslant \text{e}\), la primera de las desigualdades es estricta. Por cierto, es claro que si el límite de \(\{x_n\}\) es el número \(\text{e}\), también lo será de la sucesión \(\{x_{n+p}\}\), pues para \(p\) fijo solamente prescindimos de algunos términos iniciales de la sucesión \(\{x_n\}\).

Obsérvese también que para demostrar este apartado se ha utilizado que \(\left\{\dfrac{1}{(p+1)^n}\right\}\) es una progresión geométrica de razón \(\dfrac{1}{p+1}\) y, por tanto, la suma \(\dfrac{1}{p+1}+\dfrac{1}{(p+1)^2}+\ldots+\dfrac{1}{(p+1)^n}\) de los \(n\) primeros términos es

\[\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}\]

La demostración de la igualdad

\[\frac{\displaystyle\frac{1}{(p+1)^{n+1}}-\frac{1}{p+1}}{\displaystyle\frac{1}{p+1}-1}=\frac{1}{p}\left(1-\frac{1}{(p+1)^n}\right)\]

la dejamos para el lector (¡es muy fácil!).

c) Supongamos que \(\text{e}\) fuese racional y pongamos \(\text{e}=\dfrac{m}{n}\) con \(m\) y \(n\) naturales y \(n>1\). Entonces, tomando \(p=n\) en el apartado b) tenemos

\[0<\frac{m}{n}-x_n\leqslant\frac{1}{n!n}\]

de donde, multiplicando todos los miembros de la desigualdad por \(n!\)

\[0<m(n-1)!-x_nn!\leqslant\frac{1}{n}<1\]

lo cual es absurdo, ya que \(m(n-1)!-x_nn!\) es un número entero.

Como de la suposición de que \(\text{e}\) es un número racional obtenemos una contradicción, la suposición ha de ser falsa y, entonces, \(\text{e}\) es irracional (ver demostración por reducción al absurdo).

Bien, ya hemos demostrado lo que queríamos. Obsérvese que la parte b) de la proposición permite obtener tantas cifras del número \(\text{e}\) como se desee. Por ejemplo, tomando \(p=12\), se obtiene fácilmente que

\[2,718281\leqslant \text{e}<2,718282\]

y por tanto podemos escribir \(\text{e}=2,718281\ldots\).

Aquí tienes también lo que dice la Wikipedia sobre el número \(\text{e}\).

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Expresiones infinitas y la razón áurea

Supongamos que nos piden hallar un valor de \(x\) igual al de las siguientes expresiones infinitas:

\[x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\quad(1)\]

\[x=1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\ldots}}}}\quad(2)\]

Dicho de otra manera, queremos otra forma de escribir el valor de \(x\), pero no como una expresión infinita.

En el primer caso, precisamente por ser una expresión infinita, es fácil darse cuenta de que

\[x=\sqrt{1+x}\]

Entonces:

\[x^2=1+x\Rightarrow x^2-x-1=0\]

Y resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

Tenemos pues dos soluciones, una positiva, \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), y otra negativa, \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\). La solución negativa hay que descartarla pues claramente la expresión infinita es un número positivo. La solución positiva es el famoso número de oro, que se suele representar con la letra griea phi mayúscula:

\[\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Para la expresión \((2)\) (una fracción continua) tampoco es muy difícil darse cuenta de que se cumple la siguiente igualdad:

\[x=1+\frac{1}{x}\]

De donde:

\[x^2=x+1\Rightarrow x^2-x-1=0\]

Y se obtiene la misma ecuación de antes, es decir, con las mismas soluciones. Obviamente también hay que descartar la solución negativa pues la fracción continua es claramente positiva.

Por tanto, tanto la expresión infinita \((1)\) como la \((2)\) son iguales al número de oro \(\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\).

Del número de oro no se habla por primera vez como número sino como razón. Euclides, en su obra "Elementos", dice que "una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor". Esta razón es exactamente igual a \(\Phi\). Veámoslo.

razon aurea 01

Supongamos que el punto \(C\) divide al segmento \(\overline{AB}\) en extrema y media razón, es decir:

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}\]

Para mayor comodidad llamaremos \(\overline{AC}=a\) y \(\overline{CB}=b\). Entonces la igualdad anterior se convierte en

\[\frac{a+b}{b}=\frac{b}{a}\]

Si multiplicamos los dos miembros de la igualdad por \(ab\) se obtiene:

\[a(a+b)=b^2\Rightarrow a^2+ab=b^2\Rightarrow b^2-ab-a^2=0\]

