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Acceso Universidad Matemáticas II – Sistemas de ecuaciones y matrices (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Bloque asociado

Números y Álgebra.

Estándares de aprendizaje evaluables

  • Calcula determinantes hasta orden 4.
  • Determina el rango de una matriz aplicando el método de Gauss o determinantes.
  • Plantea un sistema de ecuaciones lineales a partir de un enunciado, lo clasifica, lo resuelve e interpreta las soluciones.

Enunciado

Dadas las matrices

\[A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & k \\
1 & 4 & k \\
0 & 5k & 1
\end{array}
\right)\quad;\quad X=\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}\right)\quad\text{y}\quad O=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}\right)\]

se pide:

a) Calcula, en función del parámetro \(k\in\mathbb{R}\), el rango de la matriz \(A\). [1 punto]

b) ¿Existe algún valor de \(k\in\mathbb{R}\) para el cual el sistema \(A\cdot X=O\) sea incompatible? [0,75 puntos]

c) ¿Para qué valores de \(k\in\mathbb{R}\) el sistema \(A\cdot X=O\) es compatible indeterminado? [0,75 puntos]

La solución aquí

La solución aquí

a) Puesto que la matriz es de orden \(3\times4\) el rango es a los sumo \(3\). Además se tiene que \(\left|\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
2 & 3
\end{array}
\right|=3-(-2)=5\neq0\), con lo que la matriz \(A\) tiene un menor de orden \(2\) distinto de cero. Esto quiere decir que el rango es al menos \(2\). Estudiemos ahora los dos determinantes que contienen al menor anterior.

\[\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & k \\
1 & 4 & k
\end{array}
\right|=(3k-k)-(-2k+4k)=2k-2k=0\]

\[\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & k \\
0 & 5k & 1
\end{array}
\right|3-(-2+5k^2)=5-5k^2\]

Es fácil darse cuenta de que ambos son simultáneamente cero cuando \(k=-1\) o \(k=1\). Por tanto, deducimos lo siguiente:

  • Si \(k=-1\) o \(k=1\) el rango de \(A\) es \(2\).
  • Si \(k\neq-1\) y \(k\neq1\) el rango de \(A\) es \(3\).

b) El sistema \(A\cdot X=O\) es homogéneo. Por tanto, \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) es una solución del sistema. Así pues no existe ningún valor de \(k\in\mathbb{R}\) para el cual el sistema \(A\cdot X=O\) sea incompatible.

c) El número de incógnitas de este sistema es \(n=3\). La matriz ampliada del sistema es la matriz \(A\) añadiendo una columna de ceros, con lo que el rango de la matriz ampliada y el de la matriz \(A\) es el mismo. Para \(k=-1\) o \(k=1\) tenemos \(\text{rango}A=2<3=n\). Según el teorema de Rouché, esto quiere decir que el sistema es compatible indeterminado si \(k=-1\) o \(k=1\).

 

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

2 comentarios

  1. Salomé Amarilla

    Hola mi nombre es Salomé y para mi la mezcla de letras con los números es chino OSEA no entiendo absolutamente nada y quiero pasar bachillerato para tener un trabajo xq están pidiendo liceo completo hasta para lavar un simple piso. Si me pudieran aclarar cmo despejar las x de las y para pasar un examen de matemáticas de 3ro sería genial. Gracias

    • Pedro Castro Ortega

      Supongo que al menos no tendrás tanto problema con hacer operaciones con números enteros y con fracciones. A partir de ahí lo de la mezcla de letras y números (las expresiones algebraicas) es el siguiente paso. Cuando hablas de despejar, supongo que te refieres a cómo se despeja la incógnita (o letra) de una ecuación de primer o de segundo grado (habrá que empezar por lo básico). Puedes consultar la siguiente página de mi mismo sitio Web: http://lasmatematicas.eu/apuntes-de-matematicas-de-2o-eso/. Son apuntes esquemáticos. Los enlaces a los apuntes “Expresiones algebraicas. Polinomios” y “Ecuaciones de primer y de segundo grado” creo que te pueden servir. A partir de ahí puedes dar el salto e ir a esta otra página http://lasmatematicas.eu/apuntes-de-matematicas-i-1o-de-bachillerato/ y consultar los apuntes que te parezcan adecuados. A partir de ahí hay que practicar con ejercicios. En la parte superior de mi Web hay un menú con un ítem que pone EJERCICIOS. Despliégalo: encontrarás relaciones de ejercicios desde nivel básico a nivel superior (por cierto, los dos enlaces anteriores vienen en el ítem del menú superior APUNTES).
      No hay una receta mágica para superar con cierta facilidad o rapidez las matemáticas. Hay que armarse de paciencia, planificarse, y con esfuerzo y dedicación dedicarle el tiempo necesario. Esta Web ayuda por los materiales que contiene, pero es el interesado o interesada el que ha de querer y poner de su parte. En todo caso, espero que te sirvan las orientaciones anteriores.

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