Menu
¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

¿Necesitas ayuda con las matemática…

Ahora puedes tener un pro...

Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Completando cuadrados. Aplicación a…

Supongamos que me piden c...

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (U…

La Universidad Europea de...

Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena

Derivada de la función compuesta. R…

Cuando en las matem&aacut...

Series infinitas de números reales. Series convergentes

Series infinitas de números reales.…

Las sucesiones de n&uacut...

La paradoja de Zenón

La paradoja de Zenón

El filósofo griego...

Prev Next

5. Producto y cociente de números complejos en forma polar

Producto de números complejos en forma polar. Producto de números complejos en forma polar.

Producto de números complejos en forma polar

En la multiplicación de complejos que realizaremos a continuación, tendremos en cuenta que \(i^2=-1\). También se han de recordar, de la parte de trigonometría, los desarrollos de \(\text{cos}\,(\alpha+\beta)\) y \(\text{sen}\,(\alpha+\beta)\).

\[\text{cos}\,(\alpha+\beta)=\text{cos}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta-\text{sen}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\]

\[\text{sen}\,(\alpha+\beta)=\text{sen}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta+\text{cos}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\]

Supongamos pues que tenemos dos números complejos \(z_1=r_{\alpha}\) y \(z_2=r'_{\beta}\). Ambos se pueden escribir en su forma trigonométrica: \(z_1=r\cdot(\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)\), \(z_2=r'\cdot(\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta)\). Entonces, multiplicando estas dos últimas formas tenemos:

\[z_1\cdot z_2=r_{\alpha}\cdot r'_{\beta}=r\cdot r'\cdot(\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)\cdot(\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta)=\]

\[=r\cdot r'\cdot\left(\text{cos}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta-\text{sen}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta+i\cdot(\text{sen}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta+\text{cos}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta)\right)=\]

\[=r\cdot r'\cdot(\text{cos}(\alpha+\beta)+i\cdot(\text{sen}(\alpha+\beta))=(r\cdot r')_{\alpha+\beta}\]

Así pues, resumiendo:

\[r_{\alpha}\cdot r'_{\beta}=(r\cdot r')_{\alpha+\beta}\]

La fórmula anterior proporciona la forma de realizar productos de números complejos en forma polar. Obsérvese que el resultado es otro número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y cuyo argumento es la suma de los argumentos.

Ejemplo 4

Multiplica los números complejos \(z_1=2_{30^\text{o}}\) y \(z_2=3_{60^\text{o}}\), dando el resultado en todas las formas posibles.


\[z_1\cdot z_2=(2\cdot3)_{30^\text{o}+60^\text{o}}=6_{90^\text{o}}=6\cdot(\text{cos}\,90^{\text{o}}+i\cdot\text{sen}\,90^{\text{o}})=\]

\[=6\cdot(0+1\cdot i)=6i=(0,\,6)\]

Ejemplo 5

Multiplica el número complejo \(z_1=a+bi=r_{\alpha}\) por el complejo \(z_2=i\), dando una interpretación geométrica del resultado.


Como \(z_2=i=0+1\cdot i\), entonces \(r=\sqrt{0^2+1^2}=\sqrt{1}=1\) y \(\text{tg}\,\alpha=\dfrac{1}{0}\). Esto último quiere decir que el argumento principal de \(z_2=i\) es \(\alpha=90^{\text{o}}\). Por tanto \(z_2=i=1_{90^{\text{o}}}\) (en realidad no haría falta hacer todo esto para obtener la forma polar de \(i\), sino que bastaría pensar en su forma como par, \((0,\,1)\), y en el afijo correspondiente). Así pues:

\[z_1\cdot z_2=(r\cdot1)_{\alpha+90^{\text{o}}}\]

La interpretación geométrica o gráfica del resultado equivale a girar el vector correspondiente al complejo \(z_1=a+bi=r_{\alpha}\) un ángulo recto en el sentido opuesto al giro de las agujas del reloj. Dicho de otra manera, la multiplicación del complejo \(a+bi\) por \(i\) proporciona como resultado el número complejo \(-b+ai\) (ver figura).

