Menu
Distancia entre dos rectas que se cruzan. Perpendicular común

Distancia entre dos rectas que se c…

En un espacio de tres dim...

La regla de Cramer

La regla de Cramer

Consideremos un sistema d...

¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Piensas que nunca serás capaz de entenderlas?

¿Necesitas ayuda con las matemática…

Ahora puedes tener un pro...

Completando cuadrados. Aplicación al cálculo de primitivas o integrales indefinidas

Completando cuadrados. Aplicación a…

Supongamos que me piden c...

La Universidad Europea de Madrid (UEM)

La Universidad Europea de Madrid (U…

La Universidad Europea de...

Cuadratura de un segmento de parábola

Cuadratura de un segmento de parábo…

Una forma de acercarse al...

Ejercicios de aplicaciones de las derivadas y del teorema del valor medio

Ejercicios de aplicaciones de las d…

Se proponen a continuaci&...

Aplicaciones de las derivadas. El teorema del valor medio

Aplicaciones de las derivadas. El t…

Ya hemos hablado en un pa...

Prev Next

Matrices. Álgebra de matrices

Una matriz y su matriz inversa Una matriz y su matriz inversa

Primeras definiciones

Una matriz es un conjunto de elementos (números) ordenado en filas y columnas. En general una matriz se nombra con una letra mayúscula y a sus elementos con letras minúsculas indicando en subíndices la fila y la columna que ocupan.

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{.....}&{{a_{1n}}}\\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{33}}}&{.....}&{{a_{2n}}}\\
{.....}&{.....}&{.....}&{.....}&{.....}\\
{{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{{a_{m3}}}&{.....}&{{a_{mn}}}
\end{array}} \right) = \left( {{a_{i\,j}}} \right)\quad{\begin{cases}i=1,2,\ldots,m\\j=1,2,\ldots,n\end{cases}}\]

La matriz anterior tiene \(m\) filas y \(n\) columnas. Se suele decir que es de orden o dimensión \(m\times n\) . Los elementos \(a_{ij}\) son números reales \(a_{ij}\in\mathbb{R}\). El primer subíndice, \(i\), indica la fila y el segundo, \(j\), indica la columna que ocupa el término \(a_{ij}\).

Dos matrices son iguales cuando son del mismo orden y coinciden término a término. O sea, si \(A = {\left( {{a_{i\,j}}} \right)_{m \times n}}\) y \(B = {\left( {{b_{i\,j}}} \right)_{m \times n}}\), entonces

\[A = B \Leftrightarrow {a_{ij}} = {b_{ij}}\ , \forall i = 1,...,m\ \text{;}\ \forall j = 1,...,n\]

Dada una matriz \(A = {\left( {{a_{i\,j}}} \right)_{m \times n}}\), se llama traspuesta de \(A\), a otra matriz que denotaremos por \(A^t\) y que se obtiene al cambiar en \(A\) las filas por las columnas y las columnas por las filas. Es decir, \({A^t} = {\left( {{a_{ji}}} \right)_{n \times m}}\). Por ejemplo:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&0&3\\
{ - 5}&4&6&{ - 7}\\
0&2&{ - 1}&{ - 4}
\end{array}} \right) \Rightarrow {A^t} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 5}&0\\
{ - 2}&4&2\\
0&6&{ - 1}\\
3&{ - 7}&{ - 4}
\end{array}} \right)\]

Obsérvese que, sea quién sea la matriz \(A\), siempre se cumple que \((A^t)^t=A\).

Una matriz es cuadrada si tiene tantas filas como columnas. En este caso, en vez de decir que es de orden \(n\times n\), diremos que es de orden \(n\). Dada una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\), se llama diagonal principal de la matriz \(A\) a los elementos \(a_{11}\), \(a_{22}\), ..., \(a_{nn}\).

Una matriz cuadrada \(A\) es simétrica si coincide con su traspuesta, es decir, si \(A=A^t\). Por ejemplo, la matriz

\[C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 7}&6\\
{ - 7}&4&3\\
6&3&{ - 2}
\end{array}} \right)\]

es simétrica pues \(C=C^t\). En este caso, además, los elementos de la diagonal principal son \(1\), \(4\), \(-2\).

Una matriz cuadrada recibe el nombre de matriz triangular si los elementos situados por encima o por debajo de los que ocupan la diagonal principal son nulos. Por ejemplo, son matrices triangulares

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 3}&6\\
0&{ - 4}&1&0\\
0&0&2&{ - 5}\\
0&0&0&{ - 1}
\end{array}} \right)\,\,;\,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
8&0&0&0\\
7&{ - 6}&0&0\\
5&{ - 3}&2&0\\
{ - 4}&3&{ - 2}&1
\end{array}} \right)\]

Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si los únicos elementos no nulos que puede tener son los de la diagonal principal. Por ejemplo, la matriz

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
0&{ - 2}&0\\
0&0&4
\end{array}} \right)\]

es diagonal.

Operaciones con matrices

Hay tres operaciones básicas con matrices: producto de un número real por una matriz, suma de matrices y producto de matrices. Veremos con detenimiento cada una de ellas, pues no es posible sumar o multiplicar dos matrices cualesquiera.

Producto de un número por una matriz

Para multiplicar un número real \(k\) por una matriz \(A = {\left( {{a_{i\,j}}} \right)_{m \times n}}\), se multiplica el número \(k\) por todos y cada uno de los términos de la matriz \(A\): \(kA = {\left( {k{a_{i\,j}}} \right)_{m \times n}}\). Por ejemplo:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&2\\
8&{ - 7}&{ - 3}\\
4&5&{ - 9}
\end{array}} \right) \Rightarrow  - 3A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}&3&{ - 6}\\
{ - 24}&{21}&9\\
{ - 12}&{ - 15}&{27}
\end{array}} \right)\]

Suma de matrices

Para que dos matrices \(A\) y \(B\) puedan sumarse, es necesario que sean del mismo orden. En este caso, la suma se efectúa término a término: dadas \(A = {\left( {{a_{i\,j}}} \right)_{m \times n}}\) y \(B = {\left( {{b_{i\,j}}} \right)_{m \times n}}\), entonces \(A + B = {\left( {{a_{ij}} + {b_{ij}}} \right)_{m \times n}}\). Por ejemplo:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 3}&{ - 5}\\
{ - 2}&4&6
\end{array}} \right)\,,\, B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4&5&{ - 3}\\
1&8&{ - 5}
\end{array}} \right)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow A + B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 3}&{ - 5}\\
{ - 2}&4&6
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
4&5&{ - 3}\\
1&8&{ - 5}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5&2&{ - 8}\\
{ - 1}&{12}&1
\end{array}} \right)\]

Producto de una matriz fila por una matriz columna

Ni que decir tiene que una matriz fila es la formada por una sola fila y una matriz columna es la formada por una sola columna. Una matriz fila se puede multiplicar por una matriz columna si ambas tienen el mismo número de términos. Es decir si

\[A = {\left( {{a_{1j}}} \right)_{1 \times n}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}
\end{array}} \right)\,,\,B = {\left( {{b_{i1}}} \right)_{n \times 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_{11}}}\\
{{b_{21}}}\\
{...}\\
{{b_{n1}}}
\end{array}} \right)\]

el producto de ambas es

\[AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{.....}&{{a_{1n}}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_{11}}}\\
{{b_{21}}}\\
{...}\\
{{b_{n1}}}
\end{array}} \right) = a{}_{11}b{}_{11} + {a_{12}}{b_{21}} + ..... + {a_{1n}}{b_{n1}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{1i}}{b_{i1}}}\]

Obsérvese que el resultado de multiplicar una matriz fila por una matriz columna es un número real. Por ejemplo:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&3&5
\end{array}} \right)\,,\,B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}\\
{ - 2}\\
{ - 5}\\
7
\end{array}} \right)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&3&5
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4}\\
{ - 2}\\
{ - 5}\\
7
\end{array}} \right) = 1 \cdot \left( { - 4} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + 3 \cdot \left( { - 5} \right) + 5 \cdot 7 =  - 4 + 4 - 15 + 35 = 20\]

Producto de matrices

Para que dos matrices puedan multiplicarse es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda. Concretamente, dadas \(A = {\left( {{a_{ik}}} \right)_{m \times p}}\) y \(B = {\left( {{b_{kj}}} \right)_{p \times n}}\) (observa que el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda), se define el producto de \(A\) por \(B\), de la siguiente forma:\(A \cdot B = C = {\left( {{c_{ij}}} \right)_{m \times n}}\), donde \(c_{ij}\) es el producto de la fila \(i\) por la columna \(j\), tal y como se vio en el apartado anterior:

\[{c_{ij}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{i1}}}&{{a_{i2}}}&{.....}&{{a_{ip}}}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_{1j}}}\\
{{b_{2j}}}\\
{...}\\
{{b_{pj}}}
\end{array}} \right) = a{}_{i1}b{}_{1j} + {a_{i2}}{b_{2j}} + ..... + {a_{ip}}{b_{pj}} = \sum\limits_{k = 1}^p {{a_{ik}}{b_{kj}}}\]

La matriz producto \(C\) tiene tantas filas como la matriz \(A\) (\(m\)) y tantas columnas como la matriz \(B\) (\(n\)).

Un ejemplo ilustrará muy bien la definición de producto de matrices. Sean

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&{ - 3}&0&1\\
3&{ - 4}&2&{ - 1}\\
0&1&6&2
\end{array}} \right)\,,\,B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 3}\\
5&0\\
6&{ - 2}\\
{ - 1}&2
\end{array}} \right)\]

El producto \(A\cdot B\) puede realizarse porque la matriz \(A\) tiene tantas columnas como filas tiene la matriz \(B\) (\(4\)). Entonces:

\[A \cdot B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&{ - 3}&0&1\\
3&{ - 4}&2&{ - 1}\\
0&1&6&2
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 3}\\
5&0\\
6&{ - 2}\\
{ - 1}&2
\end{array}} \right) = \]

\[= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2 \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot 5 + 0 \cdot 6 + 1 \cdot \left( { - 1} \right)}&{ - 2 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot 0 + 0 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 \cdot 2}\\
{3 \cdot 1 + \left( { - 4} \right) \cdot 5 + 2 \cdot 6 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right)}&{3 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) \cdot 0 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2}\\
{0 \cdot 1 + 1 \cdot 5 + 6 \cdot 6 + 2 \cdot \left( { - 1} \right)}&{0 \cdot \left( { - 3} \right) + 1 \cdot 0 + 6 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot 2}
\end{array}} \right) =\]

\[=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 18}&8\\
{ - 4}&{ - 15}\\
{39}&{ - 8}
\end{array}} \right)\]

Observa que la matriz producto es de orden \(3\times2\).

Propiedades de las operaciones con matrices

Denotaremos por \(\mathcal{M}_{m\times n}\) al conjunto formado por todas las matrices de orden \(m\times n\). La estructura de este conjunto depende de las propiedades de las operaciones con matrices.

Propiedades del producto de números por matrices

Si \(a,b\in\mathbb{R}\) y \(A,B\in\mathcal{M}_{m\times n}\), se cumplen las siguientes propiedades.

  • Asociativa: \(a\left( {bA} \right) = \left( {ab} \right)A\)
  • Distributiva I: \(\left( {a + b} \right)A = aA + bA\)
  • Distributiva II: \(a\left( {A + B} \right) = aA + aB\)
  • Producto por el número \(1\): \(1A=A\)

Propiedades de la suma de matrices

Sean \(A,B,C\in\mathcal{M}_{m\times n}\). Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

  • Asociativa: \((A+B)+C=A+(B+C)\)
  • Conmutativa: \(A+B=B+A\)
  • Elemento neutro: la matriz \(O_{m\times n}\), cuyos elementos son todos 0, sumada con cualquier otra matriz de orden \(m\times n\), la deja igual, es decir: \(A+O=O+A=A\)
  • Elemento opuesto: la opuesta de la matriz \(A\) es otra matriz del mismo orden, \(-A\), cuyos elementos son los opuestos de los elementos de la matriz A, es decir, si \(A = \left( {{a_{ij}}} \right)\) entonces \(-A = \left( {{-a_{ij}}} \right)\). En este caso se cumple que \(A + \left( { - A} \right) = A - A = O\) ; \(- A + A = O\), ya que \(\left( {{a_{ij}}} \right) + \left( { - {a_{ij}}} \right) = \left( {{a_{ij}} - {a_{ij}}} \right) = \left( 0 \right) = O\)

Propiedades del producto de matrices

  • Asociativa: \(\left( {{A_{m \times n}} \cdot {B_{n \times p}}} \right) \cdot {C_{p \times q}} = {A_{m \times n}} \cdot \left( {{B_{n \times p}} \cdot {C_{p \times q}}} \right)\)
  • El producto de matrices no es conmutativo, es decir, en general el producto \(A\cdot B\) no es igual al producto \(B\cdot A\) (siempre que ambos productos puedan hacerse) \(A \cdot B \ne B \cdot A\).

Propiedades distributivas

Si \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) son matrices cuyas dimensiones permiten efectuar las operaciones que se indican, se cumplen las siguientes propiedades:

  • \(A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C\)
  • \((B+C)\cdot D=B\cdot D+C\cdot D\)

Matrices cuadradas

Designaremos por \(\mathcal{M_n}\) al conjunto de las matrices cuadradas de orden \(n\). Además de poder sumarse y multiplicarse por números, pueden claramente multiplicarse entre sí (si multiplicamos dos matrices de orden \(n\) el resultado es otra matriz de orden \(n\)). Estas operaciones cumplen todas las propiedades estudiadas hasta ahora. Pero el conjunto \(\mathcal{M_n}\) tiene algunas otras peculiaridades.

Matriz identidad o matriz unidad

La matriz identidad o matriz unidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son todos "unos". Se denota por I. Por tanto la matriz identidad de orden \(n\) será

\[{I_n} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0&{...}&0\\
0&1&0&{...}&0\\
0&0&1&{...}&0\\
{...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\
0&0&0&{...}&1
\end{array}} \right)_{n \times n}}\]

Dada una matriz \(A\in\mathcal{M_n}\) se cumple que \(A\cdot I_n=I_n\cdot A=A\). En general se escribe \(A\cdot I=I\cdot A=A\), suponiendo que \(A\) e \(I\) son matrices cuadradas del mismo orden. Es esta razón por la que a \(I\) se le llama matriz identidad o unidad. Es el elemento neutro para el producto de matrices, como el \(1\) en el producto de números reales.

Matriz inversa

Dada una matriz \(A\in\mathcal{M_n}\), se llama matriz inversa de \(A\), a otra matriz \(A^{-1}\in\mathcal{M_n}\), cumpliendo que \(A\cdot A^{-1}=I\); \(A^{-1}\cdot A=I\). Obsérvese que si la matriz \(A\) tiene inversa \(A^{-1}\), entonces al multiplicarlas sí que se cumple la propiedad conmutativa y el resultado es la matriz identidad. Puede comprobarse con facilidad, realizando el producto de ambas, que las dos siguientes matrices son inversas una de la otra.

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&3\\
0&1&2\\
1&2&4
\end{array}} \right)\,,\,{A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 2}&1\\
2&1&{ - 2}\\
{ - 1}&0&1
\end{array}} \right)\]

Cálculo de la inversa de una matriz por el método de Gauss

Para hallar la inversa, \(A^{-1}\), de una matriz \(A\), impondremos a la matriz identidad \(I\) los mismos cambios a los que hay que someter a la matriz \(A\) para obtener la matriz identidad.

En la práctica, se coloca la matriz \(A\), y a su derecha, la matriz \(I\). Se realizan las transformaciones necesarias para que \(A\) se transforme en \(I\). Como consecuencia, la matriz que se obtiene a la derecha de \(I\) es \(A^{-1}\). Todas las transformaciones que se realicen serán idénticas a las que utilizamos para resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss. Si, al final del proceso, en la parte de la izquierda aparece una fila de ceros, entonces la matriz \(A\) no tiene inversa.

