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Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Bloque asociado

Análisis.

Estándares de aprendizaje evaluables

  • Aplica los métodos básicos para el cálculo de primitivas de funciones.
  • Calcula el área de recintos limitados por rectas y curvas sencillas o por dos curvas.
  • Utiliza los medios tecnológicos para representar y resolver problemas de áreas de recintos limitados por funciones conocidas.

En este ejercicio se trata simplemente de calcular una integral definida. Para ello calcularemos primero la integral indefinida y posteriormente aplicaremos la regla de Barrow.

Enunciado

Calcula la integral definida

\[\int_0^1(x^2+x+1)e^{-x}dx\]

La solución aquí

La solución aquí

Realicemos primero, usando el método de integración por partes, la integral indefinida.

\[\int(x^2+x+1)e^{-x}dx=\left[\begin{array}{cc}
u=x^2+x+1&dv=e^x \\
du=(2x+1)dx&v=e^x
\end{array}\right]=\]

\[=(x^2+x+1)e^x-\int(2x+1)e^xdx=(\ast)\]

Volviendo a aplicar el método de integración por partes en la última integral

\[(\ast)=\left[\begin{array}{cc}
u=2x+1&dv=e^x \\
du=2dx&v=e^x
\end{array}\right]=(x^2+x+1)e^x-\left((2x+1)e^x-\int2e^xdx\right)=\]

\[=x^2e^x+xe^x+e^x-2xe^x-e^x+2e^x+C=\]

\[=x^2e^x-xe^x+2e^x+C=(x^2-x+2)e^x+C\]

Usemos ahora la regla de Barrow para resolver la integral definida.

\[\int_0^1(x^2+x+1)e^{-x}dx= \left.(x^2-x+2)e^x\right]_0^1=2e-2\]

La integral definida que se ha calculado representa el área del recinto representado en la figura siguiente.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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