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Repartos proporcionales

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Repartos directamente proporcionales

Imaginemos que deseamos repartir una cantidad \(n\) en tres partes directamente proporcionales a las cantidades \(a\), \(b\) y \(c\).

Supongamos que a la parte de \(n\) directamente proporcional a la cantidad \(a\) la llamamos \(x\), a la parte de \(n\) directamente proporcional a la cantidad \(b\) la llamamos \(y\), y que a la parte de \(n\) directamente proporcional a la cantidad \(c\) la llamamos \(z\).

Entonces es claro que "\(x\) es a \(n\) como \(a\) es a \(a+b+c\)", es decir:

\[\frac{x}{n}=\frac{a}{a+b+c}\]

Despejando \(x\):

\[x=\frac{n\cdot a}{a+b+c}\Rightarrow x=a\cdot\frac{n}{a+b+c}\]

De la misma forma podemos obtener las partes \(y\) y \(z\):

\[y=b\cdot\frac{n}{a+b+c}\quad\text{;}\quad z=c\cdot\frac{n}{a+b+c}\]

Dicho de otra manera:

Para repartir una cantidad \(n\) en partes directamente proporcionales a \(a\), \(b\) y \(c\), las partes se obtienen multiplicando cada cantidad, \(a\), \(b\) y \(c\), por la constante de proporcionalidad \(\dfrac{n}{a+b+c}\).

Ejemplo 1

Supongamos que tres amigos han jugado 20 euros en un décimo de lotería que resultó ser premiado con 50000 euros. El primero de ellos participó con 9 euros, el segundo con 7 euros y el tercero con 4 euros. ¿Qué cantidad del premio le corresponde a cada uno de los amigos?

En este caso \(n=50000\), \(a=9\), \(b=7\) y \(c=4\). Es decir, \(a+b+c=20\). Si llamamos \(x\) a la parte que le corresponde al amigo que participó con 9 euros, \(y\) a la parte que le corresponde al amigo que participó con 7 euros, y \(z\) a la parte que le corresponde al amigo que participó con 4 euros, tenemos:

\[x=9\cdot\frac{50000}{20}=22500\quad\text{;}\quad y=7\cdot\frac{50000}{20}=17500\quad\text{;}\quad z=4\cdot\frac{50000}{20}=10000\]

Así pues, al primer amigo le corresponden 22500 euros, al segundo 17500 euros, y al tercero 10000 euros del premio. Obsérvese que la constante \(\dfrac{n}{a+b+c}=\dfrac{50000}{20}=2500\) no es otra cosa que la parte del premio que corresponde por euro jugado.

Repartos inversamente proporcionales

Supongamos ahora que, al igual que antes, la cantidad \(n\) la queremos repartir en tres partes, pero inversamente proporcionales a las cantidades \(a\), \(b\) y \(c\). Esto es lo mismo que decir que la cantidad \(n\) la vamos a repartir en tres partes directamente proporcionales a las cantidades \(\dfrac{1}{a}\), \(\dfrac{1}{b}\) y \(\dfrac{1}{c}\). Llamemos \(x\), \(y\), \(z\) a estas tres partes. Entonces, por lo visto anteriormente, la parte \(x\) se obtiene así:

\[x=\frac{1}{a}\cdot\frac{n}{\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{\displaystyle\frac{n}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}{a}\]

De igual modo:

\[y=\frac{\displaystyle\frac{n}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}{b}\quad\text{;}\quad z=\frac{\displaystyle\frac{n}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}{c}\]

Así pues, en este caso:

Si repartimos una cantidad \(n\) en partes inversamente proporcionales a las cantidades \(a\), \(b\) y \(c\), cada parte se obtiene dividiendo la constante de proporcionalidad \(\dfrac{n}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\) entre su cantidad correspondiente: \(a\), \(b\) y \(c\).

Sabemos que dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una disminuye proporcionalmente la otra, es decir, si tenemos una cantidad \(a\) de la primera magnitud y una cantidad \(b\) de la segunda se ha de dar la relación

\[a=\frac{k}{b}\Leftrightarrow a\cdot b=k\]

donde \(k\) es una constante de proporcionalidad.

En nuestro caso debe ocurrir lo siguiente:

\[a\cdot x=b\cdot y=c\cdot z=k\Leftrightarrow x=\frac{k}{a}\ ;\ y=\frac{k}{b}\ ;\ z=\frac{k}{c}\qquad(1)\]

Además:

\[n=x+y+z=\frac{k}{a}+\frac{k}{b}+\frac{k}{c}=k\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\Rightarrow k=\frac{n}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\]

Ahora, sustituyendo en \((1)\) volvemos a obtener las fórmulas anteriores para \(x\), \(y\) y \(z\).

Esta última es la forma que, en la práctica, se utiliza para resolver ejercicios. Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo 2

Tres camareros se reparten 295 euros de propinas en partes inversamente proporcionales a los días que faltaron en el trimestre, que fueron 2, 5 y 7. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Al hacer un reparto inversamente proporcional, la cantidad que recibe cada camarero, a las que llamaremos \(x\), \(y\), \(z\), y las del número de días que faltaron: 2, 5 y 7, mantienen una proporción inversa, con lo que sus productos serán iguales a la constante de proporcionalidad \(k\):

\[2x=5y=7z=k\Rightarrow x=\frac{k}{2}\ ;\ y=\frac{k}{5}\ ;\ z=\frac{k}{7}\]

Además, la suma de estas tres cantidades ha de ser igual a la cantidad que se va a repartir:

\[\frac{k}{2}+\frac{k}{5}+\frac{k}{7}=295\Rightarrow k\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)=295\Rightarrow\]

\[\Rightarrow k=\frac{295}{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}}=\frac{295}{\frac{59}{70}}=\frac{20650}{59}=350\]

Por tanto:

\[x=\frac{k}{2}=\frac{350}{2}=175\ ;\ y=\frac{k}{5}=\frac{350}{5}=70\ ;\ z=\frac{k}{7}=\frac{350}{7}=50\]

Así pues al camarero que faltó 2 días le corresponden 175 €, al que faltó 5 días le corresponden 70 €, y al que faltó 7 días le corresponden 50 €.

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