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Números aproximados. Error absoluto y relativo

Para aproximar un número eliminamos decimales Para aproximar un número eliminamos decimales

"La física es demasiado importante para ser dejada a los físicos."

David Hilbert

Los números reales reflejan con absoluta precisión los resultados teóricos. Así por ejemplo, la longitud de una circunferencia de radio  \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}\) es, exactamente, \(\displaystyle \frac{2\pi\sqrt{5}}{3}\), número real del cual no se puede dudar (en este artículo sobre radicales se proponen problemas donde sus soluciones son números reales dados con total exactitud). Al ser un número irracional su expresión decimal consta de infinitas cifras decimales que no forman período: \(4,683209821\)... Pero en las ciencias aplicadas o, simplemente, en la vida cotidiana, estos números se expresan en forma decimal y con una cantidad reducida de cifras. Así, el número anterior se quedaría en \(4,7\), \(4,68\), \(4,683\), ... , según la precisión requerida. En este proceso estamos tomando una expresión decimal aproximada (valor aproximado) del número real exacto (valor real).

Se dice que de un número real tomamos una aproximación de orden \(n\) cuando se trata de un número racional con \(n\) cifras decimales.

Así, las tres aproximaciones anteriores de \(\displaystyle \frac{2\pi\sqrt{5}}{3}\), son de orden \(1\) (hasta las décimas), de orden \(2\) (hasta las centésimas) y de orden \(3\) (hasta las milésimas).

Existen tres métodos de aproximación.

  • Aproximación por defecto o truncamiento: se eliminan las cifras decimales a partir del orden considerado.
  • Aproximación por exceso: se eliminan las cifras decimales a partir del orden considerado y se añade una unidad a la última cifra decimal.
  • Redondeo: se eliminan todas las cifras decimales a partir del orden indicado y, si la cifra siguiente al orden considerado es mayor o igual que \(5\), se añade una unidad a la última cifra decimal que incluimos.

Siguiendo con las aproximaciones realizadas de nuestro número real \(\displaystyle \frac{2\pi\sqrt{5}}{3}\), \(4,7\) es un redondeo del valor real hasta las décimas, sin embargo \(4,6\) sería una aproximación por defecto o truncamiento hasta las décimas. El valor aproximado \(4,683\) también es un redondeo hasta las milésimas del valor real, sin embargo \(4,684\) sería una aproximación por exceso hasta las milésimas. Si deseamos un truncamiento hasta las millónesimas habríamos de tomar el valor aproximado \(4,683209\). Obsérvese que el redondeo hasta las millónesimas sería, según la definición dada anteriormente, \(4,683210\).

En todo proceso de aproximación de un valor real \(V_r\), por un valor aproximado \(V_a\), se comete un error. Hay dos tipos de errores, el error absoluto \(E_a\) y el error relativo \(E_r\).

  • El error absoluto que se comete al tomar un valor aproximado de un valor real es el valor absoluto de su diferencia.

\[E_a=\left |V_r-V_a\right |\]

  • El error relativo que se comete es el valor del cociente del error absoluto entre el valor real.

\[E_r=\left |\frac{E_a}{V_r}\right |=\frac{\left|V_r-V_a\right|}{\left|V_r\right|}\]

Estos errores no solo se producen al aproximar a forma decimal un número real. También aparecen en procesos de medición, estimación, etc.

Cuando aproximamos un número real, el valor real del mismo en la mayoría de las ocasiones no se conoce. En estos casos no podemos calcular exactamente el error. Así pues, para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, es imprescindible que el error esté controlado. Las cotas de los errores absoluto y relativo, que llamaremos \(k\) y \(k'\) respectivamente, indican en cuánto nos podemos equivocar como máximo al utilizar una aproximación.

\[E_a<k\quad\text{;}\quad E_r<k'\]

Veamos con un ejemplo todo lo comentado anteriormente.

Supongamos que queremos calcular el volumen, en metros cúbicos, de la esfera circunscrita a un cubo de \(4\) metros de lado. Utilizando el teorema de Pitágoras, la diagonal de cualquiera de las caras del cubo, que hemos llamado \(x\), valdrá:

\[x^2=4^2+4^2\Rightarrow x^2=32\Rightarrow x=\sqrt{32}=\sqrt{2^5}=2^2\sqrt{2}\Rightarrow x=4\sqrt{2}\ \text{m}.\]

esfera-circunscrita-cubo

La diagonal del cubo (distancia entre dos de sus vértices opuestos), que hemos llamado \(d\), y que coincide con el diámetro de la esfera circunscrita, será:

\[d^2=(4\sqrt{2})^2+4^2\Rightarrow d^2=32+16=48\Rightarrow d=\sqrt{48}=\sqrt{2^4\cdot3}=2^2\sqrt{3}\Rightarrow d=4\sqrt{3}\ \text{m}.\] 

El radio \(r\) de la esfera circunscrita al cubo es \(\displaystyle r=\frac{d}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\). Por tanto el volumen \(V\) de la esfera es:

\[V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi(2\sqrt{3})^3=\frac{4}{3}\pi\,8\sqrt{3^3}=\frac{32}{3}\pi\,3\sqrt{3}\Rightarrow V=32\sqrt{3}\ \pi\ \text{m}^3.\]

Supongamos ahora que queremos aproximar el volumen hasta los hectolitros (\(\text{hl}.\)). Esto significa que hemos de hacer una aproximación de orden \(1\), o hasta las décimas, ya que \(1\ \text{hl}.=0,1\ \text{m}^3.\) (recuérdese que un metro cúbico son mil litros, y que un hectolitro son cien litros), Así pues, el valor aproximado del volumen de la esfera será:

\[V=32\sqrt{3}\ \pi=174,1\ \text{m}^3.\]

Acotemos ahora los errores cometidos, tanto absoluto como relativo:

\[E_a<0,05\ \text{m}^3.\quad\text{;}\quad E_r<\frac{0,05}{174,1}=0,000287191...<0,0003\]

Por tanto una cota del error absoluto es \(0,05\ \text{m}^3.\) (obsérvese que se ha tomado como cota la mitad de una décima, que era el orden de aproximación al que habíamos sometido al volumen). El error absoluto y su cota se dan en la misma unidad de magnitud que la medida (en este caso en \(\text{m}^3.\)), mientras que el error relativo es un número abstracto, sin unidades. Se puede dar en tantos por ciento. En este caso diríamos que el error relativo es menor que el \(0,03\,\%\).

Al principio de este artículo dábamos como expresiones aproximadas de \(\displaystyle \frac{2\pi\sqrt{5}}{3}=4,683209821\ldots\) los valores \(4,7\), \(4,68\) y \(4,683\). Los números aproximados se expresan con varias cifras que sabemos exentas de error. Se llaman cifras significativas. En las expresiones aproximadas anteriores hemos utilizado, respectivamente, \(2\), \(3\) o \(4\) cifras significativas (véase el artículo dedicado a la notación científica y a las cifras significativas, para una definición rigurosa de cifra significativa).

El error absoluto suele ser menor que \(5\) unidades del lugar siguiente al de la última cifras significativa utilizada. En el ejemplo anterior, las cotas del error absolutos serán, respectivamente, \(0,05\), \(0,005\) y \(0,0005\).

El error relativo es tanto menor cuanto más cifras significativas se utilicen.

En ocasiones utilizamos ceros para poder expresar una medición. Por ejemplo, si decimos que el número de habitantes de una ciudad es \(3\,800\,000\), probablemente sólo controlemos las dos primeras cifras. En tal caso sería más razonable decir que el número de habitantes es \(3,8\) millones o bien \(38\) cientos de miles. Veamos otro ejemplo de esta situación.

Dar una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes medidas: \(3\) millones de personas, \(0,57\) millones de euros, \(0,570\) millones de euros.

En el primer caso, si se trata de una estimación fiable, es admisible que el error absoluto sea menor que medio millón de personas. Por tanto:

\[E_a<0,5\ \text{millones de personas}\quad\text{;}\quad E_r<\frac{0,5}{3}=1,66666\ldots<0,17\Rightarrow E_r<17\,\%\]

En el segundo caso, si se trata de un número aproximado, entonces:

\[E_a<0,005\ \text{millones de euros}\quad\text{;}\quad E_r<\frac{0,005}{0,57}=0,00877\ldots<0,009\Rightarrow E_r<0,9\,\%\]

En el tercero y último de los casos, si \(0,570\) fuera un número exacto, daría igual poner \(0,57\). Pero tratándose de un número aproximado, el cero final significa que esa cifra (la de las milésimas) está controlada. Por tanto:

\[E_a<0,0005\ \text{millones de euros}\quad\text{;}\quad E_r<\frac{0,0005}{0,570}=0,000877\ldots<0,0009\Rightarrow E_r<0,09\,\%\]


Referencias bibliográficas:

COLERA, J.; OLIVEIRA, M. J.; GARCÍA, R. y SANTAELLA, E. (2008). "Matemáticas I". Anaya.

GONZÁLEZ, G. (2008). "Matemáticas opción B". Editex.

Esta entrada participa en la edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

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