La expresión \(b^2-ab-a^2=0\), la podemos ver como una ecuación donde la incógnita es \(b\). Resolviéndola tenemos que

\[b=\frac{-(-a)\pm\sqrt{(-a)^2-4\cdot1\cdot(-a^2)}}{2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\]

\[=\frac{a\pm\sqrt{5a^2}}{2}=\frac{a\pm a\sqrt{5}}{2}=\frac{a(1\pm\sqrt{5})}{2}\]

La solución positiva de esta ecuación es \(b=\dfrac{a(1+\sqrt{5})}{2}\), de donde

\[\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Es decir, \(\dfrac{b}{a}=\Phi\). La razón \(\dfrac{b}{a}\) se llama razón de oro o razón áurea. Y, naturalmente, la proporción \(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{b}{a}\) (igualdad entre extrema y media razón), recibe el nombre de proporción de oro o proporción áurea.

Puesto que el número \(\Phi\) satisface la ecuación \(x^2-x-1=0\), entonces \(\Phi^2-\Phi-1=0\). Las expresiones infinitas del principio de este artículo se obtienen manipulando la igualdad anterior.

Para la primera expresión infinita tenemos:

\[\Phi^2-\Phi-1=0\Rightarrow\Phi^2=1+\Phi\Rightarrow\Phi=\sqrt{1+\Phi}\]

Sustituyendo ahora el valor de \(\Phi\) del interior de la raíz precisamente por el valor de \(\Phi\) anterior se tiene:

\[\Phi=\sqrt{1+\sqrt{\Phi+1}}\]

Sustituyendo así, de manera sucesiva, el último valor de \(\Phi\) por \(\sqrt{\Phi+1}\), obtenemos:

\[\Phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\]

Para la segunda expresión infinita procedemos de la siguiente forma (dividiendo todos los términos entre \(\Phi\)):

\[\Phi^2-\Phi-1=0\Rightarrow\Phi-1-\frac{1}{\Phi}=0\Rightarrow\Phi=1+\frac{1}{\Phi}\]

Sustituyendo el valor de \(\Phi\) del denominador precisamente por \(1+\dfrac{1}{\Phi}\), tenemos:

\[\Phi=1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\Phi}}\]

Evidentemente, sustituyendo de manera sucesiva:

\[\Phi=1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\ldots}}}}\]

Los pitagóricos observaron que la relación entre la diagonal de un pentágono y su lado es igual a \(\Phi\). De ahí que los pitagóricos tuvieran como símbolo distinguido al pentagrama (que se obtiene trazando todas la diagonales de un pentágono).

razon aurea 02

Un ejemplo más es el rectángulo áureo. En los problemas 4 y 5 de este artículo se habla del rectángulo áureo y se da un método muy sencillo para su construcción. De hecho, la espiral áurea (que aparece, por ejemplo, en la concha del nautilus) está asociada a las propiedades geométricas del rectángulo áureo.

El número de oro \(\Phi\) tiene muchas, muchas propiedades. Además, se utiliza en arquitectura, escultura y pintura como canon de belleza, y aparece en la naturaleza más veces de las que nos podamos imaginar. El corto de Cristóbal Vila (gracias Cristóbal), "Nature by numbers", es una magnífica ilustración.

Cito también, por último, dos fenomenales libros sobre la proporción áurea.

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Engañosa simplicidad

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La vida secreta de los números. Cómo piensan y trabajan los matemáticos", de George G. Szpiro

La mayoría de los niños pueden manejar los números enteros desde la guardería. Operar con fracciones es un poco más difícil. Los chavales tienen que estar un par de años en primaria para poder manejarlas. Pero los números irracionales son algo totalmente diferente. Los problemas empiezan al manejar números que no se pueden expresar como una fracción de números enteros.

Con las ecuaciones ocurre justo lo contrario. Es bastante fácil encontrar soluciones irracionales a los problemas. El lío empieza cuando un problema requiere que las soluciones sean sólo números enteros. La parte de las Matemáticas que lidia con estos problemas se llama teoría de números. Una fastidiosa caracterísitica de esta disiciplina es su aparente simplicidad. A primera vista, los problemas parecen muy simples. Sólo cuando uno se adentra un poco más en la materia se muestran explícitas sus terribles dificultades.

El matemático griego Diofanto, que vivió hace unos 1800 años en Alejandría y al que se conoce como el padre el Álgebra, es considerado el fundador de la teoría de números. En su honor, las ecuaciones con incógnitas que han de ser números enteros (números primos, en particular) se llaman ecuaciones diofánticas.

Su trabajo más importante, Arithmetica, consistía en unos 130 problemas y sus soluciones. Por desgracia, los libros fueron destruidos en un incendio en la Biblioteca de Alejandría en el año 391. Muchos años después, en el siglo XV, seis de los trece volúmenes originales fueron descubiertos. En 1968, aparecieron otros cuatro, aunque en una traducción incompleta del árabe. Durante años, no se supo interpretar los manuscritos del matemático griego de la Antigüedad, y sólo en el siglo XVII alguien consiguió darles sentido. Este hombre fue Pierre de Fermat, un magistrado francés que disfrutaba de su tiempo libre jugando con las matemáticas. Hoy en día, Fermat es además conocido por su notorio Último Teorema.

Uno de los problemas que planteó Diofanto sigue sin resolverse: ¿qué números pueden expresarse como la suma de dos números enteros o fracciones elevado cada uno a la tercera potencia? La cuestión puede responderse afirmativamente con los números \(7\) y \(13\), por ejemplo, dado que \(7=2^3+(-1)^3\) y \(13=\left(\dfrac{7}{3}\right)^3+\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\). ¿Pero qué pasa con números como el \(5\) y el \(35\)? Para responder a esta pregunta, hay que conocer los métodos más complicados de las Matemáticas modernas.

Lo único que han conseguido los matemáticos, por ahora, es un método para determinar si la descomposición de un número concreto se puede encontrar o no, pero son incapaces de conseguirla. Para determinar si un número ses puede descomponer en cubos, ha de calcularse la gráfica de una función llamada \(L\). Si la gráfica cruza o toca el eje \(X\) del sistema de coordenadas justo en el punto donde \(x=1\), el número en cuestión puede descomponerse en cubos. Si el valor de la función en \(x=1\) no es \(0\), no se puede descomponer. Esta condición la cumple el número \(35\): la función \(L\) asociada al mismo tiene el valor \(0\) en \(x=1\). Y ciertamente, \(35\) puede descomponerse en \(3^3+2^3\). Por el contrario, para el número \(5\), la gráfica de la función \(L\) no cruza el eje \(X\). Esto demuestra que \(5\) no puede descomponerse en cubos.

Don Zagier, director del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn, Alemania, dio una serie de conferencias públicas en Viena en 2003 sobre la descomposiciones diofánticas.

Zagier es uno de los matemáticos más importantes del mundo, y la base de su trabajo es la teoría de números. De niño, ya era un superdotado. Nacido en la ciudad alemana de Heidelberg en 1951, creció en Estados Unidos, acabó Secundaria con 13 años, completando la Licenciatura en Matemáticas y Física en el Instituto Tecnológico de Massachusetts con 16 años, y obtuvo un doctorado de Oxford con 19. A los 23 años, había obtenido el título necesario en Alemania para dar clases como profesor en el Instituto Max Planck de Matemáticas. A los 24 años, era el catedrático más joven de Alemania. Su talento no se limita sólo a las matemáticas, por cierto: habla nueve lenguas.

Una de las charlas de Zagier, parte de la serie de conferencias Gödel en Viena, se titulaba «Perlas de la teoría de números». La otra conferencia se dio en la inauguración de «math-space», una sala única en el museo de Viena cuya finalidad es dar cabida a conferencias sobre matemáticas para todos los públicos. Se espera que esta materia, comúnmente considerada como oscura, se pueda hacer asequible al gran público de la ciudad, que suele pasar el tiempo en óperas y salones de té.

Zagier es un hombre pequeño y estrafalario. Pero cuando empieza a hablar sobre su teoría preferida en público, su actuación haría palidecer de envidia a una estrella del rock. Saltando constantemente entre dos proyectores, asombra a su público con sus explicaciones matemáticas, en un perfecto alemán con un ligero acento americano. Hasta el que más deteste las matemáticas se olvidará de que está asistiendo a una conferencia sobre el tema. El placer con el que Zagier, al que algunos llaman el Supercerebro de Bonn, ejerce su vocación, es obvio para todo el mundo. Resulta difícil creer que matemáticos como él puedan ser acusados de tratar una materia aburrida.

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Introducción al número real. Un paseo por el concepto de número en la Secundaria Obligatoria

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Mi profesor de geometría de primero de carrera insertaba citas al comienzo de las relaciones de ejercicios que nos entregaba de cada tema. Recuerdo perfectamente una de las primeras:

He de ser cruel para ser piadoso. El principio es malo, pero lo peor aún está por venir.

Hamlet, Shakespeare.


Con el tiempo descubrí que la cita no pretende desanimar, sino más bien al contrario, nos debe ayudar a afrontar la realidad y las dificultades con valentía y tenacidad. Y que a veces, en matemáticas, justamente en lo peor, es decir, en la dificultad, es donde se encuentra lo verdaderamente interesante.

Este artículo se ha pensado para que lo lea un alumno que comienza su andadura en el Bachillerato y que cursa la materia de matemáticas. Por supuesto que cualquier persona con una mínima competencia matemática también puede leerlo. Pretende ser una reflexión, más o menos amena, sobre lo que se debe de conocer acerca del concepto de número. Vamos allá.

En las matemáticas correspondientes a la etapa de la Educación Secundaria Obligatoria (entre los 12 y 16 años) se introduce el conjunto de los números reales extendiendo otros conjuntos de números. En primer lugar se define el conjunto de los números naturales, \(\mathbb{N}\), como aquellos números que surgen de manera natural por la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea.

\[\mathbb{N}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ldots\}\]

Rápidamente el alumno identifica estos números pues los ha utilizado durante toda la Educación Primaria. Además, nota con facilidad que hay infinitos números naturales y que, entre dos números naturales consecutivos, no hay ningún otro número natural. Este es el momento de repasar también las nociones principales de divisibilidad entre números naturales: factor, divisor, número primo, máximo común divisor y mínimo común múltiplo, son los conceptos que se deben manejar con cierta agilidad en estos momentos (12, 13 años).

A continuación, por extensión de los naturales, se define el conjunto de los números enteros, \(\mathbb{Z}\), añadiendo a los naturales sus correspondientes negativos y el número cero.

\[\mathbb{Z}=\{\ldots-5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ldots\}\]

A partir de aquí es fácil definir el opuesto de un número entero \(a\) como el número \(-a\). Así, el opuesto de \(5\) es \(-5\) y el opuesto de \(-7\) es \(-(-7)=7\). Además queda claro que al sumar un número con su opuesto ambos se anulan, es decir, el resultado es el número cero. Con estas ideas se empiezan a introducir el uso de paréntesis y corchetes, así como las reglas de los signos a la hora de realizar productos y divisiones de números enteros. Y empezando por operaciones básicas, el alumno, con algo de práctica, es capaz de realizar operaciones del tipo:

\[2-3\cdot\left[(-4)\cdot(-5)+(14-3)\cdot(-2)\right]\cdot\left[5-2\cdot(3-5)\right]\]

Para ello se insiste en ser cuidadosos con la jerarquía de las operaciones, de tal manera que lo primero es realizar las operaciones que se encuentran en el interior de un corchete o paréntesis, haciendo primero los productos y divisiones y finalmente las sumas y restas, siempre operando de izquierda a derecha. De este modo la operación anterior se puede reducir, paso a paso, así:

\[\begin{array}{ll}&2-3\cdot\left[(-4)\cdot(-5)+(14-3)\cdot(-2)\right]\cdot\left[5-2\cdot(3-5)\right]=\\=&2-3\cdot\left[20+11\cdot(-2)\right]\cdot\left[5-2\cdot(-2)\right ]=\\=&2-3\cdot\left(20-22\right)\cdot\left(5+4\right)=\\=&2-3\cdot(-2)\cdot9=\\=&2+54=\\=&56\end{array}\]

Es cierto que esto es tedioso, pero una práctica necesaria en el estudio diario de la materia de matemáticas a comienzos de la Educación Secundaria Obligatoria (12, 13 años). Para hacer más agradable la práctica de operaciones con números enteros, se intercalan problemas en el que se usan estos números y que conlleven la necesidad de hacer algunas operaciones aritméticas. Un par de enunciados de cierto nivel podrían ser los siguientes.

  • Obtener los números enteros entre \(-8\) y \(0\) utilizando los números \(1\), \(2\) y \(3\) sin repetirlos, las operaciones aritméticas conocidas (suma, resta, producto, división) y el uso de paréntesis.
  • Una prueba de selección consiste en responder a \(100\) preguntas de tipo test, de tal manera que se asignan \(4\) puntos si la respuesta es correcta, \(-1\) punto si se deja en blanco y \(-3\) puntos si la respuesta es incorrecta. Para superar la prueba es necesario obtener, al menos, \(100\) puntos. ¿Cuál es el mínimo de respuestas correctas necesarias para superar la prueba? ¿Y el máximo número de errores?

Basta introducir en un buscador las palabras "problemas números enteros" para que aparezcan en la Web multitud de sitios con problemas que se pueden proponer para trabajar los números enteros y las operaciones entre los mismos. En particular, una actividad muy atractiva para el alumnado es experimentar con cuadrados mágicos.

El siguiente paso es extender los números enteros a las fracciones. El alumno entiende rápidamente la necesidad de tener que dividir un todo en partes iguales. Así, la fracción \(\dfrac{3}{4}\) indica que hemos dividido un todo en cuatro partes, de las cuales hemos tomado tres. También es fácil identificar cada fracción con un número decimal (basta dividir el numerador entre el denominador). En el ejemplo anterior \(\dfrac{3}{4}=0,75\). En los últimos cursos de la Educación Secundaria Obligatoria (14, 15 años) el alumno también experimenta con fracciones cuya expresión decimal es infinita, es decir, con números decimales periódicos puros y periódicos mixtos. Esto último es bueno porque el alumno percibe la utilidad y el poder de las ecuaciones de primer grado, que ya conoce, y cómo con su uso efectivamente se puede demostrar que cada número periódico lleva asociada una fracción. Es gratificante obtener, por ejemplo, la fracción irreducible del número decimal periódico mixto \(2,73333\ldots\)  Se procede de la siguiente manera. Llamamos \(x=2,73333\ldots\)  Ahora multiplicamos por diez: \(10x=27,3333\ldots\) , y también por cien: \(100x=273,3333\ldots\)  Finalmente, restando, se obtiene:

\[100x-10x=273,3333\ldots-27,3333\ldots\Rightarrow90x=246\Rightarrow x=\frac{246}{90}=\frac{41}{15}\]

El estudio de las fracciones lleva asociado el concepto de razón entre dos números y el concepto de proporción. Estos conceptos desembocan en el estudio de la proporcionalidad, tanto directa como inversa, los porcentajes, y la proporcionalidad geométrica. Conceptos que tienen infinidad de aplicaciones a problemas cotidianos: reglas de tres directas e inversasrepartos proporcionales, aumentos y disminuciones porcentuales, interés simple, teorema de Tales, semejanza de triángulos, cálculo de distancias y de alturas, etcétera. De hecho, todo parte de que dos fracciones equivalentes forman una proporción, cumpliéndose la conocida propiedad

\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow a\cdot d=b\cdot c\]

Con la idea anterior es fácil hacerse a la idea de que el conjunto formado por todas las fracciones equivalentes a una dada representa el mismo número, número que llamaremos racional (por aquello de que una fracción es una razón entre dos números). Y que podemos tomar como representante de este número racional a la fracción irreducible, es decir, a aquella cuyo numerador y denominador tienen un único divisor común: el uno. Vamos, aquella fracción que no se puede simplificar más.

Concretamente, el conjunto \(\mathbb{Q}\) de los números racionales se define de la siguiente forma:

\[\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}\ :\ p\in\mathbb{Z}\,,n\in\mathbb{N}\right\}\]

Ni que decir tiene que, al igual que ocurría con los números enteros, es necesario saber operar con fracciones. Veamos un ejemplo:

\[\begin{array}{ll}&\displaystyle\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{4}{3}-\frac{1}{12}+\frac{5}{4}\cdot\frac{8}{3}=\left(\frac{3}{6}+\frac{2}{6}\right)\cdot\frac{4}{3}-\frac{1}{12}+\frac{40}{12}=\\&\\=&\displaystyle\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{3}-\frac{1}{12}+\frac{10}{3}=\frac{20}{18}-\frac{1}{12}+\frac{10}{3}=\frac{10}{9}-\frac{1}{12}+\frac{10}{3}=\frac{40}{36}-\frac{3}{36}+\frac{120}{36}=\frac{157}{36}\end{array}\]

Al mismo tiempo que se va adquiriendo agilidad en las operaciones con fracciones es conveniente presentar problemas donde éstas aparecen. Por tanto, tal y como se ha comentado antes y sin dejar de lado la parte puramente aritmética, es bueno trabajar con aplicaciones cotidianas de las fracciones, las reglas de tres, los repartos proporcionales, los porcentajes y las aplicaciones y uso de las fracciones en la geometría. De nuevo hay que insistir en que Internet es un recurso excepcional para obtener infinidad de problemas de este tipo. Basta introducir en un buscador las palabras adecuadas.

De hecho, entre los 12 y los 15 años, en clase de matemáticas no hacemos otra cosa, fundamentalmente, que trabajar con enteros y racionales. Durante estas edades, en la Educación Secundaria Obligatoria, el currículo de matemáticas se divide en cinco bloques: "Números y Álgebra", "Geometría", "Funciones y gráficas", "Estadística y probabilidad" y un bloque común para trabajar conjuntamente con los anteriores, "Planteamiento y resolución de problemas". A pesar de que es, efectivamente, en el bloque de "Números y álgebra" donde se dan a conocer y se llevan a cabo las primeras aplicaciones, es en el resto de bloques donde se pone de manifiesto su uso tanto desde el punto de vista geométrico como analítico. Además, el uso de números enteros y racionales a través de relaciones entre variables, tablas y gráficas, ofrece muchísimo juego a la hora de representar modelos matemáticos y de hacer estudios estadísticos, de evidente aplicación, por otro lado, en otras materias.

Hasta aquí todo va bien pues los naturales, enteros y racionales son números que se captan de manera intuitiva.  Es a partir de los 14 o 15 años cuando se extiende la idea de número racional a la de número real. Normalmente se introducen diciendo que hay números que no son racionales porque su expresión decimal no es exacta ni periódica, es decir, tienen infinitas cifras decimales. Podemos poner rápidamente un ejemplo:

\[1,010011000111000011110000011111\ldots\]

¿Qué ocurre con este tipo de números? ¿Por qué no les corresponde, como a los racionales, una fracción? A veces se ponen otros ejemplos de números de este tipo, como el número pi, el número de oro o divina proporción, incluso el número e. El alumno admite a regañadientes que no sean racionales y se les pone nombre: irracionales. Pero a los 12 años el alumno ya conoce el concepto de raíz cuadrada y se da cuenta con facilidad de que la mayoría de las raíces cuadradas de los números naturales no son naturales, sino números decimales con muchas cifras decimales. No es una mala experiencia aproximar la raíz cuadrada de dos a un número con cuatro o cinco cifras decimales haciendo uso de la calculadora. Con algo de experimentación es fácil que el alumno llegue a elaborar una tabla como la siguiente:

\[\begin{array}{|c|c|}\hline1^2=1&2^2=4\\1,4^2=1,96&1,5^2=2,25\\1,41^2=1,9881&1,42^2=2,0164\\1,414^2=1,999396&1,415^2=2,002225\\1,4142^2=1,99996164&1,4143^2=2,00024449\\\hline\end{array}\]

Así se puede concluir que \(\sqrt{2}\) es igual, aproximadamente y por defecto, a \(1,4142\). Incluso no estaría mal echar mano de un ordenador y una hoja de cálculo para calcular más cifras decimales de \(\sqrt{2}\). De esta manera sí que el alumno admite, porque lo ve, que las raíces cuadradas de los números naturales que no sean cuadrados perfectos tienen una expresión decimal que no sigue ninguna pauta, ningún orden. En el último curso de la Educación Secundaria Obligatoria se puede demostrar (se debe, más bien) que la raíz cuadrada de dos es un número irracional, o sea, que no se puede poner en forma de fracción. Hagamos aquí la demostración. Para ello se han de tener en cuenta dos cosas.

  • Toda fracción, si no es irreducible, admite una fracción equivalente que es irreducible. Recordemos que una fracción \(\dfrac{m}{n}\) irreducible es aquella en la que \(\text{mcd}(m,\,n)=1\).
  • El cuadrado de todo número impar es siempre impar (¿te atreves a hacer una demostración?). Dicho de otra manera, si el cuadrado de un número es par, este número será también par (porque si fuera impar su cuadrado sería impar).

Para hacer la demostración de que \(\sqrt{2}\) es irracional se procede por reducción al absurdo. Es decir, se supone que es racional y se llega a una contradicción, contradicción que confirmará que \(\sqrt{2}\) no es racional.

Supongamos que \(\sqrt{2}\) es racional, es decir que \(\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}\), donde \(m\) y \(n\) son números naturales y que la fracción \(\dfrac{m}{n}\) es irreducible (se puede suponer irreducible porque si no lo fuera habría una equivalente que sí lo sería y podríamos tomar esta última como la fracción igual a la raíz cuadrada de dos). Ahora completemos el razonamiento:

\[\sqrt{2}=\frac{m}{n}\Rightarrow\sqrt{2}^2=\left(\frac{m}{n}\right)^2\Rightarrow2=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=2n^2\]

De lo anterior se deduce claramente que \(m^2\) es par (el doble de cualquier número siempre es par), con lo que \(m\) también es par. Por tanto existe un número natural \(k\) tal que \(m=2k\). Sustituyendo tenemos:

\[(2k)^2=2n^2\Rightarrow 4k^2=2n^2\Rightarrow 2k^2=n^2\]

De la misma forma que anteriormente, deducimos ahora que \(n^2\) es par y que, por tanto, \(n\) también lo es. Hemos demostrado pues que \(m\) y \(n\) son ambos números pares, pero esto es una contradicción pues la fracción \(\dfrac{m}{n}\) se ha tomado irreducible y, siendo tanto \(m\) como \(n\) número pares se podría reducir aún más (dividiendo entre dos).

La contradicción anterior demuestra que \(\sqrt{2}\) no se puede poner en forma de fracción y que, por tanto, es un número irracional.

La unión de todos los números racionales y de todos los números irracionales es el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales. Conjunto que tiene estructura de cuerpo ordenado, pero de eso hablaremos en otro momento.

Bien, hemos llegado al final de este paseo por el concepto de número y sobre lo que deberías de saber de ellos. Pero el viaje no acaba aquí. Ahora llega el momento de descubrir otros muchos y variados aspectos de las matemáticas donde los números reales juegan el papel central. Por ejemplo:

  • Trigonometría.
  • Geometría plana. Vectores y rectas en el plano.
  • Lugares geométricos. Cónicas.
  • Números complejos.
  • Logaritmos. Función exponencial y logarítmica.
  • Límites y continuidad de funciones.
  • Derivadas de funciones.
  • Estadística unidimensional y bidimensional.
  • Probabilidad.

Estas "cosas" o bien no se habían visto en la Educación Secundaria Obligatoria, o bien solamente se habían visto en parte. O sea, empiezan a ser "lo peor", según la sentencia de Hamlet. Ya veremos que no será para tanto. Más bien al contrario, intentaremos disfrutar con ellas.

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El número e

Si se introduce el número \(\text{e}\), uno de los números reales más importantes, a la manera matemáticamente formal, quizás dé un poco de miedo. Así que lo haré de una forma, si no divertida, al menos curiosa. Para ello prácticamente transcribiré parte de un libro cuyo título es "Matemática, ¿estás ahí?". Su autor es Adrián Paenza. Adrián es doctor en Matemática, profesor y también un reconocido periodista en los ámbitos deportivo y político. Recomiendo encarecidamente la lectura de su libro.

Pues bien, empecemos.

Supongamos que una persona tiene un capital de \(1\) euro. Y vamos a suponer también que el interés que le pagan anualmente por ese euro es del \(100\,\%\). Es sólo un ejemplo, ya sabemos que no existe ni existirá tal banco, pues se arruinaría antes de empezar. Pero da igual, será un ejemplo que nos servirá. Así que seguid el razonamiento.

Capital: 1 euro

Interés: 100% anual

Si uno hace la inversión en el banco y se va a su casa, ¿cuánto dinero tiene cuando vuelve justo al año? Está claro, como el interés es del \(100\,\%\), al año el señor tiene \(2\) euros: uno que corresponde a su capital y otro que es producto del interés que le pagó el banco.

Capital al cabo de un año: 2 euros

Supongamos ahora que el señor decide poner su dinero no a un año, sino sólo a seis meses. El interés (a lo largo de todo este ejemplo) permanecerá constante: siempre será de un \(100\,\%\). Al cabo de seis meses entonces, el señor ¿cuánto dinero tiene? Está claro que tiene \(1,5\) euros.

Esto es porque como invirtió el mismo capital de \(1\) euro a un interés del \(100\,\%\) pero sólo durante la mitad del año, le corresponde un interés de la mitad de lo que invirtió y, por eso, le corresponden \(0,5\) euros de interés. Es decir, su nuevo capital es de \(1,5\) euros.

Prestad atención porque ahora viene lo bueno. Si ahora el señor decide reinvertir su nuevo capital en el mismo banco, con el mismo interés (\(100\,\%\)) y por otros seis meses para llegar nuevamente al año como antes, ¿cuánto dinero tiene ahora?

Nuevo capital: 1,5 euros

Interés: 100% anual

Plazo que lo deposita: 6 meses

Al finalizar el año tiene:

\[1,5+\frac{1}{2}\cdot1,5=2,25\]

¿Por qué? Porque el capital que tenía a los seis meses iniciales no se toca: \(1,5\) euros. El nuevo interés que cobra es de la mitad del capital, porque el dinero lo pone a un interés del \(100\,\%\) pero sólo por seis meses. Por eso, tiene \(1/2\cdot1,5=0,75\) como nuevo dinero que le aporta el banco como producto de los intereses devengados.

MORALEJA: al señor le conviene (siempre que el banco se lo permita) depositar el dinero en primer lugar a seis meses y luego renovar el plazo fijo a otros seis meses. Si comparamos con lo que le hubiera correspondido en el primer caso, al finalizar el año tenía \(2\) euros. En cambio, reinvirtiendo en la mitad, al cabo de \(365\) días tiene \(2,25\) euros.

Supongamos ahora que el señor coloca el mismo euro que tenía originalmente, pero ahora por cuatro meses. Al cabo de esos cuatro meses, reinvierte el dinero, pero por otros cuatro meses. Y finalmente, hace una última reinversión (siempre con el mismo capital) hasta concluir el año. ¿Cuánto dinero tiene ahora? Veamos.

