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Uso de la regla de Ruffini para dividir entre un binomio del tipo kx-a

La regla de Ruffini La regla de Ruffini

Ya sabemos que la regla de Ruffini es un método muy práctico para dividir un polinomio \(p(x)\) entre un binomio del tipo \(x-a\). No se trata en este artículo de explicar cómo se utiliza la regla de Ruffini. Eso lo puedes consultar aquí. De todas formas vamos a hacer un ejemplo de su uso.

Supongamos que queremos dividir el polinomio \(3x^4-4x^2+8\) entre el binomio \(x+2\). Esta división da lugar a un cociente, que será un polinomio de grado \(3\), y un resto, que será un número \(r\). La regla de Ruffini permite obtener este cociente y este resto con gran rapidez.

ruffini03

Los números que aparecen bajo la línea horizontal, menos el último, son los coeficientes del cociente (que siempre tiene una grado menos que el dividendo). El último número es el resto de la división. Así, en este caso, el cociente de dividir \(3x^4-4x^2+8\) entre \(x+2\) es el polinomio \(3x^3-6x^2+8x-16\) y el resto es \(r=40\). Entonces, como "dividendo es igual a divisor por cociente más el resto", podemos escribir:

\[3x^4-4x^2+8=(x+2)(3x^3-6x^2+8x-16)+40\]

Si ahora tenemos que dividir un polinomio \(p(x)\) entre un binomio del tipo \(kx-a\) (donde \(k\neq0\)), también obtendremos un cociente \(c(x)\) y un resto \(r\), de tal manera que:

\[p(x)=(kx-a)\cdot c(x)+r\]

Si extraemos \(k\) factor común en \(kx-a\) tenemos:

\[p(x)=k\left(x-\frac{a}{k}\right)\cdot c(x)+r\]

Si ahora dividimos todos los términos entre \(k\), obtenemos otra identidad equivalente a la anterior:

\[\frac{p(x)}{k}=\left(x-\frac{a}{k}\right)\cdot c(x)+\frac{r}{k}\]

La igualdad anterior viene a decir que el resto \(r'\) de dividir el polinomio \(\dfrac{p(x)}{k}\) entre el binomio \(x-\dfrac{a}{k}\) es \(\dfrac{r}{k}\), es decir:

\[r'=\frac{r}{k}\Rightarrow r=r'\cdot k\]

Entonces, para obtener el resto \(r\) de la división \(p(x)\) entre \(kx-a\) basta multiplicar el resto \(r'\) que se obtiene de dividir \(\dfrac{p(x)}{k}\) entre \(x-\dfrac{a}{k}\) por el número \(k\). Obsérvese que el cociente de ambas divisiones es el mismo: \(c(x)\).

Veamos un ejemplo.

Supongamos que hemos de dividir el polinomio \(x^3-3x^2+2x-1\) entre el binomio \(3x-5\). En este caso \(k=3\), \(\dfrac{p(x)}{k}=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}\), y \(x-\dfrac{a}{k}=x-\dfrac{5}{3}\).

Por tanto vamos a utilizar la regla de Ruffini para dividir \(\dfrac{1}{3}x^3-x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}\) entre \(x-\dfrac{5}{3}\):

ruffini04

El resto \(r'\) de la división es \(r'=-\dfrac{37}{81}\). Por tanto el resto de la división del polinomio \(x^3-3x^2+2x-1\) entre \(3x-5\) es \(r=3\cdot\left(-\dfrac{37}{81}\right)=-\dfrac{37}{27}\). El cociente de la división es \(\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{4}{9}x-\dfrac{2}{27}\).

Es decir:

\[x^3-3x^2+2x-1=(3x-5)\left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{9}x-\frac{2}{27}\right)-\frac{37}{27}\]

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