complejos-08

Cociente de números complejos. Inverso de un número complejo

En la división de números complejos también deberemos tener en cuenta que \(i^2=-1\) y, además, también tendremos que tener en cuenta los desarrollos de \(\text{cos}\,(\alpha-\beta)\) y \(\text{sen}\,(\alpha-\beta)\):

\[\text{cos}\,(\alpha-\beta)=\text{cos}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta+\text{sen}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\]

\[\text{sen}\,(\alpha-\beta)=\text{sen}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta-\text{cos}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta\]

Supongamos entonces que tenemos dos números complejos cualesquiera \(z_1=r_{\alpha}\) y \(z_2=r'_{\beta}\). Ambos se pueden escribir en su forma trigonométrica: \(z_1=r\cdot(\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)\), \(z_2=r'\cdot(\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta)\). Dividiendo estas dos últimas formas ayudándonos de la técnica de multiplicar y dividir por el conjugado del divisor, y simplificando con la ayuda de las igualdades anteriores, tenemos:

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_{\alpha}}{r'_{\beta}}=\frac{r}{r'}\cdot\frac{\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha}{\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta}=\frac{r}{r'}\cdot\frac{(\text{cos}\,\alpha+i\,\text{sen}\,\alpha)\cdot(\text{cos}\,\beta-i\,\text{sen}\,\beta)}{(\text{cos}\,\beta+i\,\text{sen}\,\beta)\cdot(\text{cos}\,\beta-i\,\text{sen}\,\beta)}=\]

\[=\frac{r}{r'}\cdot\frac{\text{cos}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta+\text{sen}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta+i(\text{sen}\,\alpha\cdot\text{cos}\,\beta-\text{cos}\,\alpha\cdot\text{sen}\,\beta)}{\text{cos}^2\,\beta+\text{sen}^2\,\beta}=\]

\[=\frac{r}{r'}\cdot(\text{cos}(\alpha-\beta)+i\cdot\text{sen}(\alpha-\beta))=\left(\frac{r}{r'}\right)_{\alpha-\beta}\]

Resumiendo:

\[\frac{r_{\alpha}}{r'_{\beta}}=\left(\frac{r}{r'}\right)_{\alpha-\beta}\]

Esto quiere decir que el resultado de dividir dos números complejos en forma polar es otro número complejo de módulo el cociente de los módulos y de argumento la diferencia de los argumentos (obsérvese la analogía con el producto de números complejos en forma polar).

Ejemplo 6

Divide los números complejos \(z_1=4_{45^\text{o}}\) y \(z_2=i\), dando el resultado en todas las formas posibles.


Sabemos que \(i=1_{90^\text{o}}\). Entonces:

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{4_{45^\text{o}}}{1_{90^\text{o}}}=4_{-45^\text{o}}=4\cdot(\text{cos}(-45^\text{o})+i\cdot\text{sen}(-45^\text{o}))=\]

\[=4\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}i=(2\sqrt{2},\,-2\sqrt{2})\]

Para calcular el inverso de un número complejo no nulo, basta darse cuenta de que \(1=1+0\cdot i=1_{0^\text{o}}\). Entonces, aplicando la fórmula de la división de números complejos en forma polar, el inverso del número complejo no nulo \(z=r_{\alpha}\), es:

\[\frac{1}{r_{\alpha}}=\frac{1_{0^\text{o}}}{r_{\alpha}}=\left(\frac{1}{r}\right)_{-\alpha}\]

Es decir, el inverso de un número complejo no nulo, tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento principal el opuesto del suyo.

En el siguiente apartado veremos la potenciación de números complejos en forma polar.


← 4. Forma polar de un número complejo

6. Potenciación de números complejos en forma polar. Fórmula de Moivre →

volver arriba

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas