Home » Divulgación de las Matemáticas » ¿Te atreves? » ¿Te atreves? Un problema de matemáticas (3)

¿Te atreves? Un problema de matemáticas (3)

El lado desigual de un triángulo isósceles mide \(2\sqrt{2}\) unidades y se encuentra sobre la recta \(r\equiv y=x\). El vértice opuesto es el punto \(A(0,4)\). Averiguar la longitud de los lados iguales y determinar las coordenadas del baricentro.

La solución aquí

La solución aquí

Llamemos \(B\) y \(C\) a los vértices que se encuentran sobre la recta \(r\equiv y=x\). Entonces tienen que ser de la siguiente manera: \(B(b,b)\) y \(C(c,c)\), con lo que el vector que une \(B\) con \(C\) es \(\overrightarrow{BC}=(c-b,c-b)\). Entonces:

\[\left|\overrightarrow{BC}\right|=2\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{(c-b)^2+(c-b)^2}=2\sqrt{2}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow2(c-b)^2=8\Rightarrow(c-b)^2=4\Rightarrow\begin{cases}c-b=-2\\c-b=2\end{cases}\]

Por otro lado, el punto medio de \(B\) y \(C\) es \(M=\left(\dfrac{b+c}{2},\dfrac{b+c}{2}\right)\). Hallemos la recta \(t\) perpendicular a \(r\) que pasa por el punto \(A(0,4)\) (que es la altura correspondiente al lado \(\overline{BC}\)). Como un vector director de \(r\) es \(\vec{u}=(1,1)\), un vector perpendicular suyo será \(\vec{v}=(-1,1)\). Por tanto:

\[t\equiv\frac{x-0}{-1}=\frac{y-4}{1}\Rightarrow t\equiv x=-y+4\Rightarrow t\equiv x+y-4=0\]

Hallemos pues el punto de corte \(P\) de \(r\) y \(s\): \(r\cap s=P\). Para ello debemos de resolver el sistema formado por las ecuaciones de las rectas \(r\) y \(s\):

\[\begin{cases}x=y\\x+y-4=0\end{cases}\Rightarrow2y-4=0\Rightarrow y=2\Rightarrow x=2\]

Por tanto \(r\cap s=P(2,2)\). Pero es obvio que \(P=M\). Por tanto \(\dfrac{b+c}{2}=2\Rightarrow b+c=4\).

Así, tenemos dos posibilidades.

Una:

\[\begin{cases}c-b=-2\\b+c=4\end{cases}\Rightarrow2c=2\Rightarrow c=1\Rightarrow b=3\]

Dos:

\[\begin{cases}c-b=2\\b+c=4\end{cases}\Rightarrow2c=6\Rightarrow c=3\Rightarrow b=1\]

En cualquier caso \(B(1,1)\) y \(C(3,3)\) son los otros dos vértices del triángulo. Por tanto, los lados iguales son \(\overline{AB}\) y \(\overline{AC}\). Su longitud es

\[\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{(1-0)^2+(1-4)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\]

Ahora podemos hallar las rectas sobre las que se encuentran los otros dos lados del triángulo.

Recta que contiene al lado \(\overline{AB}\):

\[\frac{x-0}{1-0}=\frac{y-4}{1-4}\Rightarrow\frac{x}{1}=\frac{y-4}{-3}\Rightarrow-3x=y-4\Rightarrow 3x+y-4=0\]

Recta que contiene al lado \(\overline{AC}\):

\[\frac{x-0}{3-0}=\frac{y-4}{3-4}\Rightarrow\frac{x}{3}=\frac{y-4}{-1}\Rightarrow-x=3y-12\Rightarrow x+3y-12=0\]

La recta perpendicular al lado \(\overline{AB}\) que pasa por \(C\) (altura correspondiente al lado \(\overline{AB}\)) será:

\[\frac{x-3}{3}=\frac{y-3}{1}\Rightarrow x-3=3y-9\Rightarrow x-3y+6=0\]

El punto donde se cortan las dos alturas que tenemos de que disponemos es el baricentro del triángulo. Para calcularlo resolvemos el sistema formado por las dos rectas:

\[\begin{cases}x+y-4=0\\x-3y+6=0\end{cases}\Rightarrow4y-10=0\Rightarrow y=\frac{5}{2}\Rightarrow x+\frac{5}{2}-4=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\]

Por tanto, el baricentro del triángulo es el punto \(\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right)\).

En este enlace a desmos puedes ver cómo queda el triángulo.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Conoce cómo se procesan los datos de tus comentarios.

x

Check Also

Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (3)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2018 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Integrales y áreas (2)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Aplicaciones de las derivadas (1)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en septiembre de 2011 por la Universidad de ...

Acceso Universidad Matemáticas II – Matrices, determinantes y sistemas (2)

Este ejercicio de Matemáticas II fue propuesto en junio de 2014 por la Universidad de ...

A %d blogueros les gusta esto: