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Problemas de matemáticas que se resuelven planteando ecuaciones

El álgebra, y en concreto las ecuaciones, son instrumentos que nos permiten resolver con facilidad muchos problemas que se plantean en la vida real. Aunque no existe una "receta mágica" para la resolución de problemas, sí que podemos sugerir unas técnicas y etapas para enfrentarnos a los problemas por difíciles que estos sean. Son las siguientes:

  1. Comprender el problema: identificar los datos y las incógnitas y buscar sus relaciones. Para ello se lee el enunciado con atención y se expresa en lenguaje algebraico.
  2. Trazar un plan para resolverlo: plantear la ecuación o ecuaciones que permitan resolver el problema. Esta etapa es fundamental, pues hemos de traducir los datos del problema a lenguaje algebraico.
  3. Poner en práctica el plan: resolver la ecuación o ecuaciones planteadas.
  4. Interpretar y comprobar los resultados: se interpreta la solución escribiéndola, en su caso, con las unidades correspondiente; y se comprueba si la solución tiene sentido en el contexto particular del problema.

Veamos algunos ejemplos típicos de resolución de problemas.

Ejemplo 1

Pedro tiene 14 años y su hermana Elisa, 3. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de Pedro sea el doble que la de su hermana?

Llamaremos \(x\) a los años que han de transcurrir. Cuando hallan transcurrido precisamente esos \(x\) años, la edad de Pedro será \(14+x\) y la edad de su hermana \(3+x\). En ese momento la edad de Pedro es el doble que la de su hermana, es decir:

\[14+x=2(3+x)\]

Resolviendo la ecuación anterior:

\[14+x=6+2x\Rightarrow x-2x=6-14\Rightarrow -x=-8\Rightarrow x=8\]

Por tanto, han de transcurrir 8 años para que la edad de Pedro sea el doble que la de su hermana. Fíjate que esta solución cumple con en el enunciado del problema pues cuando han pasado 8 años, Pedro tiene 22 años y su hermana 11, con lo que la edad de Pedro es el doble que la de su hermana.

Ejemplo 2

Una bodega quiere producir 400 litros de un vino nuevo que cueste 4,80 €/l ("euros el litro"). Para ello va a mezclar 2 tipos de vino, uno de 4,60 €/l y otro de 6,20 €/l. Averiguar cuántos litros de cada tipo de vino va a emplear en producir la nueva mezcla.

A veces es muy útil organizar los datos del problema en una tabla. Sobre todo en los problemas de este tipo en los que aparecen mezclas de algún tipo de producto.

   Cantidad (l) Precio (€/l) Coste 
Vino A \(x\) \(4,60\) \(4,6x\)
Vino B \(400-x\) \(6,20\) \(6,2(400-x)\)
Mezcla \(400\) \(4,80\) \(4,6x+6,2(400-x)\)

Ahora, como el coste de la mezcla es de 4,80 €/l, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[4,6x+6,2(400-x)=4,8\cdot400\]

Resolviéndola:

\[4,6x+2480-6,2x=1920\Rightarrow4,6x-6,2x=1920-2480\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-1,6x=-560\Rightarrow x=\frac{-560}{-1,6}\Rightarrow x=350\]

Por tanto debemos mezclar 350 litros de vino A y 50 litros de vino B. Obsérvese que 350 litros de vino A cuestan 1610 euros, y 50 litros de vino B cuestan 310 euros. La mezcla de los 400 litros cuesta entonces 1920 euros (400 litros a 4,8 euros el litro, tal y como se expresaba en el enunciado del problema).

Ejemplo 3

Desde una localidad sale un ciclista a las 10 horas con una velocidad de 22 km/h. Al cabo de una hora sale de la misma localidad otro ciclista con una velocidad de 30 km/h. Si ambos ciclistas son capaces de mantener de manera constante sus velocidades, ¿a qué hora alcanza el segundo ciclista al primero?

Tendremos en cuenta que, a velocidad constante, el espacio recorrido \(s\) es igual a la velocidad \(v\) por el tiempo transcurrido \(t\): \(s=vt\).

Llamemos \(t\) al tiempo que tarda el segundo ciclista en alcanzar al primero.

Cuando sale el segundo ciclista, el primero lleva recorridos ya 22 kilómetros (pues el segundo sale una hora después que el primero).

Con las consideraciones anteriores, tras el tiempo \(t\) que tarda el segundo en alcanzar al primero, la distancia recorrida por el primer ciclista es \(22+22t\) y la distancia recorrida por el segundo es \(30t\). Como la distancia recorrida por ambos hasta ese momento en que el segundo alcanza al primero es la misma, podemos plantear la siguiente ecuación:

\[22+22t=30t\]

Resolviéndola:

\[22t-30t=-22\Rightarrow-8t=-22\Rightarrow t=\frac{-22}{-8}\Rightarrow t=2,75\]

Por tanto deben transcurrir 2,75 horas (2 horas y 45 minutos) para que el segundo ciclista alcance al primero.

Para comprobar que el resultado es correcto, observemos que, transcurridas 2,75 horas, el primer ciclista recorre \(22+22\cdot2,75=82,5\) kilómetros. El segundo, en el mismo tiempo, recorre también \(30\cdot2,75=82,5\) kilómetros. Por eso es justamente cuando pasan dos horas y tres cuartos cuando el segundo ciclista alcanza al primero.

Ejemplo 4

De un depósito de agua lleno se saca la mitad del contenido, y después, un tercio del resto. En el depósito quedan 200 litros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Llamemos \(x\) a la capacidad en litros del depósito. Como se saca la mitad, resulta que queda en el depósito la otra mitad, es decir, queda la mitad de \(x\): \(\dfrac{x}{2}\). Después se caca un tercio del resto, o sea, un tercio de esta mitad que ha quedado en el depósito:\(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{6}\).

En total hemos sacado pues \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{6}\) litros. Como quedan 200 litros dentro del depósito, la capacidad del depósito \(x\) es igual a lo que hemos sacado más los 200 litros que quedan dentro del mismo. Podemos entonces plantear la siguiente ecuación:

\[\frac{x}{2}+\frac{x}{6}+200=x\]

Resolviéndola:

\[3x+x+1200=6x\Rightarrow3x+x-6x=-1200\Rightarrow-2x=-1200\Rightarrow x=600\]

Por tanto, la capacidad del depósito es de 600 litros.

Veamos que este resultado es coherente con el enunciado. Primero sacamos la mitad, o sea, 300 litros, quedando dentro otros 300 litros. Ahora sacamos la tercera parte de 300 litros, que son 100 litros. Por tanto hemos sacado en total 400 litros. Esto quiere decir que dentro del depósito, tras las dos extracciones, quedan 200 litros, tal y como se expresaba en el enunciado.

Los problemas que se resuelven planteando ecuaciones se introducen ya en las matemáticas de primer ciclo de educación secundaria obligatoria. A continuación os dejo algunos enlaces más con problemas para resolver planteando ecuaciones.

Relación con 48 problemas que se resuelven planteando ecuaciones de primer grado. Nivel 1º de ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Relación con 42 problemas que se resuelven planteando ecuaciones de primer grado. Nivel 2º, 3º de ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Relación con ecuaciones, sistemas y problemas que se resuelven planteando una ecuación de primer grado o un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas. Nivel 4º ESO. Contiene la solución final de cada uno de ellos.

Artículo sobre ecuaciones. El ejercicio 2 contiene cinco problemas de ecuaciones completamente resueltos.

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Matemáticas básicas para el acceso a la Universidad

Matemáticas básicas para el acceso a la Universidad es el título de un libro cuyos autores son Ángel Manuel Ramos del Olmo y José María Rey Cabezas, profesores titulares de universidad en el Departamento de Matemática aplicada de la Universidad Complutense de Madrid (UCM).


Becas 10 - http://www.becas10.com/


Me ha parecido un libro muy completo, en el que se exponen de manera clara y eficaz todos los contenidos matemáticos necesarios para afrontar con matematicas basicasgarantías de éxito un grado de Ciencias, Tecnología o Ingeniería. El libro es altamente recomendable, como referencia matemática básica e integral, para todos aquellos alumos que deseen realizar algunos de los estudios mencionados. Además, el formato del libro es como el de un libro de matemáticas de universidad "de verdad". Lo que quiero decir con esto es que los libros de texto de secundaria y de bachillerato no tienen el aspecto de los libros de matemáticas con los que el alumno se va a encontrar en la universidad. Estos últimos utilizan para su escritura \(\LaTeX\), que es un es un sistema de composición muy adecuado para realizar documentos científicos y matemáticos de alta calidad tipográfica. Con este sistema están escritas también las fórmulas y expresiones que aparecen en los artículos de este sitio Web dedicado a las matemáticas.

En el prefacio del libro se explican muy bien las intenciones del mismo. Por eso me ha parecido una buena idea transcribirlo tal cual.

Prefacio

Al entrar a la universidad los alumnos a menudo se encuentran con material que los profesores suponen que ya han estudiado y con la típica frase "esto ya lo habéis dado, ¿verdad?", con el correspondiente estrés que esto puede generar. Visto desde el otro lado, el profesor suele oír quejas de algunos estudiantes que afirman que no han recibido clases sobre este material en la enseñanza secundaria y/o en Bachillerato. Además, si se le ocurre formular la pregunta antes citada, en muchas ocasiones verá a los estudiantes removiéndose en sus asientos, miradas perdidas, un murmullo general... y algunas tímidas respuestas.

En este volumen estudiantes y profesores encontrarán una recopilación de material matemático de un nivel previo a la universidad que les puede servir para preparar pruebas de acceso a la universidad, como texto de base para (al menos) el primer año de carrera y como texto al que recurrir, a modo enciclopédico, cuando lo precisen, sin necesidad de buscar una colección de libros y apuntes de cursos anteriores.

El origen de esta obra es un curso de preparación para pruebas de acceso a la universidad que los autores estuvieron impartiendo durante varios años en la Universidad Complutense de Madrid. Es en ese curso y en la interacción con sus estudiantes, cuando surge la idea inicial de su redacción. Además, la experiencia de los autores como profesores en clases de Matemáticas en los primeros años de universidad y como correctores en las actuales pruebas de acceso les ha permitido observar las carencias y necesidades a nivel matemático de muchos estudiantes, lo cual ha terminado de perfilar y completar la mencionada idea inicial. En este sentido este libro puede ser de especial ayuda como texto básico de referencia en los cursos introductorios de Matemáticas Básicas que, cada vez más, se imparten en los grados de Ciencias, Tecnología e Ingeniería.

El texto está dividido en tres partes en las que se clasifican los contenidos que se abordan: I) Álgebra y Geometría, II) Análisis, III) Estadística y Probabilidad. Cada parte está dividida en varios capítulos en los que se desgranan los principales resultados y la mayoría de sus demostraciones, junto con numerosas gráficas y ejemplos ilustrativos. Se ha considerado conveniente incluir, para los lectores interesados, demostraciones de la mayoría de los resultados presentados, a pesar de que muchas de ellas no suelen aparecer en los libros de enseñanza secundaria y de Bachillerato. Cada capítulo termina con una sección de problemas y otra sección con las correspondientes soluciones, lo que permitirá al lector comprobar el grado de conocimiento que ha adquirido sobre los contenidos de cada capítulo.

La parte de Álgebra y Geometría se inicia con la introducción a los números reales y se termina con el estudio del espacio euclídeo y de las cónicas, pasando previamente por capítulos sobres sistemas de ecuaciones lineales, trigonometría...

La parte de Análisis se inicia con el estudio de las sucesiones y su convergencia y de las funciones reales de variable real. Se continúa con un capítulo sobre números complejos (que muchos estudiantes de universidad afirman desconocer, a pesar de su enorme utilidad e importancia... y de ser, supuestamente, parte de los contenidos de Bachillerato). Se termina con la parte dedicada al Cálculo (derivadas e integrales) y sus aplicaciones.

Por último, la parte de Estadística y Probabilidad está dividida en tres capítulos. En el primero se estudia el Análisis Combinatorio, y muestra técnicas para facilitar el recuento de casos o cosas, necesario en muchas situaciones científicas y técnicas para facilitar el recuento de casos o cosas, necesario en muchas situaciones científicas cotidianas. El segundo capítulo esta dedicado a la Estadítica Descriptiva (sólo en el caso unidimensional) y presenta herramientas que permitan asimilar de una forma razonable grandes cantidades de información. En el tercer y último capítulo se presentan las nociones básicas de la teoría de la Probabilidad, con el objetivo de disponer de herramientas básicas que sirvan a la hora de intentar sacar conclusiones sobre lo que puede ocurrir en fenómenos o experimentos aleatorios.

Os dejo además, aquí y aquí, dos enlaces donde podréis encontrar más información sobre el libro.

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Al-Juarismi

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título "La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos", cuyos autores son Fernando Álvarez, Óscar Martín y Cristóbal Pareja.

Bagdad, siglo VIII

Una nueva civilización se acaba de abrir paso en la historia. Arrancó de Arabia hace dos siglos a partir de innumerables tribus nómadas que fueron aglutinadas por la fe de un profeta y el magnetismo de un libro revelado. Hoy, aquel incipiente estado se ha expandido hacia el este mirando a Oriente. Y también ha conquistado Jerusalén y Damasco. Todo el norte de África incova ya al profeta, y también gran parte de la península Ibérica. El mundo musulmán se extiende ya dede la India hasta los Pirineos.

La dinastía Omeya, la fundadora, ha sido destronada por la Abasí. Tres nombres aparecen, tres califas: Al-Mansur, que ha fundado Bagdad y la ha hecho capital, en lugar de la antigua Damasco. Aquí erige la Casa de la Sabiduría, donde las ciencias comienzan a florecer. Al segundo califa, Harún al-Rashid, nos lo ha presentado Scheherezade en numerosas veladas de Las mil y una noches: «He llegado a saber que en tiempo del califa Harún al-Rashid vivía en la ciudad de Bagdad un hombre llamado Simbad...», comienza uno de sus relatos. Su reinado fue el periodo de mayor esplendor cultural, al decir de los historiadores. Por eso se evoca su nombre en cuentos y leyendas. Con el ardor de los pueblos que despiertan, se han traducido al árabe manuscritos griegos, sirios y persas. Pero es en el califatod de Al-Mamún, su hijo, cuando la fiebre traductora alcanza su cima. Llegan textos de la India, en sánscrito, que son de la civilización griega, fruto de las relaciones comerciales con el imperio bizantino. Bagdad hizo con la cultura clásica lo que haría la Escuela de Traductores de Toledo más adelante.Al-Mamún y un enviado de Bizancio. De la 'Crónica de Juan Skylitzes'

Gracias a estos tres califas benefactores —que el Clemente, el Misericordioso, conserve sus nombres— Bagdad tuvo tiempo suficiente para que sus mejores hijos —originarios de todos los confines del imperio— la convirtiesen en una nueva Alejandría. En esa misma época, Occidente, a pesar de estar unido por el latín, no supo preservar el legado científico clásico. La Iglesia fue la única institución que no se desintegró y que mantuvo cierto impulso intelectual en los monasterios. Pero el monje, incluso el más instruido, tendía en su erudición más al negocio de la salvación del alma que a la filosofía natural. Solamente hubo una tentativa de revivificación cultural con Carlomagno, con la reinstauración de un programa de estudio: el Trivium (gramática, retórica y dialéctica) y el Quadrivium (aritmética, geometría, astronomía y música), heredados de la antigüedad clásica. A pesar de ello, el interés por el saber había desaparecido en el mundo occidental.

Debemos, pues, volver a Bagdad, ya en el siglo IX. Es una ciudad culta y mágica. Aquí, ya se sabe, la gente cruza el Tigris volando sobre alfombras. Y se buscan piedras filosofales y elixires de eterna juventud, a la vez que se traduce a Euclides, se estudia el Almagesto de Ptolomeo y se copian las obras de Arquímedes. En esta ciudad desarrolló su labor creativa Al-Juarismi.Al-Juarismi (780 Uzbekistán - 850 Bagdad)

Al-Juarismi escribió un libro que habría de tener gran influencia posterior en Europa. El original árabe se ha perdido y lo conocemos por una copia latina del siglo XII: Algoritmi de Numero Indorum (El arte indio del cálculo de Al-Juarismi). Como se ve en el título, se ha latinizado el nombre del autor. De él derivará la palabra moderna algoritmo.

En el libro se describe pormenorizadamente el sistema indio de numeración, con los 10 dígitos —incluido el cero—, y basado, como hoy, en que el valor de cada cifra depende de su posición: en \(444\) cada \(4\) es diferente (\(4\) centenas, \(4\) decenas y \(4\) unidades). Se describen asimismo las reglas para realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas. Y esto es lo más importante, porque ha de recordarse que con el sistema romano se podían escribir números, sí, pero no había manera de calcular: la tarea de sumar era difícil, la de multiplicar solo era posible para los sabios y la de dividir... estaba reservada casi únicamente a los dioses. Hoy día, un niño necesita únicamente pronunciar las palabras mágicas de su tabla de multiplicar y un algoritmo, automático y obediente, proporciona el resultado.Margarita Philosophica (de Gregor Reisch)

No obstante, los nuevos métodos tardaron en implantarse y el antiguo sistema romano siguió usándose en Europa durante gran parte de la Edad Media. En la figura de la derecha se muestra, en el centro, a la musa de la aritmética; Boecio, a la izquierda, simbolizando la escritura decimal, sonríe por haber acabado una operación; a la derecha, el griego Pitágoras intenta hacer lo mismo con un ábaco, con poco éxito, según el pintor. La pintura, de 1508, evidencia que la supremacía de la escritura decimal posicional, frente a la romana, no era aún reconocida por todos en esa época.

'Al-Jabr' o el Álgebra

La obra más importante de Al-Juarismi lleva el impresionante título de Al-kitab al-muthasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala, que más o menos dice: Libro sobre el método de cálculo consistente en restaurar y equilibrar.

El titulo parece la expresión de un conjuro que hay que pronunciar, mientras se frota una vieja lámpara, para liberar un genio prisionero. Y en verdad así es, pues en el interior del libro, el genio nos revela las fórmulas —¿de alquimia?— para resolver las ecuaciones de primero y segundo grado. Lo hace a través de una colección de problemas de aritmética —sobre herencias, transacciones comerciales, etc.— que resuelve mediante ecuaciones.

Página de 'Al-Kitab al-muthasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala'La obra nos ha llegado en dos versiones, una árabe una traducción latina, llamda Liber algebrae et almucabala. Sorprende que la versión latina sea más completa. También hay que hacer notar que en esta se omite el prólogo, que sí aparece en la versión árabe. El lector puede imaginar el porqué: es una prudente forma de evitar las preceptivas loas a Mahoma y al Comendador de los Creyentes, a la sazón Al-Mamún. La palabra "álgebra" tiene su origen en al-jabr, presente en el título, que, en árabe, era un término médico: "restaurar y curar huesos fracturados". Esta palabrá pasó a Europa en su traducción latina a través de España y hoy es similar en todos los idiomas europeos.

Todavía pdemos encontrar un vestigio de este antiguo significado en nuestra lengua. En el diccionario de la Real Academia aparece esta acepción: "Arte de restituir los huesos dislocados. Y "algebrista" —en versión árabe— es lo mismo que "traumatólogo" —en versión griega—.

En el capítulo XV del Quijote se alude a la victoria del ingenioso hidalgo sobre el Caballero de los Espejos (que era en realidad el bachiller Sansón Carrasco):

[...] ufano y vanaglorioso iba Don Quijote por haber alcanzado vitoria de tan valiente caballero [...]

Del vencido caballero y de su escudero sigue narrando Cervantes que

[...] llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado [...]

Las ecuaciones

Al-Jabr proporciona un estudio exhaustivo de las ecuaciones de segundo y primer grado. Las clasifica en sesis tipos, que resuelve, con algoritmos —nunca mejor dicho— precisos. Pero, como dice él mismo, es necesario acudir a la geometría para demostrar el método. ¿Estará inspirándolo Arquímedes?

He aquí su clasificación después de haber transformado las ecuaciones hasta tener solo sumas (ninguna resta):

 \(ax^2=bx\) \(ax^2=c\)  \(bx=c\) 
 \(ax^2+bx=c\) \(ax^2+c=bx\)  \(bx+c=ax^2\) 

Las dos soluciones de cada ecuación se hallan completando cuadrados. Pero solo considera las positivas.

Hay que decir que la lectura es difícil, porque todavía no existe una notación sincopada (abreviada, simbólica) para los cálculos. Estos se describen con palabras. Incluso para los números usa su nombre en vez de su signo.

El lector puede combrobar por sí mismo cómo narra la resolución de la ecuación de segundo grado \(x^2+10x=39\).Texto de una edición del 'Al-Jabr' de 1968, donde se lee cómo resolver la ecuación x^2+10x=39

Y he aquí la justificación geométrica que aporta él mismo: la incógnita \(x\), la xai, está representada por el lado del cuadrado en blanco (obsérvese la figura de más abajo). Con ello transforma \(x^2\) en un área. Para conseguir otra área igual a \(10x\), descompone \(10\) en \(4\times2,5\) y añade los cuatro rectángulos de lados \(x\) y \(2,5\). Ya tenemos representado el primer miembro. A continuación añade los cuatro cuadrados de las esquinas y obtiene el cuadrado grande. Es decir:aljuarismi06\[x^2+10x+4\times2,5^2=39+4\times2,5^2\Rightarrow(x+5)^2=64\Rightarrow x+5=8\]

Un último ejemplo

Otra ecuación que se resuelve en el libro es \(x^2+21=10x\). Hoy, sin miedo a los negativos, la escribiríamos así \(x^2-10x+21=0\).

Nuestros estudiantes aprenden que cuando el coeficiente de la \(x\) es par, es decir, cuando tenemos \(ax^2+2b'x+c=0\), conviene expresar la fórmula que proporciona las raíces así: \(\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}\), pues con ella los cálculos se simplifican notablemente. En nuestro ejemplo queda: \(x=5\pm\sqrt{5^2-21}\). Pues bien, esta fórmula era conocida por Al-Juarismi. Dejemos que él hable:

La regla exige que tú reduzcas a la mitad el número [el coeficiente] de la \(x\), lo cual da \(5\). Multiplica este número por sí mismo y tienes \(25\). Resta \(21\) del cuadrado, y quedará \(4\). Extrae la raíz, de donde obtendrás \(2\), y sustrae este \(2\) de la mitad del número de la \(x\), o sea, de \(5\). Así te queda \(3\). Esta es la raíz que buscas...

De forma análoga, continúa dando la pauta para obtener la segunda raíz, que resulta ser \(7\). Y advierte inmediatamente de que si la resta que aparece en el radicando fuese cero, habría una sola raíz; y si esa resta no pudiera efectuarse, no habría solución: ¡discusión completa del discriminante!

Como los griegos, Al-Juarismi incluye difíciles demostraciones geométricas para sus reglas. Ello suscita nuestra admiración, pero la geometría no deja de lastrar aquí el advenimiento definitivo del lenguaje algebraico, ese que, pasado el tiempo, cobrará vida propia, pensará por nosotros y tomará las riendas del discurso. Habría que pasar mucho tiempo, empero, hasta que en Occidente las semillas de la India, Persia y Grecia, traídas por el viento del desierto árabe, germinasen definitivamente en el Renacimiento.

... y la justificación geométrica

El lector meticuloso habrá echado de menos el razonamiento dado por Al-Juarismi para la resolución de \(x^2+21=10x\). Helo aquí:aljuarismi07

1. Se traza un cuadrado de lado \(x\) y área \(x^2\) (arriba, a la izquierda).

2. Con un lado común al cuadrado, se traza un rectángulo de área \(21\) (arriba, a la derecha). El área del rectángulo conjunto resultante ha de ser, según la ecuación, igual a \(10x\), luego su base es \(10\).

3. Trazamos la mediatriz del segmento base de este gran rectángulo y formamos el nuevo cuadrado, grande, de lado \(5\). Formamos también un cuadrado interior al anterior de lado \(5-x\). Los dos rectángulos marcados con la letra \(A\) tienen las mismas dimensiones y, en consecuencia, la misma área.

4. El área del cuadrado de lado \(5\) puede ahora expresarse de dos formas:

\[5^2=21+(5-x)^2\Rightarrow 4=(5-x)^2\Rightarrow 2=5-x\Rightarrow x=3\]

Para encontrar la otra raíz, no seremos nosotros quienes privemos al conspicuo lector del placer de idear por sí mismo una figura adecuada...

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Un par de problemas de teoría de números

Hace un tiempo encontré un par de problemas de matemáticas en la Web Gaussianos. En concreto se trata de dos problemas de teoría de números. Empecé a pensar en ellos e intenté resolverlos utilizando únicamente matemáticas básicas, sin recurrir a estrategias de las que se dan en la facultad. Es realmente fascinante enfrascarse con un problema de teoría de números y tratar de encontrar una estrategia que conduzca a la solución. A continuación transcribo los enunciados de ambos problemas, así como las soluciones que encontré para los mismos. No niego que pueda haber algún error o fisura en las demostraciones. Sí que es posible porque no somos infalibles, y un pequeño detalle puede echar por tierra una demostración que se creía válida. Si fuera así y desearas comunicármelo, puedes hacerlo a través de este enlace de contacto. En todo caso lo importante de un problema de matemáticas, por el reto intelectual que supone, es ese tiempo que pasamos con él dándole vueltas, intentando resolverlo. Resolver problemas es una terapia recomendable. ¿Para qué estamos aquí si no?

Problema 1

Dado un número primo \(p\) demostrar que \(2^p+3^p\) no puede ser un cuadrado perfecto.

Si \(p=2\), entonces \(2^p+3^p=2^2+3^2=4+9=13\), que no es un cuadrado perfecto. Por tanto, \(p\) será a partir de ahora un número primo distinto de \(2\).

Razonemos por reducción al absurdo y supongamos que \(\exists\ k\in\mathbb{N}\) tal que \(2^p+3^p=k^2\).

Desarrollemos la expresión \(2^p+3^p\) de la siguiente manera (haremos uso del binomio de Newton):

\[\begin{array}{rrl}2^p+3^p &=&2^p+(2+1)^p\ = \\&=&2^p+2^p+p\cdot2^{p-1}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-2}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-3}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p^2\cdot2^2+p\cdot2+1\ = \\&=&2\left(2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+p\right)+1\\ \end{array}\]

De aquí se deduce que \(2^p+3^p\) es impar. Esto implica que \(k\) debe ser también impar, pues en caso contrario \(k^2=2^p+3^p\) sería par (el cuadrado de un número par es par). Por tanto \(k=2r+1\) para algún \(r\in\mathbb{N}\). De este modo tenemos:

\[\begin{array}{rrl}2\left(2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+p\right)+1&=&(2r+1)^2\ \Rightarrow\\ \Rightarrow\ 2\left(2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+p\right)+1&=&4r^2+4r+1\ \Rightarrow\\ \Rightarrow\ 2\left(2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+p\right)&=&4r^2+4r\ \Rightarrow\\ \Rightarrow\ 2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+p&=&2r^2+2r\quad (\ast)\\ \end{array}\]

Como \(p\) es primo y \(p\neq2\), \(p\) debe ser impar. Es decir \(\exists\ t\in\mathbb{N}\) tal que \(p=2t+1\). Entonces la expresión \((\ast)\) queda del siguiente modo:

\[2^p+p\cdot2^{p-2}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-3}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-4}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p\cdot2+2t+1=2r^2+2r\ \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\ 2\left(2^{p-1}+p\cdot2^{p-3}+\displaystyle{p\choose2}2^{p-4}+\displaystyle{p\choose3}2^{p-5}+\ldots+\displaystyle{p\choose p-2}p+t\right)+1=2\left(r^2+r\right)\]

Como se aprecia claramente, el primer miembro es impar y el segundo par. Y esto es una contradicción.

Por tanto no existe \(k\in\mathbb{N}\) tal que \(2^p+3^p=k^2\), es decir, \(2^p+3^p\) no puede ser un cuadrado perfecto.

Problema 2

Dado un número natural \(n\) demostrar que \(14^n+11\) nunca es un número primo.

No es muy difícil darse cuenta de que si \(n\) es impar, entonces \(14^n\) acaba en \(4\). Esto significa que \(14^n+11\) acabará en \(5\) y, por tanto, no puede ser un número primo.

Por otro lado, si \(n\) es par, \(14^n\) acabará en \(6\) y \(14^n+11\) acabará en \(7\). Vamos a intentar demostrar, en este caso, que \(14^n+11\) es un múltiplo de \(3\). Para ello bastará demostrar que \(14^n+2\) es múltiplo de \(3\). Es decir, estamos afirmando que si \(14^n+2\) es múltiplo de \(3\), también lo será \(14^n+11\) (esto es muy sencillo de ver porque la suma de dos múltiplos de \(3\) también es un múltiplo de \(3\), y si a \(14^n+2\), que es múltiplo de \(3\), le sumamos \(9\), que también lo es, se obtiene \(14^n+11\)).

Razonemos por reducción al absurdo y supongamos que \(14^n+2\) no es un múltiplo de \(3\). Entonces, al dividir \(14^n+2\) entre \(3\) solamente pueden ocurrir dos cosas: que el resto de la división sea \(1\), o bien que el resto de la división sea \(2\).

  • Si el resto es \(1\), entonces \(14^n+2=3c+1\), donde \(c\) es el cociente que resulta de dividir \(14^n+2\) entre \(3\). Es decir, \(14^n+1=3c\). Pero esto no es cierto si \(n\) es cualquier número par. Por ejemplo, ya para \(n=2\), \(14^n+1=14^2+1=197\), que no es un múltiplo de \(3\). También ocurre para \(n=4\): \(14^n+1=14^4+1=38417\), que tampoco es múltiplo de \(3\).
  • Si el resto es \(2\), entonces \(14^n+2=3c+2\), donde, otra vez, \(c\) es el cociente que resulta de dividir \(14^n+2\) entre \(3\). Es decir, \(14^n=3c\). Y esto tampoco es cierto si \(n\) es cualquier número par. Para \(n=2\), \(14^n=14^2=196\), que no es múltiplo de \(3\). También ocurre para \(n=4\), \(14^n=14^4=38416\), que tampoco es múltiplo de \(3\).

En cualquiera de los dos casos llegamos a una contradicción. Esto quiere decir que, si \(n\) es par, \(14^n+2\) es un múltiplo de \(3\), con lo que también lo será \(14^n+11\).

Hemos demostrado pues que en ningún caso \(14^n+11\) puede ser un número primo.

Si quieres puedes descargarte los dos enunciados y las soluciones en formtato PDF aquí.

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Suma de los cubos de los n primeros números naturales. Una demostración algebraica y otra gráfica

En este artículo se deducía que la suma \(S_1=1+2+3+\ldots+n\) de los \(n\) primeros números naturales viene dada por la fórmula

\[S_1=\frac{n(n+1)}{2}\]

También deducíamos que la suma \(S_2=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\) de los cuadrados de los \(n\) primeros números naturales es

\[S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

Un procedimiento similar permite deducir la suma \(S_3=1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3\) de los cubos de los \(n\) primeros números naturales. Veámoslo. Para ello utilizaremos las dos fórmulas anteriores y el desarrollo de un binomio de exponente 4, que es 

\[(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\]

Observemos pues los siguientes desarrollos:

\[1^4=(1+0)^4=1^4\]

\[2^4=(1+1)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot1+6\cdot1^2\cdot1^2+4\cdot1\cdot1^3+1^4\]

\[3^4=(1+2)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot2+6\cdot1^2\cdot2^2+4\cdot1\cdot2^3+2^4\]

\[4^4=(1+3)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot3+6\cdot1^2\cdot3^2+4\cdot1\cdot3^3+3^4\]

\[\ldots\ldots\]

\[(n+1)^4=(1+n)^4=1^4+4\cdot1^3\cdot n+6\cdot1^2\cdot n^2+4\cdot1\cdot n^3+n^4\]

Sumando el primer miembro y el último de cada una de las igualdades tenemos:

\[1^4+2^4+3^4+4^4+\ldots+(n+1)^4=(n+1)+4\cdot(1+2+3+\ldots+n)+\]

\[+6\cdot(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)+4\cdot(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3)+\]

\[+(1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4)\]

Pasando el último sumando al primer miembro tenemos:

\[(n+1)^4=(n+1)+4\cdot S_1+6\cdot S_2+4\cdot S_3\]

Y de aquí, sustituyendo y despejando obtenemos una fórmula para la suma \(S_3\) de los cubos de los \(n\) primeros números naturales.

\[(n+1)^4=(n+1)+4\cdot \frac{n(n+1)}{2}+6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+4\cdot S_3\Rightarrow\]

\[\Rightarrow(n+1)^4=(n+1)+2n(n+1)+n(n+1)(2n+1)+4S_3\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4S_3=(n+1)\left[(n+1)^3-1-2n-n(2n+1)\right]=(n+1)(n^3+3n^2+3n+1-1-2n-2n^2-n)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow4S_3=(n+1)(n^3+n^2)=(n+1)n^2(n+1)=n^2(n+1)^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow S_3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]

Esta es una demostración matemática para obtener una fórmula que permita sumar los cubos de los \(n\) primeros números naturales. Por ejemplo la suma de los cubos de los 12 primeros números naturales es:

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+12^3=\frac{12^2\cdot13^2}{4}=\frac{144\cdot169}{4}=6084\]

Si enredamos un "pelín" más observamos que:

\[S_3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=S_1^2\]

Es decir:

\[1^3+2^3+3^3+4^3\ldots+n^3=\left(1+2+3+4+\ldots+n\right)^2\]

Utilizando el símbolo "sumatorio" (la letra griega sigma mayúscula) queda una fórmula muy elegante:

\[\displaystyle\sum_{x=1}^n x^3=\left(\displaystyle\sum_{x=1}^n x\right)^2\]

Y la fórmula anterior tiene una maravillosa interpretación mediante una imagen que hace poco pude ver en twitter, y que vale más que todas las demostraciones matemáticas que podamos hacer de la fórmula. ¿Puedes verla? Seguro que sí.

suma cubos 1

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Trabajando y conjeturando con representaciones de cuadrados

En un artículo anterior ya habíamos hablado sobre sumas de cuadrados. Pero... ¿qué números sean o no cuadrados, pueden descomponerse en dos cuadrados?

Este artículo está extraído (con alguna que otra modificación) del libro Uno + uno son diez, de José María Letona. Editorial La Muralla, S.A., 2010


El autor del primer libro impreso sobre matemáticas recreativas, Bachet de Méziricac, notó que cualquier entero positivo es, o un cuadrado, o la suma de dos, tres o cuatro cuadrados. No existe una demostración de esta afirmación pero encontró, en algunos problemas de Diofanto, indicaciones que apuntaban a esta proposición y llegó a probarla hasta el \(325\).

Veamos lo fácil que resulta para los diez primeros números enteros positvos:

suma-01

En estos casos lo máximo requerido ha sido de tres cuadrados, pero claramente existen números que requieren de cuatro cuadrados.

Conjeturamos pues que la ecuación

suma-02

tiene una solución para la cual \(x\), \(y\), \(z\) y \(w\) son enteros no negativos.

Ahora nos preguntamos por el número de representaciones distintas como suma de cuatro cuadrados de un número entero positivo. En el siguiente sentido: la única forma de sumar el \(20\) con cuatro cuadrados es con dos nueves y dos unos, que se pueden ordenar de la siguiente manera (6 ordenaciones con dos nueves y dos unos):

sumas07

Esto quiere decir que el \(20\) admite \(6\) representaciones distintas como suma de cuatro cuadrados.

Para poder familiarizarnos con el problema así enunciado pongamos un ejemplo muy particular. En este ejemplo trabajaremos con un número impar \(u\), llamaremos \(n=4u\), e intentaremos descomponerlo en suma de cuadrados impares.

Tomemos pues para nuestro ejemplo \(u=25\), con lo que \(n=4u=100\). ¿Qué cuadrados impares se pueden obtener para nuestro propósito? Los siguientes:

suma-03

Si \(81\) es uno de los cuatro cuadrados cuya suma es \(100\), la suma de los otros tres será \(100-81=19\). Además:

sumas-04

De esta forma el \(100\) lo podremos poner como suma de cuatro cuadrados:

sumas-05

Expresión que admite \(12\) ordenaciones distintas:

sumas08

Pero el \(100\) admite más ordenaciones. Habíamos trabajado con el \(81\). Trabajando con \(49\) y \(25\) se obtiene:

sumas09

La primera de las expresiones anteriores admite \(6\) ordenaciones (como en el caso anterior del número \(20\)), la segunda admite \(12\), y le tercera es ella misma la única ordenación. Así pues podemos decir que el número \(100\) admite \(12+6+12+1=31\) representaciones diferentes. Obsérvese que la suma de las ordenaciones es el total de representaciones diferentes en suma de cuatro cuadrados impares.

Con este ejemplo hemos podido ver claramente el significado del problema. Podemos ahora revisar casos más sencillos con \(u=1,\ 3,\ 5,\ldots,\ 25\).

Si estamos en una clase con alumnos podemos dejar que ellos, en pequeños grupos de dos o tres, construyan por sí mismos la siguiente tabla:

sumas10

¿Podremos encontrar una regla? ¿Hay alguna ley que una el número impar \(u\) y el número de diferentes representaciones de \(4u\) como suma de cuatro cuadrados impares?

Observemos la primera columna, de los valores de \(u\), y la última, del número de representaciones:

sumas11

Desesperante, nada parece gobernar esta serie, ¿o sí? Veamos: hay números muy fáciles de relacionar.

A cada número de la primera fila que sea primo, su correspondiente de la segunda es una unidad más. Repetimos la tabla con indicación en negrita de los números primos y su correspondiente número de representaciones, que nos permite comprobar lo que decimos:

sumas12

¿No parece sorprendente que los primos tengan ese papel en nuestro problema, en cuyo enunciado no aparecía el concepto de número primo?

El resto de los números de la primera fila \((1,\ 9,\ 15,\ 21,\ 25)\) son todos compuestos, salvo el \(1\). ¿Cuál es la naturaleza de éstos y sus representaciones? Dejemos aparte el \(1\). Para los demás se cumple que el correspondiente de la segunda fila es siempre mayor que \(u+1\):

sumas13

Nótese que los cuadrados de la primera fila (el \(9\) y el \(25\)) corresponden con primos en la segunda (\(13\) y \(31\)).

De los otros dos tenemos

 sumas14

Una vez más, nuestra investigación nos sorprende: los factores de los números de la segunda fila exceden en una unidad a los factores de los correspondientes de la primera.

En resumen, si el número de la primera fila es \(p\) primo, el de la segunda es \(p+1\).

En el caso de que el número de la primera fila sea de la forma \(p\cdot q\), donde \(q\) es también primo, el correspondiente de la segunda fila es \((p+1)\cdot(q+1)=pq+p+q+1\).

En el caso de los cuadrados \(p^2\) (recuerda, el \(9\) y el \(25\)) el correspondiente de la segunda fila es \(p^2+p+1\) \((3^2+3+1=13,\ 5^2+5+1=31)\).

¡¡Atención!! Los números de la segunda fila nos exhiben la suma de los divisores del número de la primera.

Del resto es claro que también se cumple, ya que los primos tienen dos divisores: el mismo y la unidad.

Podemos hacer pues la siguiente

Conjetura

Si \(u\) es un número impar, el número de representaciones de \(4u\) como suma de cuatro cuadrados impares es igual a la suma de los divisores de \(u\).

Se puede seguir trabajando y conjeturando, esto es sólo el principio... ¿Alguien da más?

 

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Abel, un héroe trágico

Extraído del libro La vida secreta de los números, de George G. Szpiro

Niels Henrik Abel nació en Noruega, el 5 de agosto de 1802. Murió el 6 de abril de 1829, de tuberculosis, cuando aún no tenía 27 años. Abel ha sido uno de los matemáticos más eminentes de la historia.

Su trabajo es tan importante que en el año 2001, Thorvald Stoltenberg, primer ministro de Noruega en aquel momento, anunció la creación del Fondo de Dotación Abel, que a partir de entonces otorgaría un premio anual de 800.000 euros en su honor. Este premio, que toma como modelo el Premio Nobel, pretendía convertirse en el más importante del campo de las matemáticas.

Abel creció en Gjerstad, un pueblo del sur de Noruega, como el segundo hermano de una familia de siete hijos. Su padre era un pastor luterano y miembro del Parlamento Noruego. Hasta los 13 años, Niels fue educado en casa por su padre. Sólo cuando fue un adolescente, empezó a asistir a las clases de una escuela religiosa en Christiana, a 120 millas de su pueblo, donde su talento empezó a hacerse evidente. Un profesor de matemáticas reconoció la rara habilidad del joven y le animó lo mejor que pudo.

Cuando Abel tenía 18 años, su padre murió y se encontró de repente en la tesitura de tener que mantener a su familia, lo que consiguió dando clases particulares de matemáticas básicas y con trabajos variopintos. Gracias a la ayuda económica de sus profesores, Abel pudo acceder en 1821 a la Universidad de Christiana, que más tarde se convertiría en la Universidad de Oslo. No pasaría mucho tiempo antes de que superara a sus profesores. Su primer gran éxito, sin embargo, demostró ser un error. Abel creía haber encontrado un método para resolver ecuaciones de quinto grado y mandó su artículo para que se lo publicara una revista científica. El editor no podía comprender la solución y le pidió un ejemplo numérico.

Abel se puso manos a la obra, pero pronto se dio cuenta de que había un error en la demostración. Sin embargo, este error resultó beneficioso. Mientras intentaba corregirlo, se dio cuenta de que es simplemente imposible resolver una ecuación de quinto grado o superior mediante una fórmula. Para llegar a esta conclusión y demostrarla, Abel introdujo un concepto llamado teoría de grupos, que acabaría convirtiéndose en una rama muy importante de las matemáticas modernas.

Abel se apresuró a publicar este artículo, corriendo él mismo con los gastos. Después, emprendió un viaje por Alemania con el apoyo económico del gobierno noruego para contactar con el famoso matemático Carl Friedrich Gauss en Gotinga (Göttingen, en alemán). Gauss, sin embargo, nunca leyó el artículo que Abel le había mandado antes de su visita. Es más, le hizo saber sin ningún tipo de ambages que no tenía interés en encontrarse con él. Desilusionado, Abel siguió viajando hasta Francia, un viaje extra que tendría un efecto secundario fortuito. En el viaje hacia París, conoció al ingeniero August Leopold Crelle en Berlín, que se convertiría en un buen amigo y un gran apoyo. El Journal für die reine und Angewandte Mathematik (Revista de Matemáticas Puras y Aplicadas), que fundó Crelle y que sigue publicándose hoy en día, sacó a la luz muchos de los originales artículos de Abel.

Sus colegas franceses no se mostraron más hospitalarios con él que el profesor alemán. Los trabajos sobre funciones elípticas, obra de Abel y que había mandado como tarjeta de presentación a Augustin Cauchy, el matemático francés más importante del momento, pasaron desapercibidos. Su artículo cayó en el olvido, y al final se perdió completamente. A pesar de este contratiempo, Abel perseveró, se quedó en París e hizo todo lo posible para que su trabajo fuera reconocido. Era extremadamente pobre y sólo podía permitirse una comida al día.

Pero al final, ninguno de sus sacrificios mereció la pena. Crelle hizo todo lo que pudo para convencer a su amigo de que se quedara en Alemania, pero Abel, enfermo y sin dinero, volvió a su país natal. Tras su marcha, Crelle intentó encontrarle un puesto académico y por fin sus esfuerzos dieron fruto. En una carta fechada el 8 de abril de 1829 le comunicaba con gran regocijo que la Universidad de Berlín le había ofrecido un puesto como profesor. Por desgracia, era demasiado tarde: Niels Henrik Abel había muerto de tuberculosis dos días antes.

De los muchos conceptos conectados con Abel, mencionaremos brevemente el de "grupo abeliano". El álgebra moderna define una serie de elementos como grupo si dichos elementos se pueden conectar entre ellos mediante alguna operación. Han de cumplirse cuatro condiciones: primero, el resultado de la operación debe ser también un elemento del grupo (esto se conoce desde formalmente diciendo que la operación debe ser una "ley de composición interna"); segundo, la operación debe ser "asociativa", lo que quiere decir que no importa el orden en el que se realicen dos operaciones sucesivas; tercero, ha de existir un elemento llamado "neutro" que deja el resultado de la operación sin cambios; y cuarto, cada elemento ha de tener un "simétrico", de tal manera que siempre que se efectúe la operación entre un elemento y su simétrico el resultado que se obtiene sea el elemento neutro.

Por ejemplo, el conjunto de los números enteros constituye un grupo con la operación suma. Se cumplen para este conjunto las cuatro condiciones mencionadas anteriormente: la suma de números enteros siempre es otro número entero; la suma es asociativa pues \((a+b)+c=a+(b+c)\); el cero es el elemento neutro, ya que un número más cero da como resultado el número original: \(a+0=a\); y el simétrico de un elemento \(a\) es \(–a\) pues \(a+(−a)=a−a=0\). En este caso al simétrico se le llama opuesto.

Los números racionales (es decir, los números enteros y las fracciones) no forman un grupo con la operación producto o multiplicación, a pesar de que el producto de los números racionales es también un número racional, de que se cumple la propiedad asociativa y de que hay un elemento neutro, el \(1\), ya que el resultado de multiplicar cualquier número racional por \(1\) es el número original. Sin embargo hay un número que no tiene inverso: el cero. Todos los demás números sí que tienen inverso: por ejemplo, el inverso de \(3/5\) es \(5/3\) pues al multiplicarlos se obtiene \(15/15\) que es igual a \(1\). Pero eso no ocurre con el cero pues al multiplicar cero por todo número el resultado siempre es cero.

Los grupos se pueden subdividir en "abelianos" y "no abelianos". Un grupo es abeliano si los elementos pueden intercambiarse cuando los conectamos entre sí (por ejemplo \(4+7=7+4\)). Un ejemplo de elementos que forman un grupo no abeliano son las rotaciones del dado. Si giramos un dado alrededor de dos ejes diferentes en secuencia, es relevante en qué orden se hagan estas rotaciones. Prueba y lo verás por ti mismo. Coge dos dados y ponlos sobre la mesa en la misma posición. Gira el primer dado alrededor del eje vertical y después alrededor del eje horizontal. Después gira el segundo dado en las mismas direcciones, pero primero alrededor del eje horizontal y después alrededor del vertical. Verás que las caras del dado apuntan a direcciones diferentes. Por tanto el grupo de rotaciones de un dado es "no abeliano". Es por esto, entre otras cosas, que resolver el cubo de Rubik es tan condenadamente complicado.

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¿Qué son las matemáticas?

Una definición ingenua, válida para hacerse una primera idea, es que las matemáticas son la ciencia de la cantidad y el espacio. Se podría ampliar un poco esta definición y añadir que las matemáticas se ocupan igualmente de los simbolismos concernientes a la cantidad y al espacio.

Hay un gran libro titulado "Experiencia matemática", cuyos autores son Philip J. Davis y Reuben Hersch. Su primera parte, El Paisaje Matemático, comienza precisamente con el título de este artículo y se introduce con el párrafo anterior. Este libro vio la luz en 1982 y se publicó aquí en España en 1989 (coeditado por el Centro de Publicaciones del MEC y la Editorial Labor). Para mi fue, es y será (nunca se acaba de leer del todo) uno de los pilares que hace que siga con mucha ilusión en esto de las matemáticas. El libro pretende modificar y ampliar la anterior definición de las matemáticas de forma que refleje el desarrollo de las matemáticas a lo largo de los últimos siglos e indique qué visión tuvieron diversas escuelas sobre lo que esta ciencia debería ser.

Uno de los objetivos de este sitio Web, además de aportar material para estudiantes y profesores y servir de divulgación científico-matemática, también es ése: mostrar algo más sobre las matemáticas. Así es que no dudaré en echar mano de este maravilloso texto todas las veces que sea necesario transcribiendo y parafraseando distintos lugares del mismo.

Este inicio del libro continúa así:

Las ciencias de la cantidad y el espacio, en sus versiones más sencillas, se conocen como aritmética y geometría. La aritmética que se enseña en la escuela elemental o primaria se ocupa de números de diversas clases y de las reglas para operar con números, como la adición, la sustracción, etc. Al mismo tiempo, aborda situaciones de la vida cotidiana en que se utilizan estas operaciones.

La geometría se enseña en cursos posteriores. Se ocupa, en parte, de problemas de medición espacial. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene un rectángulo de 4 cm de base y 8 cm de altura? Si trazo (imaginariamente) dos rectas en el espacio que no se corten, ¿cuál será la distancia entre ambas? La geometría estudia también aspectos del espacio que están provistos de fuerte atractivo estético o de elementos sorprendentes. Nos dice, por ejemplo, que en un paralelogramo cualquiera las diagonales se cortan en sus puntos medios; o que en todos los triángulos, las tres medianas se intersectan en un punto. Nos enseña que podemos embaldosar un suelo con triángulos equiláteros o con hexágonos, pero no con pentágonos regulares.

Pero la geometría, cuando se enseña según la estructuró Euclides hacia el año 300 a.C., tiene otra faceta cuya importancia es vital. Consiste en su presentación como ciencia deductiva. Partiendo de cierto número de ideas elementales, admitidas como evidentes por sí, y fundándose en unas pocas reglas de manipulación matemática y lógica, la geometría euclídea va tejiendo un entramado de deducciones de complejidad creciente.

En la enseñanza de la geometría elemental no se destacan solamente los aspectos visuales o espaciales de esta materia sino también su metodología, en la cual es la hipótesis la que lleva hasta la conclusión. Tal proceso deductivo se denomina prueba, o demostración. La geometría euclídea fue el primer ejemplo de sistema deductivo formalizado, y ha adquirido carácter de paradigma para la totalidad de tales sistemas. La geometría ha sido el gran campo de prácticas del razonamiento lógico, y se ha sostenido (con razón o sin ella) que el estudio de la geometría proporciona al estudiante una formación básica en tal razonamiento.

Aunque los matemáticos de la Antigüedad comprendían claramente los aspectos deductivos de la aritmética, hasta el siglo XIX no se hizo hincapié en ellos ni en la enseñanza de las matemáticas ni en su creación. De hecho, en fechas tan cercanas como el decenio de 1950 no faltaban profesores de secundaria que, aturdidos por el impacto de la "matemática moderna", afirmasen que la geometría tenía "demostración", mientras que la aritmética y el álgebra no.

El creciente énfasis con que fueron acentuados los aspectos deductivos de todas las ramas de las matemáticas hicieron que, a mediados del siglo XIX, C. S. Peirce anunciase que "la matemática es la ciencia de la formación de conclusiones necesarias". ¿Conclusiones acerca de qué? ¿Sobre la cantidad? ¿Referentes al espacio? En esta definición de Peirce no se especifica cuáles han de ser los contenidos de la matemática; la matemática podría "tratar" de cualquier cosa, en tanto su estudio se atenga al esquema hipótesis-deducción-conclusión. En El signo de los cuatro, Sherlock Holmes le hace notar a Watson que la labor detectivesca "es, o tendría que ser, una ciencia exacta, que debiera ser tratada con ese mismo talante, desapasionado y frío. Se ha esforzado usted en teñirla de romanticismo, lo cual produce efectos muy similares al de incluir en el quinto postulado de Euclides una historia amorosa o la fuga de dos amantes". Conan Doyle está afirmando aquí, en tono irónico, que la detección criminal podría perfectamente ser considerada como una rama de la matemática. Peirce hubiera estado de acuerdo.

La definición de las matemáticas es cambiante. Cada generación y cada matemático reflexivo de cada generación formula una definición, según sus luces. Habrán sido examinadas cierto número de distintas formulaciones antes de poner a este volumen la palabra Finis.

Espero que este sitio Web sea capaz también de arrojar luz sobre algunas formulaciones de las matemáticas o, al menos, de conseguir que se piense en ellas como algo más cercano, agradable y tangible, a diferencia de lo que, desgraciadamente, muchos creen o están acostumbrados.

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Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales

¿Y si nos preguntaran por la suma de los cuadrados de los \(100\) primeros números naturales? Ya, ya sé que podemos ponernos a la faena y, con paciencia, realizarla:

\[1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+97^2+98^2+99^2+100^2=\]

\[=1+4+9+16+\ldots+9409+9604+9801+10000=\ ?\]

Pero esto es muy pesado. ¿Se podrá deducir una fórmula general? Seguro que sí.

Gauss, con no más de siete años, sumó los \(100\) primeros números enteros. Hizo así:

\[1+100=101\]

\[2+99=101\]

\[3+98=101\]

\[\cdots\]

\[48+53=101\]

\[49+52=101\]

\[50+51=101\]

Como hay \(50\) parejas

\[1+2+3+4+\ldots+97+98+99+100=101\cdot50=5050\]

Para sumar los \(n\) primeros números naturales se procede de manera similar. Llamemos \(S\) a la suma. Entonces podemos escribir \(S\) de dos formas:

\[S=1+2+3+4+\ldots+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n\]

\[S=n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+\ldots+4+3+2+1\]

Sumando término a término ambas igualdades:

\[2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)+(n+1)+(n+1)\]

Y como hay \(n\) sumandos

\[2S=n(n+1)\Rightarrow S=\frac{n(n+1)}{2}\]

Para sumar los \(100\) primeros números naturales basta sustituir en la fórmula anterior \(n\) por \(100\):

\[S=\frac{100\cdot101}{2}=\frac{10100}{2}=5050\]

Pero también podemos sumar, por ejemplo, los \(12964\) primeros números naturales:

\[S=\frac{12964\cdot12965}{2}=\frac{168078260}{2}=84039130\]

Ufanos por el logro anterior, ahora nos planteamos la suma de los cuadrados de los \(n\) primeros números naturales, tal y como nos proponíamos al principio:

\[S=1^2+2^2+3^2+\ldots+(n-2)^2+(n-1)^2+n^2\]

Antes de nada decir que en el proceso vamos a utilizar el desarrollo del cubo de un binomio:

\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]

Pues bien, ahora procedamos del siguiente modo:

\[1^3=(1+0)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot0+3\cdot1\cdot0^2+0^3=1+0^3+3\cdot0+3\cdot0^2\]

\[2^3=(1+1)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot1+3\cdot1\cdot1^2+1^3=1+1^3+3\cdot1+3\cdot1^2\]

\[3^3=(1+2)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot2+3\cdot1\cdot2^2+2^3=1+2^3+3\cdot2+3\cdot2^2\]

\[\cdots\]

\[(n+1)^3=(1+n)^3=1^3+3\cdot1^2\cdot n+3\cdot1\cdot n^2+n^3=1+n^3+3\cdot n+3\cdot n^2\]

Sumando cada columna tanto del primer miembro como del último de cada una de las igualdades anteriores se tiene:

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3+(n+1)^3=\]

\[=(n+1)+(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3)+\]

\[+3(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)+3(1+2+3+\ldots+n)\]

Simplificando términos:

\[(n+1)^3=(n+1)+3S+\frac{3n(n+1)}{2}\]

Despejando \(S\):

\[2(n+1)^3=2(n+1)+6S+3n(n+1)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 6S=2(n+1)^3-2(n+1)-3n(n+1)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow6S=(n+1)(2(n+1)^2-2-3n)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow6S=(n+1)(2n^2+4n+2-2-3n)=(n+1)(2n^2+n)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow6S=n(n+1)(2n+1)\Rightarrow S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

De este modo, las suma de los cuadrados de los 100 primeros números naturales es:

\[S=\frac{100\cdot101\cdot201}{6}=\frac{2030100}{6}=338350\]

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La construcción de los números enteros

En la materia de matemáticas de Educación Secundaria Obligatoria los números naturales, naturalmente, no se definen sino que se asume su existencia o, al menos, su conocimiento. Se dice de los números negativos que son los números naturales con el "signo menos delante". Ya tenemos parejas: un número natural y su correspondiente con "signo menos", un número natural y su negativo, un número natural y su opuesto. Los números enteros se definen entonces como: los naturales o positivos, los negativos y, además, se añade el número cero atribuyéndole un par de propiedades. Una: "el cero no tiene signo" o "más cero es igual que menos cero". Y otra: si a un número le sumamos o le restamos cero no pasa nada, el número se queda como está.

Ahora los alumnos suelen ver con claridad que la suma de un número con su opuesto o correspondiente negativo es cero. De aquí también deducen fácilmente una de las reglas de los signos: "más por menos igual menos".

Pero de todos modos, en esta Educación Secundaria Obligatoria, la resta de números enteros es una cuestión en la que los alumnos cometen muchos errores. Puede que sea porque no hay una "buena" definición de suma y de resta de números enteros a estos niveles. Se acaba aprendiendo de manera mecánica, utilizando esa intuición en la que sumar un natural es ir hacia la derecha en la recta real y restar un natural es ir hacia la izquierda en la misma recta real. Así, imaginamos que "seis menos siete es igual a menos uno" porque si, comenzando en seis, recorremos "siete pasos" hacia la izquierda acabamos en el número entero "menos uno".

Asumiendo las reglas de los signos como paso previo, la manera de sumar y restar enteros descrita anteriormente es mucho más razonable que definir la suma y la resta como aparece en alguno libros de texto de matemáticas de secundaria:

La suma de dos números enteros del mismo signo se calcula sumando sus valores absolutos con el mismo signo. La suma de dos números enteros de signos opuestos se calcula restando sus valores absolutos con el signo del sumando de mayor valor absoluto.

Pero es que, además, esta ley es demasiado enrevesada hasta para intentar demostrar otras propiedades de los enteros en un curso de álgebra superior.

Precisamente, en un primer curso de álgebra superior se construye el conjunto de los números enteros más o menos así:

Construcción de los enteros

Si vemos el número entero \(a-b\) como un par \((a,\ b)\), es fácil darse cuenta de que dos pares \((a,\ b)\) y \((c,\ d)\) dan lugar al mismo número entero si \(a-b=c-d\), o lo que es lo mismo, si \(a+d=b+c\), relación esta última que no involucra a enteros, sino sólo a naturales. El conjunto de todos los pares \((x,\ y)\) relacionados con \((a,\ b)\), es decir, aquellos que cumplen \(a+y=b+x\), se llama clase de equivalencia del par \((a,\ b)\) y se designa \([a,\ b]\), que es la misma que \([a-b,\ 0]\) (si \(a\) es mayor que \(b\)) o que \([0,\ b-a]\) (si \(b\) es mayor que \(a\)).

Por ejemplo:

  • \([5,\ 0]=[6,\ 1]=[7,\ 2]=\ldots\) Tomando como representante de esta clase al \([5,\ 0]\) y notando a éste como \(5\), tenemos definido ya el número entero "cinco".
  • \([0,\ 3]=[1,\ 4]=[2,\ 5]=\ldots\) Tomando como representante de esta clase al \([0,\ 3]\) y notanto a esta éste como \(-3\), tenemos definido ya el número entero "menos tres".

¡Y así con todos!

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