Calculemos por este método, por ejemplo, la matriz inversa de la matriz

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&3\\
1&2&1\\
2&0&0
\end{array}} \right)\]

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&3&1&0&0\\
1&2&1&0&1&0\\
2&0&0&0&0&1
\end{array}} \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&3&1&0&0\\
0&1&{ - 2}&{ - 1}&1&0\\
0&{ - 2}&{ - 6}&{ - 2}&0&1
\end{array}} \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&3&1&0&0\\
0&1&{ - 2}&{ - 1}&1&0\\
0&0&{ - 10}&{ - 4}&2&1
\end{array}} \right) \to\]

\[\to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}&{10}&0&{ - 2}&6&3\\
0&{ - 5}&0&1&{ - 3}&1\\
0&0&{ - 10}&{ - 4}&2&1
\end{array}} \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}&0&0&0&0&5\\
0&{ - 5}&0&1&{ - 3}&1\\
0&0&{ - 10}&{ - 4}&2&1
\end{array}} \right)\]

Como se puede apreciar se han realizado cuatro transformaciones. Si a las filas de la matriz las llamamos \(f_1\), \(f_2\) y \(f_3\), las transformaciones realizadas son las siguientes:

  • \(f_2-f_1\) y \(f_3-2f_1\)
  • \(f_3+2f_2\)
  • \(-5f_2+f_3\) y \(10f_1+3f_3\)
  • \(f_1+2f_2\)

Finalmente dividimos la primera fila entre \(10\), la segunda entre \(-5\) y la tercera entre \(-10\), obteniendo:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0&0&0&{\frac{1}{2}}\\
0&1&0&{ - \frac{1}{5}}&{\frac{3}{5}}&{ - \frac{1}{5}}\\
0&0&1&{\frac{2}{5}}&{ - \frac{1}{5}}&{ - \frac{1}{{10}}}
\end{array}} \right)\]

Por tanto la inversa de \(A\) es:

\[{A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&{\frac{1}{2}}\\
{ - \frac{1}{5}}&{\frac{3}{5}}&{ - \frac{1}{5}}\\
{\frac{2}{5}}&{ - \frac{1}{5}}&{ - \frac{1}{{10}}}
\end{array}} \right)\]

Forma matricial de un sistema de ecuaciones

Todo sistema de ecuaciones lleva asociado tres matrices: la de los coeficientes, \(A\), la de las incógnitas, \(X\), y la de los términos independientes, que llamaremos \(C\). Por ejemplo, el sistema

\[\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3y + z = 1\\
x + y - 2z =  - 2\\
 - 3x - y + 3z = 2
\end{array} \right.\]

lleva asociadas las matrices

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1\\
1&1&{ - 2}\\
{ - 3}&{ - 1}&3
\end{array}} \right)\,,\,X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right)\,,\,C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
{ - 2}\\
{ - 2}
\end{array}} \right)\]

Por tanto el sistema se puede expresar matricialmente de la forma:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 3}&1\\
1&1&{ - 2}\\
{ - 3}&{ - 1}&3
\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
{ - 2}\\
{ - 2}
\end{array}} \right)\]

es decir, \(A\cdot X=C\). Si la matriz \(A\) tuviera inversa, \(A^{-1}\), podríamos despejar \(X\) del siguiente modo: multiplicamos por la izquierda los dos miembros de la igualdad \(A \cdot X = C\) por \(A^{-1}\): \({A^{ - 1}} \cdot \left( {A \cdot X} \right) = {A^{ - 1}} \cdot C\). Aplicando la propiedad asociativa \(\left( {{A^{ - 1}} \cdot A} \right) \cdot X = {A^{ - 1}} \cdot C\). Entonces \(I \cdot X = {A^{ - 1}} \cdot C\), con lo que se obtiene \(X = {A^{ - 1}} \cdot C\).

Si quieres puedes hacer la experiencia con el sistema anterior. Si todo va bien al calcular la matriz incógnita \(X\) debes obtener

\[X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
z
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1\\
2
\end{array}} \right)\]

Es decir \(x=1\), \(y=1\), \(z=2\).


Puedes descargar el artículo completo en pdf haciendo clic aquí.


volver arriba

lasmatematicas.eu

Aplicaciones

Sígueme

webs de matemáticas