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Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (3)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2018 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Evaluación para Acceso a la Universidad (propuesta B).

Bloque asociado

Análisis.

Estándares de aprendizaje evaluables

  • Aplica los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones.
  • Calcula el área de recintos limitados por rectas y curvas sencillas o por dos curvas.
  • Utiliza los medios tecnológicos para representar y resolver problemas de áreas de recintos limitados por funciones conocidas.

En este ejercicio hemos de calcular una integral definida. Para ello calcularemos primero la integral indefinida y posteriormente aplicaremos la regla de Barrow.

Enunciado

Dadas las funciones \(f(x)=2xe^{-x}\) y \(g(x)=x^2e^{-x}\), calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de esas funciones.

La solución aquí

La solución aquí

En primer lugar resolvamos la ecuación \(f(x)=g(x)\) para ver en qué puntos se cortan ambas funciones.

\[2xe^{-x}=x^2e^{-x}\Leftrightarrow2xe^{-x}-x^2e^{-x}=0\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow xe^{-x}(2-x)=0\Leftrightarrow\begin{cases}
x=0\\
2-x=0\Rightarrow x=2
\end{cases}\]

Además, en el intervalo \((0,2)\) se tiene claramente que \(xe^{-x}(2-x)>0\), o lo que es lo mismo, \(f(x)-g(x)>0\) en el intervalo \((0,2)\). Esto indica que, en el intervalo \((0,2)\), la función \(f\) está por encima de la función \(g\).

El área \(A\) del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones vendrá dado por la siguiente integral definida:

\[A=\int_0^2(f(x)-g(x))dx=\int_0^2xe^{-x}(2-x)dx=\int_0^2(2x-x^2)e^{-x}dx\]

Hagamos en primer lugar la integral indefinida usando el método de integración por partes.

\[\int(2x-x^2)e^{-x}dx=\left[\begin{array}{cc}
u=2x-x^2 & du=(2-2x)dx \\
dv=e^{-x}dx & v=-e^{-x}
\end{array}\right]=\]

\[=(2x-x^2)(-e^{-x})-\int(2-2x)(-e^{-x})dx=\]

\[=(x^2-2x)e^{-x}+\int(2-2x)e^{-x}dx=\left[\begin{array}{cc}
u=2-2x & du=-2dx \\
dv=e^{-x}dx & v=-e^{-x}
\end{array}\right]=\]

\[=(x^2-2x)e^{-x}+(2-2x)(-e^{-x})-\int2e^{-x}dx=\]

\[=(x^2-2x)e^{-x}+(2x-2)e^{-x}+2e^{-x}+C=x^2e^{-x}+C\]

De este modo:

\[A=\int_0^2(2x-x^2)e^{-x}=\left.x^2e^{-x}\right]_0^2=4e^{-2}\approx0.54\ \text{uds}^2\]

La representación gráfica del recinto cuya área se pide es la siguiente:

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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