Home » Selectividad Matemáticas II » Continuidad y derivadas » Acceso Universidad Matemáticas II – Continuidad y derivadas (1)

Acceso Universidad Matemáticas II – Continuidad y derivadas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de Castilla-La Mancha en las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (propuesta A).

Enunciado

a) Calcula los valores de los parámetros \(a,b\in\mathbb{R}\) para que la función

\[f(x)=\begin{cases}
x^2-2x+a\quad \text{si}\quad x\leq0\\
x^2+be^x+3\quad\text{si}\quad x>0
\end{cases}\]

sea continua y derivable en \(x=0\). [1,5 puntos]

b) Para los valores de \(a\) y \(b\) encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f(x)\) en el punto de abscisa \(x=0\). [1 punto]

La solución aquí

La solución aquí

a) Estudiemos la continuidad de \(f\) en \(x=0\).

\[\begin{cases}
\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2-2x+a)=a\\
\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x^2+be^x+3)=b+3
\end{cases}\]

Por tanto, como también \(f(0)=a\), para que \(f\) sea continua en \(x=0\) se ha de cumplir, por un lado, que \(a=b+3\).

Estudiemos ahora la derivabilidad de \(f\) en \(x=0\). Salvo en este punto la función derivada es

\[f'(x)=\begin{cases}
2x-2\quad\text{si}\quad x<0\\
2x+be^x\quad\text{si}\quad x>0
\end{cases}\]

Por tanto las derivadas laterales en \(x=0\) son:

\[\begin{cases}
\displaystyle f’_-(0)=\lim_{x\rightarrow0^-}f'(x)=\lim_{x\rightarrow0^-}(2x-2)=-2\\
\displaystyle f’_+(0)=\lim_{x\rightarrow0^+}f'(x)=\lim_{x\rightarrow0^+}(2x+be^x)=b
\end{cases}\]

De aquí se deduce, por otro lado, que \(b=-2\) y sustituyendo en \(a=b+3\) deducimos también que \(a=1\).

b) La imagen en \(x=0\) es \(f(0)=a=1\) y la derivada en \(x=0\) es \(f'(0)=b=-2\). Por tanto, la recta tangente en el punto de abscisa \(x=0\) es

\[y-f(0)=f'(0)(x-0)\Rightarrow y-1=-2x\Rightarrow y=-2x+1\]

En la siguiente figura se puede apreciar la gráfica de la función (en rojo) y la recta tangente en \(x=0\) (en verde).

Obsérvese como en las cercanías de \(x=0\) la recta tangente se confunde con la gráfica de la función.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Conoce cómo se procesan los datos de tus comentarios.

x

Check Also

Acceso Universidad Matemáticas II – Matrices, determinantes y sistemas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de ...

¿Te atreves? Un problema de matemáticas (3)

El lado desigual de un triángulo isósceles mide \(2\sqrt{2}\) unidades y se encuentra sobre la ...

La recta en el plano. Paralelismo, perpendicularidad y distancias

Una recta \(r\) está completamente determinada si conocemos un punto suyo \(A(a_1,a_2)\) y un vector \(\vec{u}=(u_1,u_2)\) que ...

A %d blogueros les gusta esto: