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Problemas de matemáticas que se resuelven planteando ecuaciones

El álgebra, y en concreto las ecuaciones, son instrumentos que nos permiten resolver con facilidad muchos problemas que se plantean en la vida real. Aunque no existe una "receta mágica" para la resolución de problemas, sí que podemos sugerir unas técnicas y etapas para enfrentarnos a los problemas por difíciles que estos sean. Son las siguientes:

  1. Comprender el problema: identificar los datos y las incógnitas y buscar sus relaciones. Para ello se lee el enunciado con atención y se expresa en lenguaje algebraico.
  2. Trazar un plan para resolverlo: plantear la ecuación o ecuaciones que permitan resolver el problema. Esta etapa es fundamental, pues hemos de traducir los datos del problema a lenguaje algebraico.
  3. Poner en práctica el plan: resolver la ecuación o ecuaciones planteadas.
  4. Interpretar y comprobar los resultados: se interpreta la solución escribiéndola, en su caso, con las unidades correspondiente; y se comprueba si la solución tiene sentido en el contexto particular del problema.

Veamos algunos ejemplos típicos de resolución de problemas.

Ejemplo 1

Pedro tiene 14 años y su hermana Elisa, 3. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de Pedro sea el doble que la de su hermana?

Llamaremos \(x\) a los años que han de transcurrir. Cuando hallan transcurrido precisamente esos \(x\) años, la edad de Pedro será \(14+x\) y la edad de su hermana \(3+x\). En ese momento la edad de Pedro es el doble que la de su hermana, es decir:

\[14+x=2(3+x)\]

Resolviendo la ecuación anterior:

\[14+x=6+2x\Rightarrow x-2x=6-14\Rightarrow -x=-8\Rightarrow x=8\]

Por tanto, han de transcurrir 8 años para que la edad de Pedro sea el doble que la de su hermana. Fíjate que esta solución cumple con en el enunciado del problema pues cuando han pasado 8 años, Pedro tiene 22 años y su hermana 11, con lo que la edad de Pedro es el doble que la de su hermana.

Ejemplo 2

Una bodega quiere producir 400 litros de un vino nuevo que cueste 4,80 €/l ("euros el litro"). Para ello va a mezclar 2 tipos de vino, uno de 4,60 €/l y otro de 6,20 €/l. Averiguar cuántos litros de cada tipo de vino va a emplear en producir la nueva mezcla.

A veces es muy útil organizar los datos del problema en una tabla. Sobre todo en los problemas de este tipo en los que aparecen mezclas de algún tipo de producto.

   Cantidad (l) Precio (€/l) Coste 
Vino A \(x\) \(4,60\) \(4,6x\)
Vino B \(400-x\) \(6,20\) \(6,2(400-x)\)
Mezcla \(400\) \(4,80\) \(4,6x+6,2(400-x)\)

Ahora, como el coste de la mezcla es de 4,80 €/l, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[4,6x+6,2(400-x)=4,8\cdot400\]

Resolviéndola:

\[4,6x+2480-6,2x=1920\Rightarrow4,6x-6,2x=1920-2480\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-1,6x=-560\Rightarrow x=\frac{-560}{-1,6}\Rightarrow x=350\]

Por tanto debemos mezclar 350 litros de vino A y 50 litros de vino B. Obsérvese que 350 litros de vino A cuestan 1610 euros, y 50 litros de vino B cuestan 310 euros. La mezcla de los 400 litros cuesta entonces 1920 euros (400 litros a 4,8 euros el litro, tal y como se expresaba en el enunciado del problema).

Ejemplo 3

Desde una localidad sale un ciclista a las 10 horas con una velocidad de 22 km/h. Al cabo de una hora sale de la misma localidad otro ciclista con una velocidad de 30 km/h. Si ambos ciclistas son capaces de mantener de manera constante sus velocidades, ¿a qué hora alcanza el segundo ciclista al primero?

Tendremos en cuenta que, a velocidad constante, el espacio recorrido \(s\) es igual a la velocidad \(v\) por el tiempo transcurrido \(t\): \(s=vt\).

Llamemos \(t\) al tiempo que tarda el segundo ciclista en alcanzar al primero.

Cuando sale el segundo ciclista, el primero lleva recorridos ya 22 kilómetros (pues el segundo sale una hora después que el primero).

Con las consideraciones anteriores, tras el tiempo \(t\) que tarda el segundo en alcanzar al primero, la distancia recorrida por el primer ciclista es \(22+22t\) y la distancia recorrida por el segundo es \(30t\). Como la distancia recorrida por ambos hasta ese momento en que el segundo alcanza al primero es la misma, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[22+22t=30t\]

Resolviéndola:

\[22t-30t=-22\Rightarrow-8t=-22\Rightarrow t=\frac{-22}{-8}\Rightarrow t=2,75\]

Por tanto deben transcurrir 2,75 horas (2 horas y 45 minutos) para que el segundo ciclista alcance al primero.

Para comprobar que el resultado es correcto, observemos que, transcurridas 2,75 horas, el primer ciclista recorre \(22+22\cdot2,75=82,5\) kilómetros. El segundo, en el mismo tiempo, recorre también \(30\cdot2,75=82,5\) kilómetros. Por eso es justamente cuando pasan dos horas y tres cuartos cuando el segundo ciclista alcanza al primero.

Ejemplo 4

De un depósito de agua lleno se saca la mitad del contenido, y después, un tercio del resto. En el depósito quedan 200 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Llamemos \(x\) a la capacidad en litros del depósito. Como se saca la mitad, resulta que queda en el depósito la otra mitad, es decir, queda la mitad de \(x\): \(\dfrac{x}{2}\). Después se caca un tercio del resto, o sea, un tercio de esta mitad que ha quedado en el depósito:\(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{6}\).

En total hemos sacado pues \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{6}\) litros. Como quedan 200 litros dentro del depósito, la capacidad del depósito \(x\) es igual a lo que hemos sacado más los 200 litros que quedan dentro del mismo. Podemos entonces plantear la siguiente ecuación:

\[\frac{x}{2}+\frac{x}{6}+200=x\]

Resolviéndola:

\[3x+x+1200=6x\Rightarrow3x+x-6x=-1200\Rightarrow-2x=-1200\Rightarrow x=600\]

Por tanto, la capacidad del depósito es de 600 litros.

Veamos que este resultado es coherente con el enunciado. Primero sacamos la mitad, o sea, 300 litros, quedando dentro otros 300 litros. Ahora sacamos la tercera parte de 300 litros, que son 100 litros. Por tanto hemos sacado en total 400 litros. Esto quiere decir que dentro del depósito, tras las dos extracciones, quedan 200 litros, tal y como se expresaba en el enunciado.

Los problemas que se resuelven planteando ecuaciones se introducen ya en las matemáticas de primer ciclo de educación secundaria obligatoria. A continuación os dejo algunos enlaces más con problemas para resolver planteando ecuaciones.

Relación con 48 problemas que se resuelven planteando ecuaciones de primer grado. Nivel 1º de ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Relación con 42 problemas que se resuelven planteando ecuaciones de primer grado. Nivel 2º, 3º de ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Relación con ecuaciones, sistemas y problemas que se resuelven planteando una ecuación de primer grado o un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas. Nivel 4º ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Artículo sobre ecuaciones. El ejercicio 2 contiene cinco problemas de ecuaciones completamente resueltos.

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Expresiones infinitas y la razón áurea

Supongamos que nos piden hallar un valor de \(x\) igual al de las siguientes expresiones infinitas:

\[x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\quad(1)\]

\[x=1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\ldots}}}}\quad(2)\]

Dicho de otra manera, queremos otra forma de escribir el valor de \(x\), pero no como una expresión infinita.

En el primer caso, precisamente por ser una expresión infinita, es fácil darse cuenta de que

\[x=\sqrt{1+x}\]

Entonces:

\[x^2=1+x\Rightarrow x^2-x-1=0\]

Y resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]

Tenemos pues dos soluciones, una positiva, \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), y otra negativa, \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\). La solución negativa hay que descartarla pues claramente la expresión infinita es un número positivo. La solución positiva es el famoso número de oro, que se suele representar con la letra griea phi mayúscula:

\[\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Para la expresión \((2)\) (una fracción continua) tampoco es muy difícil darse cuenta de que se cumple la siguiente igualdad:

\[x=1+\frac{1}{x}\]

De donde:

\[x^2=x+1\Rightarrow x^2-x-1=0\]

Y se obtiene la misma ecuación de antes, es decir, con las mismas soluciones. Obviamente también hay que descartar la solución negativa pues la fracción continua es claramente positiva.

Por tanto, tanto la expresión infinita \((1)\) como la \((2)\) son iguales al número de oro \(\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\).

Del número de oro no se habla por primera vez como número sino como razón. Euclides, en su obra "Elementos", dice que "una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor". Esta razón es exactamente igual a \(\Phi\). Veámoslo.

razon aurea 01

Supongamos que el punto \(C\) divide al segmento \(\overline{AB}\) en extrema y media razón, es decir:

\[\frac{\overline{AB}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}\]

Para mayor comodidad llamaremos \(\overline{AC}=a\) y \(\overline{CB}=b\). Entonces la igualdad anterior se convierte en

\[\frac{a+b}{b}=\frac{b}{a}\]

Si multiplicamos los dos miembros de la igualdad por \(ab\) se obtiene:

\[a(a+b)=b^2\Rightarrow a^2+ab=b^2\Rightarrow b^2-ab-a^2=0\]

La expresión \(b^2-ab-a^2=0\), la podemos ver como una ecuación donde la incógnita es \(b\). Resolviéndola tenemos que

\[b=\frac{-(-a)\pm\sqrt{(-a)^2-4\cdot1\cdot(-a^2)}}{2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\]

\[=\frac{a\pm\sqrt{5a^2}}{2}=\frac{a\pm a\sqrt{5}}{2}=\frac{a(1\pm\sqrt{5})}{2}\]

La solución positiva de esta ecuación es \(b=\dfrac{a(1+\sqrt{5})}{2}\), de donde

\[\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

Es decir, \(\dfrac{b}{a}=\Phi\). La razón \(\dfrac{b}{a}\) se llama razón de oro o razón áurea. Y, naturalmente, la proporción \(\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{b}{a}\) (igualdad entre extrema y media razón), recibe el nombre de proporción de oro o proporción áurea.

Puesto que el número \(\Phi\) satisface la ecuación \(x^2-x-1=0\), entonces \(\Phi^2-\Phi-1=0\). Las expresiones infinitas del principio de este artículo se obtienen manipulando la igualdad anterior.

Para la primera expresión infinita tenemos:

\[\Phi^2-\Phi-1=0\Rightarrow\Phi^2=1+\Phi\Rightarrow\Phi=\sqrt{1+\Phi}\]

Sustituyendo ahora el valor de \(\Phi\) del interior de la raíz precisamente por el valor de \(\Phi\) anterior se tiene:

\[\Phi=\sqrt{1+\sqrt{\Phi+1}}\]

Sustituyendo así, de manera sucesiva, el último valor de \(\Phi\) por \(\sqrt{\Phi+1}\), obtenemos:

\[\Phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\]

Para la segunda expresión infinita procedemos de la siguiente forma (dividiendo todos los términos entre \(\Phi\)):

\[\Phi^2-\Phi-1=0\Rightarrow\Phi-1-\frac{1}{\Phi}=0\Rightarrow\Phi=1+\frac{1}{\Phi}\]

Sustituyendo el valor de \(\Phi\) del denominador precisamente por \(1+\dfrac{1}{\Phi}\), tenemos:

\[\Phi=1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{\Phi}}\]

Evidentemente, sustituyendo de manera sucesiva:

\[\Phi=1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1+\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\ldots}}}}\]

Los pitagóricos observaron que la relación entre la diagonal de un pentágono y su lado es igual a \(\Phi\). De ahí que los pitagóricos tuvieran como símbolo distinguido al pentagrama (que se obtiene trazando todas la diagonales de un pentágono).

razon aurea 02

Un ejemplo más es el rectángulo áureo. En los problemas 4 y 5 de este artículo se habla del rectángulo áureo y se da un método muy sencillo para su construcción. De hecho, la espiral áurea (que aparece, por ejemplo, en la concha del nautilus) está asociada a las propiedades geométricas del rectángulo áureo.

El número de oro \(\Phi\) tiene muchas, muchas propiedades. Además, se utiliza en arquitectura, escultura y pintura como canon de belleza, y aparece en la naturaleza más veces de las que nos podamos imaginar. El corto de Cristóbal Vila (gracias Cristóbal), "Nature by numbers", es una magnífica ilustración.

Cito también, por último, dos fenomenales libros sobre la proporción áurea.

Leer más ...

Potencias. Expresiones algebraicas. Igualdades notables - 1

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

¡A trabajar!


Ejercicio 1. Reduce las expresiones siguientes:

a)  \(4+x-7(3-2x)\)

b)  \(2(5x-3)+6x-1\)

c)  \((2+a)(2-a)-5(1+a)^2\)

d)  \((b+2)^2-(1-b)(1+b)5\)

a)  \(4+x-7(3-2x)=4+x-(21-14x)=4+x-21+14x=15x-17\)

Observaciones:

Este ejercicio es muy sencillo, pero es conveniente hacer algunas observaciones. Según la jerarquía de las operaciones se realizan los productos antes que las sumas y restas. Por eso lo primero que hacemos es el produto \(7(3-2x)\). Para realizar este producto se utiliza la propiedad distributiva respecto de la suma, según la cual:

\[a(b+c)=ab+ac\quad\forall\ a,\,b,\,c\in\mathbb{R}\]

Por eso \(7(3-2x)=7\cdot3-7\cdot2x=21-14x\). Observa que dentro del paréntesis no había una suma, sino una resta. No importa, la propiedad distributiva del producto también es cierta respecto de la resta, ya que restar es sumar el opuesto:

\[a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac\]

También hemos utilizado la propiedad distributiva, pero de derecha a izquierda, cuando hemos terminado de simplificar la operación. Es decir \(x+14x=1x+14x=(1+14)x=15x\). Esta acción también se conoce como "sacar factor común".

Esto es lo que se llama sumar monomios semejantes. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. Para sumarlos o restarlos se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Esto, como ves, no es otra cosa que aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma o de la resta.

Ahora más que nunca se pone de manifiesto que las matemáticas son un lenguaje, el lenguaje algebraico que nos permite operar con números y símbolos, utilizando una determinadas reglas del juego. Reglas que, por otra parte, son muy sencillas y que se irán poniendo de manifiesto en estos ejercicios.

b)  \(2(5x-3)+6x-1=2\cdot5x-2\cdot3+6x-1=10x-6+6x-1=16x-7\)

c)  \((2+a)(2-a)-5(1+a)^2=2^2-a^2-5(1^2+2\cdot1\cdot a+a^2)=\)

\(=4-a^2-5(1+2a+a^2)=4-a^2-5-10a-5a^2=-6a^2-10a-1\)

Observaciones:

Para reducir esta expresión hemos utilizado dos de las igualdades notables:

Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadradados:

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Cuadrado de una suma es igual a cuadrado del primer sumando, más dos veces el primero por el segundo, más cuadrado del segundo sumando:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Ambas son muy fáciles de demostrar. Veámoslo:

\[(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^2-b^2\]

Observa la forma en que se ha utilizado aquí, justo al principio, la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Por otro lado es claro que \(-ab+ba=-ab+ab=0\), (no olvidemos nunca la propiedad conmutativa de los números reales: \(ab=b\,a\ \forall\,a,\,b\in\mathbb{R}\)).

Por otro lado:

\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\]

d)  \((b+2)^2-(1-b)(1+b)5=b^2+2\cdot b\cdot2+2^2-(1^2-b^2)5=b^2+4b+4-(1-b^2)5=\)

\(=b^2+4b+4-(5-5b^2)=b^2+4b+4-5+5b^2=6b^2+4b-1\)


Ejercicio 2. Extrae factor común y escribe como producto de factores:

a)  \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2\)

b)  \(-6a+12-24b\)

c)  \(12x^2y^2-6xy+4xy^2\)

d)  \(abc+a^2bc^2-ab^2c\)

a)  \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2=xy(y-2x+5xy)\)

Observaciones:

Recuerda que sacar factor común no es otra cosa que la propiedad distributiva aplicada de derecha a izquierda: \(ab+ac=a(b+c)\). Para sacar al menos un factor común, dicho factor ha de estar al menos una vez en todos y cada uno de los sumandos de la expresión algebraica. En este caso, la expresión algebraica \(xy^2-2x^2y+5x^2y^2\) tiene tres sumandos: \(xy^2\), \(2x^2y\), \(5x^2y^2\). El primero tiene dos factores: \(x\), \(y^2\); el segundo tiene tres: \(2\), \(x^2\), \(y\); y el tercero tiene otros tres: \(5\), \(x^2\), \(y^2\). Tanto la letra \(x\) como la letra \(y\) es común en cada uno de los tres factores (ellas mismas también son factores incluso cuando van elevadas a algún exponente: \(x^2=x\cdot x\), \(y^2=y\cdot y\)). Pues bien, se extraen fuera de la expresión, elevadas al menor de los exponentes. Dentro de la expresión, entre paréntesis, quedan los factores que no se han extraído.

En resumen, es más fácil verlo y hacerlo que explicarlo.

b)  \(-6a+12-24b=-2\cdot3\cdot a+2^2\cdot3-2^3\cdot3\cdot b=2\cdot3(-a+2-2^2b)=6(-a+2-4b)\)

Observación:

En este caso, para extraer factor común los números \(2\) y \(3\), hemos tenido que descomponer previamente en producto de primos, cada uno de los factores numéricos de la expresión. Luego se procede como en el apartado anterior. También se puede hacer el máximo común divisor de los factores numéricos (coeficientes). Éste será el factor común de todos ellos.

c)  \(12x^2y^2-6xy+4xy^2=2^2\cdot3x^2y^2-2\cdot3xy+2^2xy^2=\)

\(=2xy(2\cdot3xy-3+2y)=2xy(6xy-3+2y)\)

Observación:

Muchas veces separamos los factores por un punto "\(\cdot\)", sobre todo cuando estamos multiplicando números. Esto es para no confundir el producto con otro número. Por ejemplo escribimos \(2\cdot3\) en lugar de \(23\) para no confundir dos por tres con el número veintitrés. Con las letras escribiremos indistintamente \(xy\) o \(x\cdot y\).

Resumiento, el producto se puede indicar con un punto o por yuxtaposición cuando alguno de los factores no es un número. Cuando ambos factores son números es obligatorio indicar el producto con un punto a fin de no confundirlo con otro número.

d)  \(abc+a^2bc^2-ab^2c=abc(1+ac-b)\)

Observación:

En este caso, al extraer factor común \(abc\), aparentemente no queda nada en el lugar de este factor que escribir dentro del paréntesis. Pero sí que queda, ¡el uno!. El número uno siempre esta multiplicando a cualquier expresión, es el elemento neutro del producto: \(1\cdot x=1x=x\ \forall x\in\mathbb{R}\). Muchas veces no se escribe, pero está. Siempre está multiplicando a cualquier factor o expresión que te encuentres.


Ejercicio 3. Simplifica las fracciones siguientes sacando factor común si fuera necesario:

a)  \(\displaystyle\frac{6(x-2)y}{12(2-x)y^2}\)

b)  \(\displaystyle\frac{20a^2-10ab+10a}{10(a-b+1)a}\)

c)  \(\displaystyle\frac{8(a-b)x}{12(b-a)x^2}\)

d)  \(\displaystyle\frac{6a^2+3a-3ab}{3(2a+1-2b)a}\)

a)  \(\displaystyle\frac{6(x-2)y}{12(2-x)y^2}=\frac{2\cdot3(x-2)y}{-2^2\cdot3(x-2)y^2}=-\frac{1}{2y}\)

Observaciones:

Para simplificar los factores numéricos se descomponen en producto de primos y luego se eliminan los factores comunes del numerador y del denominador.

Hemos utilizado un "truco" muy habitual en matemáticas: \((a-b)=-(b-a)\). En este caso \((2-x)=-(x-2)\). Así \(x-2\) es un factor común en el numerador y en el denominador y lo podemos eliminar. Observa que el signo menos lo hemos puesto al principio en el denominador pues el orden de los factores no altera el producto. Luego lo hemos puesto delante de la fracción ya que \(\displaystyle\frac{+}{-}=-\)

De nuevo recordar lo que ya se comentó en el ejercicio anterior. En el numerador se elimina todo. Por eso queda arriba el número uno, que siempre es un factor (recuerda: no se pone, pero siempre está).

b)  \(\displaystyle\frac{20a^2-10ab+10a}{10(a-b+1)a}=\frac{10a(2a-b+1)}{10(a-b+1)a}=\frac{2a-b+1}{a-b+1}\)

Observación:

Para poder eliminar factores comunes del numerador y del denominador hemos tenido que sacar factor común en el numerador. El enunciado del ejercicio ya dice que se saque factor común si es necesario (¡qué importante leer bien los enunciados de los ejercicios!). Luego hemos observado que los factores \(10\) y \(a\) son comunes en el numerador y en el denominador y los hemos eliminado.

Hay personas que "simplifican" aún más: \(\displaystyle\frac{2a-b+1}{a-b+1}=\frac{2a}{a}=2\). Pero este procedimiento no es correcto, porque \(b\) y \(1\) no son factores comunes del numerador y del denominador, ¡son sumandos! y, en este caso, aunque sean comunes no se pueden eliminar. Si así fuera llegaríamos a contradicciones como la siguiente:

\[2=\frac{16}{8}=\frac{4+3+9}{4+3+1}=\frac{9}{1}=9\]

¡Cuidado con esto!

c)  \(\displaystyle\frac{8(a-b)x}{12(b-a)x^2}=\frac{2^3(a-b)x}{-2^2\cdot3(a-b)x^2}=-\frac{2}{3x}\)

d)  \(\displaystyle\frac{6a^2+3a-3ab}{3(2a+1-2b)a}=\frac{3a(2a+1-b)}{3(2a+1-2b)a}=\frac{2a+1-b}{2a+1-2b}\)


Ejercicio 4. Simplifica las expresiones siguientes:

a)  \(\displaystyle\frac{(a^2b)^3(ab^2)^2}{(ab)^{-3}}\)

b)  \(\displaystyle\frac{x^6-x^4+x^3}{x^3+x^5-x^7}\)

c)  \(\displaystyle\frac{(x^5y)^2(xy^2)^2}{(x^2y^2)^{-3}}\)

d)  \(\displaystyle\frac{a^5-a^4+a^3}{a^7-a^5+a^4}\)

a)  \(\displaystyle\frac{(a^2b)^3(ab^2)^2}{(ab)^{-3}}=\frac{(a^2)^3b^3a^2(b^2)^2}{a^{-3}b^{-3}}=\frac{a^6b^3a^2b^4}{a^{-3}b^{-3}}=\frac{a^8b^7}{a^{-3}b^{-3}}=a^{8-(-3)}b^{7-(-3)}=a^{11}b^{10}\)

Observación:

En cada uno de los pasos se han utilizado distintas propiedades de las potencias:

Potencia de un producto es igual al producto de las potencias:

\[(ab)^n=a^nb^n\]

Potencia de una potencia es igual a la base elevado al producto de los exponentes:

\[(a^n)^m=a^{nm}\]

Producto de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes:

\[a^na^m=a^{n+m}\]

Cociente de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes:

\[\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\]

Este ejercicio se podría haber finalizado así:

\(\displaystyle\frac{a^8b^7}{a^{-3}b^{-3}}=a^8b^7\frac{1}{a^{-3}}\frac{1}{b^{-3}}=a^8b^7a^3b^3=a^{8+3}b^{7+3}=a^{11}b^{10}\)

Donde se ha utilizado la potencia de exponente negativo:

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad ;\quad \frac{1}{a^{-n}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a^n}}=a^n\]

Esto a veces se explica diciendo que si en una fracción aparece factor que sea una potencia con exponente negativo, se puede pasar al otro lado de la fracción con exponente positivo.

Para más información sobre potencias y propiedades de las potencias puedes ver la siguiente presentación sobre potencias.

b)  \(\displaystyle\frac{x^6-x^4+x^3}{x^3+x^5-x^7}=\frac{x^3(x^3-x+1)}{x^3(1+x^2-x^4)}=\frac{x^3-x+1}{1+x^2-x^4}\)

c)  \(\displaystyle\frac{(x^5y)^2(xy^2)^2}{(x^2y^2)^{-3}}=\frac{(x^5)^2y^2x^2(y^2)^2}{(x^2)^{-3}(y^2)^{-3}}=\frac{x^{10}y^2x^2y^4}{x^{-6}y^{-6}}=\)

\(\displaystyle=\frac{x^{12}y^6}{x^{-6}y^{-6}}=x^{12-(-6)}y^{6-(-6)}=x^{18}y^{12}\)

d)  \(\displaystyle\frac{a^5-a^4+a^3}{a^7-a^5+a^4}=\frac{a^3(a^2-a+1)}{a^4(a^3-a+1)}=\frac{a^2-a+1}{a(a^3-a+1)}=\frac{a^2-a+1}{a^4-a^2+a}\)

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