Al principio del año el señor tiene:

\[1\]

A los cuatro meses (o sea, transcurrido \(1/3\) del año) tiene:

\[1+\frac{1}{3}\]

A los siguientes cuatro meses (ocho desde el comienzo) tiene:

\[\left(1+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{3}\right)=\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)=\left(1+\frac{1}{3}\right)^2\]

Esto sucede porque a los cuatro meses el capital es de \((1+1/3)\) y, al cabo de otros cuatro meses, tendrá el capital más un tercio de ese capital. La cuenta que sigue despues se obtiene de sacar factor comun \((1+1/3)\) en el primer miembro de la igualdad.

Ahora bien: cuando el señor invierte \((1+1/3)^2\) por otros cuatro meses, al llegar justo el fin del año, el señor tendrá el capital \((1+1/3)^2\) más \(1/3\) de ese capital. O sea:

\[\left(1+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{3}\right)^2=\left(1+\frac{1}{3}\right)^2\left(1+\frac{1}{3}\right)=\left(1+\frac{1}{3}\right)^3=2,370370370\ldots\]

Os habréis apercibido de que ahora nos queda la tentación de hacerlo no sólo cada cuatro meses, sino cada tres meses. Podéis echar la cuenta y obtendréis que, al cabo de un año el señor tendrá:

\[\left(1+\frac{1}{4}\right)^4=2,44140625\ldots\]

Si lo hiciera cada dos meses, tendría que reinvertir su dinero seis veces al año:

\[\left(1+\frac{1}{6}\right)^6=2,521626372\ldots\]

Si lo hicera una vez al mes, reinvirtiría doce veces por año:

\[\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}=2,61303529\ldots\]

Como podéis ver, al señor le conviene poner su diner a plazo fijo, pero haciéndolo con un plazo cada vez más corto y reinvirtiendo lo que obtiene (siempre con el mismo interés).

Supongamos que el banco le permitiera al señor renovar su plazo diariamente. En este caso, el señor tendría:

\[\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}=2,714567475\ldots\]

Y si lo hiciera una vez por hora, como en el año hay \(8760\) horas, tendría:

\[\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760}=2,718126664\ldots\]

Y si se le permitiera hacerlo una vez por minuto, como en el año hay \(525600\) minutos, su capital resultaría ser:

\[\left(1+\frac{1}{525600}\right)^{525600}=2,718279243\ldots\]

Y, por último, supongamos que le permitieran hacerlo una vez por segundo. En este caso, como en el año hay \(31536000\) segundos el capital que tendría al cabo de un año sería:

\[\left(1+\frac{1}{31536000}\right)^{31536000}=2,718281785\ldots\]

MORALEJA: si bien uno advierte que el dinero al finalizar el año es cada vez mayor, el dinero que uno tiene al final no aumenta indiscriminadamente.

Hagamos un resumen de la lista que acabamos de escribir, en la que aparezca las veces al año que renueva su capital y su capital final:

1 vez al año - 2

2 veces al año - 2,25

3 veces al año (cuatrimestral) - 2,37037037...

4 veces al año (trimestral) - 2,44140625...

6 veces al año (bimestral) - 2,521626372...

12 veces al año (mensual) - 2,61303529...

365 veces al año (diario) - 2,714567475...

8.760 veces al año (por hora) - 2,718126664...

525.600 veces al año (una vez por minuto) - 2,718279243...

31.536.000 veces al año (una vez por segundo) - 2,718281785...

Lo que es muy interesante es que estos números, si bien crecen cada vez que el interés se cobra más frecuentemente, no lo hacen en forma ni arbitraria ni desbocada. Al contrario: tienen un tope, están acotados. Y la cota superior (es decir, si uno pudiera imaginariamente estar renovándolo a cada instante) es lo que se conoce como el número \(\text{e}\) (que es la base de los logaritmos naturales o neperianos). No sólo es una cota superior, sino que es el número al cual se está acercando cada vez más la sucesión que estamos generando al modificar los plazos de inversión.

El número \(\text{e}\) es un número irracional, cuyas primeras cifras decimales son:

\[\text{e}=2,718281828...\]

El número \(\text{e}\) es uno de los números más importantes de la vida cotidiana, aunque su relevancia está generalmente escondida para el gran público. Habría que divulgar mucho más sobre él. Por ahora, nos contentamos con celebrar su curiosa aparición en este escenario, mostrándolo como el límite (y también la cota superior) del crecimiento de un capital de \(1\) euro a un interés del \(100\,\%\) anual y renovado periódicamente.

Puedes consultar aquí una demostración rigurosa del número \(\text{e}\) como límite de una determinada función. Para ello antes se ha obtenido el propio número \(\text{e}\) como límite de una sucesión muy especial.

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