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Recta perpendicular a una dada. Representaciones gráficas con desmos

En un antiguo artículo de esta web se hace un estudio completísimo de la relación que guarda la ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas y la recta en el plano afín, intentando unir la parte algebraica y analítica con la parte geométrica. En el artículo citado aparecen dos de las ecuaciones más conocidas de la recta en el plano: la ecuación afín o explícita, la cual viene dada por \(y=mx+n\), y la ecuación general o implícita, que viene dada por \(Ax+By+C=0\).

La aplicación desmos es capaz de dibujar rectas en el plano, ya sea en su forma explícita o en su forma implícita (entre otras). De hecho, es capaz de dibujar todas las rectas del tipo \(y=mx+n\), en las que los coeficientes \(m\) y \(n\) recorren un intervalo de números reales. Así por ejemplo podemos dibujar todas las rectas mencionadas en las que \(m\) y \(n\) recorren valores entre \(-10\) y \(10\). Para verlo puedes reproducir el siguiente video.

Por supuesto, también sería capaz de dibujar todas las rectas de la forma \(Ax+By+C=0\). Bastaría para ello proceder como en el caso anterior, añadiendo los controles deslizantes \(A\), \(B\) y \(C\).

En este otro artículo se demuestra que el valor de \(m\) que aparece en la ecuación afín o explícita es igual a la tangente trigonométrica del ángulo \(\alpha\) que forma la recta con el eje horizontal o eje \(X\), es decir: \(m=\text{tg}\,\alpha\). A este valor se le llama pendiente de la recta, nombre que lo único que pretende es transmitir la idea de que con él se puede medir la inclinación de la misma. En el mismo artículo también se demuestra una fórmula para hallar el ángulo formado por dos rectas que se cortan (secantes), que depende exclusivamente de las pendientes de las mismas. De hecho, si tomamos dos rectas \(r\) y \(s\) de pendientes respectivas \(m_1\) y \(m_2\), se tiene que

\[\text{tg}\,\alpha=\frac{m_2-m_1}{1-m_1m_2}\]

donde también hemos llamado \(\alpha\) al ángulo que forman las rectas \(r\) y \(s\).

La fórmula anterior proporciona una condición necesaria y suficiente de perpendicularidad para dos rectas conocidas sus pendientes. En el caso de que dos rectas sean perpendiculares, el ángulo que forman es de \(90^{\circ}\), cuya tangente no existe. Dicho de otro modo, la tangente trigonométrica tiende a hacerse cada vez más grande conforme más nos vamos acercando al ángulo de \(90^{\circ}\). Esto ocurre necesariamente cuando el denominador de la formula anterior se acerca cada vez más a cero. De hecho, cuando el denominador es cero, las rectas \(r\) y \(s\) son perpendiculares:

\[r \bot s \Leftrightarrow 1 + {m_1}{m_2} = 0 \Leftrightarrow {m_2} = – \frac{1}{{{m_1}}}\]

De este modo si la recta \(r\) tiene ecuación \(y=mx+n\) una recta perpendicular a \(r\) que pase por un punto cualquiera \(P(a,b)\) tendrá ecuación

\[y-b=-\frac{1}{m}(x-a)\]

Por cierto, a la ecuación anterior se le llama ecuación punto-pendiente de la recta, y también se deduce en el segundo de los artículos mencionados anteriormente.

De nuevo, para visualizar lo anterior, desmos nos deja dibujar todas las rectas perpendiculares a cualquiera dada que pasa por un punto cualquiera dado. Observa el siguiente video.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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