Home » Álgebra » Fracciones continuas y raíces cuadradas
Aproximación de la raíz de dos por su fracción continua.

Fracciones continuas y raíces cuadradas

Rafael Bombelli, matemático italiano nacido en Bolonia, ideó un procedimiento de aproximación de raíces cuadradas expuesto en el libro I de su obra L’Álgebra parte maggiore dell’aritmetica divisa in tre libri (1572).

Utilizando el simbolismo moderno, el procedimiento de Bombelli se puede esquematizar del modo siguiente:

\[\sqrt{n}=\sqrt{a^2+b}=a+\frac{1}{x}\Rightarrow\frac{1}{x}=\sqrt{a^2+b}-a\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{(\sqrt{a^2+b}-a)(\sqrt{a^2+b}+a)}{\sqrt{a^2+b}+a}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b}+a}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\displaystyle\left(a+\frac{1}{x}\right)+a}\Rightarrow\frac{1}{x}=\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}\]

Por tanto:

\[\sqrt{n}=a+\frac{1}{x}=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{1}{x}}}=\]

\[=a+\frac{b}{\displaystyle 2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\frac{b}{\displaystyle2a+\ldots}}}}\]

Veamos un par de ejemplos.

Si \(n=2\), entonces:

\[\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1}=1+\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{2+\ldots}}}}\]

Si \(n=13\), entonces:

\[\sqrt{13}=\sqrt{3^2+4}=3+\frac{4}{6+\displaystyle\frac{4}{6+\displaystyle\frac{4}{6+\displaystyle\frac{4}{6+\ldots}}}}\]

Referencia bibliográfica

MEAVILLA, V. (2010) La sinfonía de Pitágoras. Barcelona: Editorial Almuzara S.L.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

x

Check Also

¿Te atreves? Un problema de matemáticas (3)

El lado desigual de un triángulo isósceles mide \(2\sqrt{2}\) unidades y se encuentra sobre la ...

La recta en el plano. Paralelismo, perpendicularidad y distancias

Una recta \(r\) está completamente determinada si conocemos un punto suyo \(A(a_1,a_2)\) y un vector \(\vec{u}=(u_1,u_2)\) que ...

El teorema de Bayes. Aproximándonos a la verdad

A principios del año 2017 la editorial RBA se puso en contacto conmigo para ofrecerme ...

¿Te atreves? Un problema de matemáticas (2)

Hasta aquí lo que se pide en el enunciado del problema. Cuando hacemos problemas de ...

A %d blogueros les gusta esto: