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Elementos filtrados por fecha: Jueves, 28 Febrero 2013

La conjetura de Goldbach

En la historia de la ciencia, y en particular de las matemáticas, siempre se están planteando problemas. Muchos de ellos se plantean simplemente por el mero hecho de plantearlos, algunos aparecen cuando se está intentando solucionar o se ha solucionado un problema anterior, y otros muchos nacen de ciertas situaciones u observaciones que conducen a un modelo de problema, cuya solución es en muchos casos un pasito adelante más en la historia de la ciencia y de la humanidad.

En muchos casos estos problemas que se nos proponen los resuelve alguien con facilidad. En otros casos hallar la solución fue tremendamente complicado o difícil. Tanto que se tardó hasta siglos en llegar a ella. Y hay problemas de los que aún no se sabe nada. No ha llegado aún la manera de saber si son verdaderos o falsos. Para resolver un problema de este tipo hay que buscar una demostración consistente, caso de que sea verdadero; o dar con un contraejemplo caso de que sea falso. Hay todavía algunos problemas de este tipo. Uno de ellos es la conjetura de Goldbach:

Todo número par positivo, mayor que dos, se puede escribir como la suma de dos números primos.

Veamos algunos ejemplos: 

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 7 + 7 = 3 + 11

16 = 5 + 11

18 = 7 + 11

20 = 3 + 17 = 7 + 13

22 = 11 + 11

24 = 11 + 13 = 7 + 17

...

864 = 431 + 433

866 = 3 + 863

868 = 5 + 863

870 = 7 + 863

Podríamos continuar así hasta, según se sabe actualmente, todos los números pares menores que un trillón (1018). Un buen ejercicio sería completar las sumas con los números pares menores que 100. Para ello os dejo aquí los números primos menores que 100 obtenidos mediante la criba de Eratóstenes.

Da la sensación de que la conjetura es cierta, pero todavía es una conjetura. No hay una demostración de su veracidad. Aunque los entendidos en matemáticas opinan que es sólo una cuestión de tiempo el hecho de que alguien aparezca con una demostración.

La conjetura de Goldbach también recibe el nombre de conjetura fuerte de Goldbach. Esto es porque hay otra conjetura, la conjetura débil de Goldbach, según la cual todo número impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres números primos. Recibe el nombre de "débil" porque la conjetura fuerte de Goldbach, caso de demostrarse, demostraría automáticamente la conjetura débil de Goldbach. En efecto, si cada número par mayor que 4 es la suma de dos primos impares, se puede añadir tres a los números pares mayores que 4 para producir los números impares mayores que 7.

En este año 2013, Harald Helfgott, matemático peruano afincado en Francia, publicó dos trabajos que demuestran la conjetura débil de Goldbach. Este es el trabajo completo de Helfgott (en inglés).

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Probabilidad

En estos apuntes se desarrollan los siguientes contenidos del bloque de estadística y probabilidad, correspondientes a la materia de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II, de segundo de Bachillerato. Al final se propone una relación con 40 ejercicios, de los que se incluye su solución final. En esta relación de ejercicios están completamente resueltos 28 de ellos.

Matemáticas Ciencias Sociales II - Probabilidad

  1. Experimentos aleatorios. Sucesos. Operaciones con sucesos.
  2. Probabilidad. Definición axiomática.
  3. Experimentos compuestos. Diagramas de árbol.
  4. Probabilidad condicionada.
  5. Independencia de sucesos.
  6. Probabilidad total.
  7. Teorema de Bayes.
  8. Ejercicios.
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El teorema de Rouché-Frobenius

En estos apuntes (los puedes descargar en un enlace al final de esta entrada) se desarrolla parte del bloque temático de álgebra, en la materia Matemáticas II de 2º de Bachillerato, en su modalidad de Ciencias y Tecnología: sistemas de ecuaciones lineales y el teorema de Rouché-Frobenius (este teorema lo enunció el matemático francés Eugène Rouché y lo demostró el matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius).  Los contenidos son los siguientes.

Matemáticas II - El teorema de Rouché-Frobenius

  1. Sistemas de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas.
  2. Clasificación de los sistemas lineales.
  3. Matriz de los coeficientes y matriz ampliada.
  4. Regla de Cramer.
  5. Teorema de Rouché-Frobenius.
  6. Sistemas lineales homogéneos.
  7. Discusión de sistemas de ecuaciones lineales.
  8. Eliminación de parámetros.
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