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Ebola virus

Virus y notación científica

Un artículo de Xataka Ciencia escrito por Sergio Parra se titula ¿Cuántos virus hay en el mundo? Y a mí me viene estupendamente para traducirlo a notación científica, cuestión que aprenden y repasan mis alumnos de matemáticas de 4º de Secundaria y de 1º de Bachillerato.
El artículo mencionado comienza diciendo que, a pesar de que seamos incapaces de asumir cifras tan gigantescas, en el planeta Tierra hay aproximadamente un número de virus igual a un \(1\) seguido de \(31\) ceros. Este número, en notación científica, se escribe así:

\[1\cdot10^{31}=10^{31}\]

En general, un número escrito en notación científica es de la forma

\[k\cdot10^r\]

donde \(k\) es un número decimal cuya parte entera está entre \(1\) y \(9\). Al número \(r\) (la potencia a la que está elevada el número \(10\)) se le llama orden de magnitud. Así, el número de virus que hay en el planeta Tierra tiene orden de magnitud \(30\). El orden de magnitud \(6\) se sitúa en la escala del millón, el orden de magnitud \(12\) en la escala del billón, el orden de magnitud \(18\) en la escala del trillón y el orden de magnitud \(24\) en la escala del cuatrillón (un cuatrillón es un billón de billones). Siguiendo con la sucesión, el orden de magnitud \(30\) estará en la escala del quintillón y, aunque no seamos capaces de asumir cifras tan gigantescas, podemos hacernos una ligera idea de lo que supone el número de virus del planeta Tierra, ya que

\[10^{31}=10\cdot10^{30}\]

Por tanto, el número de virus que hay en el planeta Tierra es de unos 10 quintillones. El artículo mencionado al principio, para asumir esta cantidad tan “salvaje” de virus, establece una analogía. Suponiendo que un virus mide unos \(100\) nanómetros de media, y que un milímetro es un millón de nanómetros, en un milímetro cabrían, aproximadamente, unos 10000 virus.

Pues bien, traduzcamos a lenguaje matemático, es decir, a notación científica, y veremos que esto es exactamente así. Un nanómetro (abreviadamente nm) es la milmillonésima parte de un metro (un metro dividido entre mil millones), es decir:

\[1\,\text{nm}=\frac{1}{1000000000}\,\text{m}=\frac{1}{10^9}\,\text{m}=10^{-9}\,\text{m}=10^{-9}\cdot10^3\,\text{mm}=10^{-6}\,\text{mm}\]

Obsérvese que el nanómetro, que está en la escala del milmillonésimo, se corresponde con el orden de magnitud \(-9\) (en el sistema internacional la unidad de longitud es el metro, y con ella se comparan las demás). Usando que un metro son mil milímetros (\(1\,\text{m}=10^3\,\text{mm}\)), también hemos expresado un nanómetro en milímetros: \(1\,\text{nm}=10^{-6}\text{mm}\). Si multiplicamos los dos miembros de esta igualdad por \(10^6\) obtendremos:

\[1\cdot10^6\,\text{nm}=10^{-6}\cdot10^6\text{mm}\Rightarrow10^6\,\text{nm}=10^0\,\text{mm}\Rightarrow10^6\,\text{nm}=1\,\text{mm}\]

Es decir, un milímetro es un millón de nanómetros, tal y como se afirmaba en el artículo (hemos usado que diez elevado a cero es igual a uno). Por tanto, como un virus mide \(100=10^2\) nanómetros de media, dividiendo \(10^6\) nanómetros que son un milímetro, entre \(10^2\), tenemos:

\[\frac{10^{6}}{10^2}=10^{6-2}=10^4=10000\]

Esto justifica que en un milímetro hay unos \(10000\) virus.

Siguiendo con la analogía, a continuación se nos plantea una pregunta: ¿qué altura alcanzaríamos si amontonáramos todos los virus, uno encima de otro, construyendo un pilar, una torre vertical de virus? Ya hemos visto que en un milímetro hay \(10000\) virus, o sea, \(10^4\) virus. Como en el planeta Tierra hay \(10^{31}\) virus, una sencilla división nos lleva a que, amontonados, los virus alcanzarían la siguiente altura:

\[\frac{10^{31}}{10^4}=10^{27}\,\text{mm}=\frac{10^{27}}{10^6}=10^{21}\,\text{km}\]

Este último número también lo podemos escribir así:

\[10^{21}\,\text{km}=10^3\cdot10^{18}\,\text{km}=1000\cdot10^{18}\,\text{km}\]

Y puesto que el orden de magnitud \(18\) se corresponde con la escala del trillón, la altura de esta fantástica torre de virus mediría mill trillones de kilómetros, tal y como se afirma en el artículo mencionado. Esta distancia, \(10^{21}\,\text{km}\), para poder hacernos otra idea, tiene la escala de interestelar. Veamos por qué.

Recordemos que un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Como la luz viaja, aproximadamente, a trescientos mil kilómetros por segundo, en metros por segundo podemos escribir que la velocidad de la luz es \(3\cdot10^8\,\text{m/s}\). Calculemos ahora los segundos que tiene un año, suponiendo que un año tiene \(365,25\) días, y escribamos tal cantidad en notación científica:

\[365,25\cdot24\cdot60\cdot60\,\text{seg}=31557600\,\text{seg}=3,15576\cdot10^7\,\text{seg}\]

Por tanto, en un año la luz recorre, en metros:

\[3\cdot10^8\cdot3,15576\cdot10^7\,\text{m}=9,46728\cdot10^{15}\,\text{m}\]

Esta distancia la podemos redondear a \(9,46\cdot10^{12}\) m, puesto que, en realidad, la velocidad de la luz es algo inferior a \(3\cdot10^8\,\text{m/s}\) (exactamente es igual a 299 792 458 m/s). Si dividimos \(9,46\cdot10^{12}\) entre mil, obtenemos los kilómetros que son un año luz:

\[\frac{9,46\cdot10^{15}}{10^3}=9,46\cdot10^{12}\,\text{km}\]

Esta cantidad, por ser de orden de magnitud \(12\), se encuentra en la escala de los billones, es decir, la luz recorre al año casi \(10\) billones de kilómetros. Teniendo en cuenta que la longitud de nuestra torre de virus era de \(10^{21}\,\text{km}\), una sencilla operación nos permite expresar la longitud de la misma en años luz:

\[\frac{10^{21}}{9,46\cdot10^{12}}=0,105708\cdot10^9=105,708\cdot10^6\ \text{años luz}\]

Dicho de otro modo, nuestra torre mide unos \(105\) millones de años luz. Para hacernos una idea pensemos en la distancia de Plutón a la Tierra. La distancia orbital media entre Plutón y la Tierra es de \(5,913\cdot10^9\) km (unos seis mil millones de kilómetros). Dividiendo entre los kilómetros que son un año luz:

\[\frac{5,913\cdot10^9}{9,46\cdot10^{12}}=0,625\cdot10^{-3}=6,25\cdot10^{-4}\ \text{años luz}\]

Esta cantidad es mejor expresarla en una unidad más manejable. Por ejemplo, en horas luz. Una hora luz es la distancia que recorre la luz en una hora. Como una hora tiene \(3600\) segundos, esta distancia es, tanto en metros como en kilómetros:

\[3600\cdot3\cdot10^8=1,08\cdot10^{12}\,\text{m}=1,08\cdot10^9\,\text{km}\]

Por tanto, la distancia de Plutón a la Tierra es, en horas luz:

\[\frac{5,913\cdot10^9}{1,08\cdot10^9}\approx5,475\]

También podíamos haber llegado a esta cantidad multiplicando los años luz a los que está Plutón por \(8766\), que son las horas que tiene un año:

\[8766\cdot6,25\cdot10^{-4}=54787,5\cdot10^{-4}\approx5,47875\]

Bien, todo este rodeo para decir que Plutón (que ya está lejos) se encuentra a unas cinco horas luz de la Tierra. Recordemos que nuestra torre de virus tenía una longitud de \(105\) millones de años luz, es decir, unos \(920430\) millones de horas luz (\(9,2\cdot10^{11}\approx10^{12}\) horas luz). Ahora ya nos podemos hacer una idea de la longitud de nuestra torre: ¿qué son cinco horas luz comparadas con casi un billón?

Hace poco vi un tweet de Alex Riveiro en el que se mostraba una imagen de la Nebulosa del Renacuajo, una región de formación de estrellas a unos \(12000\) años luz del Sistema Solar, todavía una distancia insignificante comparada con nuestro magnífico pilar de virus.

Por último citar que, en el artículo mencionado al principio también se dice, textualmente:

Nuestro pilar, con todos los virus del planeta unos encima de otros, pasaría de largo la Osa Mayor, una constelación de siete estrellas, la más lejana de las cuales se encuentra a \(55\) millones de años luz, y llegaría hasta más allá de la constelación del Cisne, que está a \(100\) millones de años luz.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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