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¿Te atreves? Un problema de matemáticas (2)

  • Enunciado
De un cuadrado conocemos la ecuación de una de sus diagonales, \(d\equiv x+2y-5=0\) y un vértice, \(A(2,-1)\). Calcula el resto de vértices y su área.

Solución

Solución

Es fácil comprobar que el vértice \(A\) no está en la diagonal \(d\) puesto que el punto \(A(2,-1)\) no satisface la ecuación \(x+2y-5=0\). Esto nos permite calcular, en primer lugar, la otra diagonal del cuadrado. Debe ser una recta perpendicular a la diagonal \(d\) que pasa por el punto \(A\). Puesto que un vector director de \(d\) es \(\vec{u}=(-2,1)\), un vector perpendicular suyo será \(\vec{v}=(1,2)\). La otra diagonal del cuadrado será pues la recta que pasa por el punto \(A(2,-1)\) y tiene la dirección del vector \(\vec{v}\). Daremos su ecuación en forma continua y general:

\[\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}\Rightarrow 2x-4=y+1\Rightarrow 2x-y-5=0\]

Ahora vamos a hallar el punto de corte de las dos diagonales (el centro del cuadrado). Para ello basta resolver el sistema formado por las ecuaciones de ambas diagonales:

\[\begin{cases}
x+2y-5=0 \\
2x-y-5=0
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
x+2y-5=0 \\
4x-2y-10=0
\end{cases}\Rightarrow5x-15=0\Rightarrow x=3\Rightarrow y=1\]

Así, el punto donde se cortan ambas diagonales es \(M(3,1)\). Este punto \(M\) ha de ser el punto medio del vértice \(A(2,-1)\) y su vértice opuesto, que llamaremos \(C(a,b)\). Vamos a calcularlo.

\[\begin{cases}
\frac{a+2}{2}=3\\
\frac{b-1}{2}=1
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
a+2=6\\
b-1=2
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
a=4\\
b=3
\end{cases}\]

Por tanto, el vértice opuesto al vértice \(A\) es \(C(4,3)\). De aquí podemos hallar la longitud de la diagonal, que será igual al módulo del vector \(\overrightarrow{AC}\). O sea:

\[\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|(2,4)\right|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\]

Si llamamos \(l\) a la longitud del lado de un cuadrado y \(d\) a la longitud de la diagonal, podemos deducir el área del cuadrado (\(l^2\)) usando el teorema de Pitágoras:

\[l^2+l^2=d^2\Rightarrow2l^2=d^2\Rightarrow l^2=\frac{d^2}{2}=\frac{\left(2\sqrt{5}\right)^2}{2}=\frac{4\cdot5}{2}=10\,\text{u}^2\]

Llamemos \(B\) y \(D\) a los otros dos vértices del cuadrado. Puesto que están situados sobre la recta \(x+2y-5=0\), entonces \(x=-2y+5\), lo que indica que cada uno de los dos vértices \(B\) y \(D\) serán de la forma \((-2y+5,y)\). La distancia de cada uno de estos puntos al punto \(M\) ha de ser igual a \(\sqrt{5}\) (la mitad de la diagonal), luego:

\[\sqrt{(-2y+5-3)^2+(y-1)^2}=\sqrt{(2-2y)^2+(y-1)^2}=\]

\[=\sqrt{4-8y+4y^2+y^2-2y+1}=\sqrt{5}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\sqrt{5y^2-10y+5}=\sqrt{5}\Rightarrow5y^2-10y+5=5\Rightarrow\]

\[\Rightarrow y^2-2y=0\Rightarrow y(y-2)=0\Rightarrow\begin{cases}
y=0\\
y=2
\end{cases}\]

Si \(y=0\), tenemos que \(x=-2\cdot0+5=5\); y si \(y=2\) tenemos que \(x=-2\cdot2+5=1\). Luego los vértices \(B\) y \(D\) serán \(B(5,0)\), \(D(1,2)\).

Hasta aquí lo que se pide en el enunciado del problema. Cuando hacemos problemas de geometría en el plano, es conveniente representar gráficamente los resultados obtenidos haciendo uso de una aplicación gráfica. Por ejemplo, con la aplicación online desmos podemos representar el punto y la diagonal que se dan como datos en el enunciado, y luego ir representando cada elemento que vamos hallando. También puede ser una buena idea hallar las ecuaciones de cada uno de los lados del cuadrado y representarlas. Las ecuaciones tanto en forma continua como general, son las siguientes.

Ecuación del lado que pasa por los vértices \(A\) y \(B\).

\[\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}\Rightarrow x-3y-5=0 \]

Ecuación del lado que pasa por los vértices \(B\) y \(C\).

\[\frac{x-5}{-1}=\frac{y}{3}\Rightarrow 3x+y-15=0 \]

Ecuación del lado que pasa por los vértices \(C\) y \(D\).

\[\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{1}\Rightarrow x-3y+5=0\]

Ecuación del lado que pasa por los vértices \(D\) y \(A\).

\[\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{3}\Rightarrow 3x+y-5=0\]

Para tener una buena impresión del cuadrado, de sus diagonales y de sus vértices, podemos restringir los valores de \(x\) en cada una de las rectas (para ello se hace uso de desigualdades con la variable \(x\), desigualdades que se sitúan entre llaves). La figura queda del siguiente modo.

En este enlace puedes analizar cómo se hace paso a paso.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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¿Te atreves? Un problema de matemáticas (1)

Referencia. Conde, J.M.; Sepulcre, J.M. Problemas elementales de olimpiadas matemáticas. Publicaciones Universidad de Alicante, 2013.

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