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Ecuaciones trigonométricas

Antes de comenzar la lectura de este artículo es conveniente tener unas nociones básicas de trigonometría. Para ello puedes leer los siguientes apuntes de trigonometría (son sólo 10 páginas). También, si quieres, puedes ver esta presentación sobre trigonometría básica.

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que la incógnita está afectada por alguna razón trigonométrica o, lo que es lo mismo, la incógnita se encuentra entre el argumento de alguna razón trigonométrica.

Así, la igualdad \(\cos x=\frac{1}{2}\) es una ecuación trigonométrica sencilla. La solución será el ángulo cuyo coseno es \(\frac{1}{2}\). Si consideramos que el ángulo es menor que \(360^{\circ}\) (primera vuelta), hay dos posibilidades, según que el ángulo se encuentre en el primer o en el cuarto cuadrante: \(x=60^{\circ}\), \(x=300^{\circ}\) (el coseno es positivo en el primer cuadrante y en el cuarto cuadrante). Si a cada uno de estos dos ángulos le sumamos un número entero de vueltas podemos escribir todas las soluciones de la ecuación: \(x=60^{\circ}+360^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\); \(x=300^{\circ}+360^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\).

A la función que proporciona el ángulo conocido el coseno se le llama función arcocoseno. El dominio de esta función es el intervalo \([-1,1]\) pues el coseno siempre toma valores entre \(-1\) y \(1\). Se toma como imagen o recorrido de la función el intervalo \([0,\pi]\), y es que si recorremos todos los ángulos entre \(0^{\circ}\) y \(180^{\circ}\), el coseno toma todos los valores posibles entre \(-1\) y \(1\). Las calculadoras disponen de la función arcocoseno (normalmente mediante la combinación de teclas SHITFT+cos se activa la función \(\cos^{-1}\), que para la calculadora es el arcocoseno). De hecho, una calculadora devuelve siempre un ángulo entre \(0^{\circ}\) y \(180^{\circ}\) cuando queremos saber el ángulo cuyo coseno conocemos. Por ejemplo, si \(\cos x=-0,58\), entonces \(x=\arccos(-0,58)\). Si la calculadora la tenemos en el modo grados (D) al pulsar SHIFT+cos+(-0,58) obtenemos \(x=125,45^{\circ}\). Hay otro ángulo en el tercer cuadrante que también es solución de la ecuación (en el segundo y tercer cuadrantes el coseno es negativo), pero este tenemos que calcularlo nosotros. Para ello hacemos \(180^{\circ}-128,45^{\circ}=54,55^{\circ}\), y ahora \(180^{\circ}+54,55^{\circ}=234,55^{\circ}\), que es la otra solución de la ecuación. Por tanto, podremos escribir todas las soluciones de la ecuación \(\cos x=-0,58\) así:

\[x=125,45^{\circ}+360^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\quad;\quad x=234,55^{\circ}+360^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\]

Si introducimos la función arcocoseno en cualquier aplicación informática que represente funciones podremos ver que, efectivamente, el dominio es el intervalo \([0,\pi]\).

Por ejemplo, DESMOS devuelve la siguiente gráfica cuando introducimos la función \(y=\arccos x\):

Gráfica de la función arcocoseno.

De manera similar a como hemos procedido anteriormente podemos resolver ecuaciones sencillas cuando se usa o bien el seno o bien la tangente.

Por ejemplo, consideremos la siguiente ecuación: \(\text{sen}\left(2x+ \frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{2}\). Existen dos ángulos de la primera vuelta cuyo seno es \(-\frac{1}{2}\): \(210^{\circ}\) y \(330^{\circ}\) o, lo que es lo mismo, \(\frac{7\pi}{6}\ \text{rad}\) y \(\frac{11\pi}{6}\ \text{rad}\). Entonces \(2x+\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{6}\), o bien \(2x+\frac{\pi}{2}=\frac{11\pi}{6}\). Es decir, \(2x=\frac{2\pi}{3}\) o bien \(2x=\frac{4\pi}{3}\). Si queremos escribir todas las soluciones pondremos:

\[\begin{cases}
2x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+k\pi\\
2x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}+k\pi
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\]

Obsérvese que, a diferencia del primer ejemplo visto en este artículo, ahora hemos dado la solución en radianes. También allí podríamos haberlo hecho así. Recuérdese que para pasar de grados a radianes o viceversa basta tener en cuenta que \(180^{\circ}\) equivalen a \(\pi\) radianes.

La función que proporciona el ángulo conocido el seno es la función arcoseno. Si tenemos una calculadora en el modo grados (D) y queremos saber el ángulo cuyo seno es \(-\frac{1}{2}\) bastará pulsar ahora la combinación de teclas SHIFT+sin y luego introducir el número \(-\frac{1}{2}\). Aparecerá en pantalla \(\sin^{-1}-\frac{1}{2}\) y la calculadora devolverá el valor \(-30^{\circ}\) una vez pulsada la tecla igual. Los ángulos negativos, a diferencia de los positivos, giran en el sentido de las agujas del reloj. Pero, en todo caso, el ángulo negativo \(-30^{\circ}\) se corresponde con el ángulo positivo \(330^{\circ}\). La función arcoseno, al igual que la función arcocoseno, también tiene dominio el intervalo \([-1,1]\), pero ahora se toma como recorrido o imagen de tal función el intervalo \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\). Por eso la calculadora no devolverá nunca un ángulo mayor que \(90^{\circ}\) al hacer uso de la función arcoseno. La representación gráfica en DESMOS de la función arcoseno es la siguiente:

Gráfica de la función arcoseno.

Una calculadora también permite hallar el ángulo conocida su tangente. Puesto que la tangente trigonométrica puede tomar cualquier valor real, la función arcotangente tiene dominio todo el conjunto \(\mathbb{R}\) de los números reales, y su imagen o recorrido es el intervalo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). Y es que entre \(-90^{\circ}=-\frac{\pi}{2}\ \text{rad}\) y \(90^{\circ}=\frac{\pi}{2}\ \text{rad}\), la tangente recorre todos los valores reales. En DESMOS la representación gráfica de la función arcotangente es la siguiente:

Gráfica de la función arcotangente.

Consideremos la ecuación \(\text{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0\). Al hacer \(\tan^{-1}0\) con la calculadora esta devuelve el ángulo \(0^{\circ}\), pero hay otro ángulo cuya tangente es \(0\): \(180^{\circ}\). Expresando estas soluciones en radianes tendremos que \(x+\frac{\pi}{2}=0\), o bien \(x+\frac{\pi}{2}=\pi\). Es decir:

\[\begin{cases}
x= -\frac{\pi}{2}+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\]

Hasta aquí hemos resuelto ecuaciones trigonométricas sencillas haciendo uso de las funciones arcocoseno, arcoseno y arcotangente. Y recordando además que la calculadora no proporciona todas las soluciones, sino que somos nosotros los que debemos de buscar todas las soluciones, al menos en la primera vuelta, es decir, entre \(0^{\circ}\) y \(360^{\circ}\).

Pero hay ecuaciones trigonométricas un poco más complicadas. En algunas de ellas habrá que hacer uso de las fórmulas trigonométricas para resolverlas. En general, para resolver una ecuación trigonométrica lo que hemos de conseguir es transformarla en otra ecuación equivalente en la que solamente aparezca una razón trigonométrica. A partir de ahí puede que todo sea más sencillo. Vamos a hacer algunas ecuaciones trigonométricas como ejemplo.

Ejemplo 1

\[\cos^2x-3\cos x+2=0\]

En este ejemplo la ecuación trigonométrica equivale a una ecuación de segundo grado. Haciendo \(\cos x=z\), la ecuación anterior se transforma en \(z^2-3z+2=0\), cuyas soluciones son \(z=1\) y \(z=2\). Por tanto \(\cos x=1\) y \(\cos x=2\). La ecuación \(\cos x=2\) no proporciona soluciones pues el coseno de un ángulo se encuentra siempre entre \(-1\) y \(1\). Si \(\cos x=1\), entonces \(x=0^{\circ}\), con lo que todas las soluciones las podríamos escribir así:

\[x=0^{\circ}+360^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\Rightarrow x=360^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\]

Ejemplo 2

\[\text{sen}\,x+\cos x=1\]

De la fórmula fundamental de la trigonometría, \(\text{sen}^2x+\cos^2x=1\), se deduce \(\text{sen}\,x=\sqrt{1-\cos^2x}\) y de aquí:

\[\text{sen}\,x+\cos x=1\Rightarrow\text{sen}\,x=1-\cos x\Rightarrow\sqrt{1-\cos^2x}=1-\cos x\]

Ahora, elevando los dos miembros al cuadrado:

\[1-\cos^2x=1-2\cos x+\cos^2x\Rightarrow 2\cos^2x-2\cos x=0\Rightarrow 2\cos x(\cos x-1)=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\begin{cases}
\cos x=0\\
\cos x =1
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
x=90^{\circ}+360^{\circ}k\\
x=270^{\circ}+360^{\circ}k\\
x=0^{\circ}+360^{\circ}k
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\]

La solución \(x=270^{\circ}+360^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\) hay que descartarla porque no cumple la ecuación original, ya que \(\text{sen}\,270^{\circ}=-1\).

Otra forma de resolver esta ecuación es elevar directamente los dos miembros al cuadrado:

\[(\text{sen}\,x+\cos x)^2=1^2\Rightarrow \text{sen}^2x+2\text{sen}\,x\cos x+\cos^2x=1\Rightarrow\]

\[\Rightarrow2\text{sen}\,x\cos x+1=1\Rightarrow2\text{sen}\,x\cos x=0\]

Ahora usando la fórmula del seno del ángulo doble, \(\text{sen}\,2x=2\text{sen}\,x\cos x\), tenemos:

\[\text{sen}\,2x=0\Rightarrow\begin{cases}
2x=0^{\circ}+360^{\circ}k\\
2x=180^{\circ}+360^{\circ}k
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\Rightarrow\begin{cases}
x=0^{\circ}+180^{\circ}k\\
x=90^{\circ}+180^{\circ}k
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\]

De nuevo, de aquí tenemos que descartar algunas soluciones que no cumplen la ecuación original. Estas son \(x=180^{\circ}\) y \(x=270^{\circ}\). Por tanto, el conjunto de soluciones queda como antes:

\[\begin{cases}
x=0^{\circ}+360^{\circ}k\\
x=90^{\circ}+360^{\circ}k
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\]

Ejemplo 3

\[1=\frac{\text{sen}\,2x}{2}+\cos^2x\]

Haciendo uso de la fórmula del seno del ángulo doble, \(\text{sen}\,2x=2\text{sen}\,x\cos x\), tenemos:

\[1=\frac{2\text{sen}\,x\cos x}{2}+\cos^2x\Rightarrow1=\text{sen}\,x\cos x+\cos^2x\Rightarrow1-\cos^2x-\text{sen}\,x\cos x=0\]

De la fórmula fundamental de la trigonometría, \(\text{sen}^2x+\cos^2x=1\), se tiene \(1-\cos^2x=\text{sen}^2x\). Entonces:

\[\text{sen}^2x-\text{sen}\,x\cos x=0\Rightarrow\text{sen}\,x(\text{sen}\,x-\cos x)\Rightarrow\begin{cases}
\text{sen}\,x=0\\
\text{sen}\,x=\cos x
\end{cases}\]

Si \(\text{sen}\,x=0\), entonces \(x=0^{\circ}+360^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\) y \(x=180^{\circ}+360^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\), soluciones que se pueden resumir en una sola expresión: \(x=180^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\).

Si \(\text{sen}\,x=\cos x\), entonces \(x=45^{\circ}+360^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\) y \(x=225^{\circ}+360^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\), soluciones que se pueden resumir en una sola expresión: \(x=45^{\circ}+180^{\circ}k,\,k\in\mathbb{Z}\).

Ejemplo 4

\[\text{sen}^2x=\frac{3(1-\cos x)}{2}\]

Multiplicando por \(2\) y haciendo uso de la fórmula fundamental de la trigonometría tenemos:

\[2(1-\cos^2x)=3(1-\cos x)\Rightarrow 2-2\cos^2x=3-3\cos x\Rightarrow 2\cos^2x-3\cos x+1=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[\cos x=\frac{3\pm\sqrt{9-8}}{4}=\frac{3\pm1}{4}\Rightarrow\begin{cases}
\cos x=1\\
\cos x=\frac{1}{2}
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
x=0^{\circ}+360^{\circ}k\\
x=60^{\circ}+360^{\circ}k\\
x=300^{\circ}+360^{\circ}k
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\]

Ejemplo 5

\[\text{sen}\,3x-\cos 3x=\text{sen}\,x-\cos x\]

Para resolver esta ecuación vamos a recurrir a la transformación de sumas y restas en productos (nos referimos a las cuatro últimas fórmulas de esta relación de fórmulas trigonométricas).

\[\text{sen}\,3x-\cos 3x=\text{sen}\,x-\cos x\Rightarrow \text{sen}\,3x-\text{sen}\,x=\cos 3x-\cos x\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 2\cos2x\text{sen}\,x=-2\text{sen}\,2x\text{sen}\,x\Rightarrow 2\cos2x\text{sen}\,x+2\text{sen}\,2x\text{sen}\,x=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 2\text{sen}\,x(\cos2x+\text{sen}\,2x)=0\Rightarrow\begin{cases}
\text{sen}\,x=0\\
\cos2x=-\text{sen}\,2x
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
x=0^{\circ}+360^{\circ}k\\
x=180^{\circ}+360^{\circ}k\\
2x=135^{\circ}+360^{\circ}k\\
2x=315^{\circ}+360^{\circ}k
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \begin{cases}
x=180^{\circ}k\\
x=67,5^{\circ}+180^{\circ}k\\
x=157,5^{\circ}+180^{\circ}k
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\Rightarrow \begin{cases}
x=180^{\circ}k\\
x=67,5^{\circ}+90^{\circ}k
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\]

El último ejemplo consistirá en resolver un sistema de ecuaciones trigonométricas.

Ejemplo 6

\[\begin{cases}
\text{sen}^2\frac{x}{2}-\text{sen}\,y=\frac{1}{4}\\
\cos x+\cos^2y=\frac{1}{4}
\end{cases}\]

Para resolver este sistema haremos uso de la fórmula del seno del ángulo mitad. Luego eliminaremos denominadores y resolveremos el sistema por reducción para obtener de este modo una ecuación trigonométrica en una de las dos incógnitas.

\[\begin{cases}
\text{sen}^2\frac{x}{2}-\text{sen}\,y=\frac{1}{4}\\
\cos x+\cos^2y=\frac{1}{4}
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
\frac{1-\cos x}{2}-\text{sen}\,y=\frac{1}{4}\\
\cos x+\cos^2y=\frac{1}{4}
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
2-2\cos x-4\text{sen}\,y=1\\
4\cos x+4\cos^2y=1
\end{cases}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\begin{cases}
2\cos x+4\text{sen}\,y=1\\
4\cos x+4\cos^2y=1
\end{cases}\textbf{(*)}\ \Rightarrow\begin{cases}
-4\cos x-8\text{sen}\,y=-2\\
4\cos x+4\cos^2y=1
\end{cases}\]

Sumando se obtiene la ecuación \(-8\text{sen}\,y+4\cos^2 y=-1\). Sustituyendo \(\cos^2y\) por \(1-\text{sen}^2y\) y operando tenemos:

\[-8\text{sen}\,y+4-4\text{sen}^2y=-1\Rightarrow4\text{sen}^2y+8\text{sen}\,y-5=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado tenemos que \(\text{sen}\,y=-\frac{5}{2}\) y \(\text{sen}\,y=\frac{1}{2}\). El primer caso no proporciona soluciones pues el seno de un ángulo siempre toma valores entre \(-1\) y \(1\). En el segundo caso, sustituyendo en \textbf{(*)}, se obtiene \(\cos x=-\frac{1}{2}\). Entonces

\[\text{sen}\,y=\frac{1}{2}\Rightarrow\begin{cases}
y=30^{\circ}+360^{\circ}k\\
y=150^{\circ}+360^{\circ}k
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\quad;\quad\cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow\begin{cases}
x=120^{\circ}+360^{\circ}k\\
x=240^{\circ}+360^{\circ}k
\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\]

El mundo de las ecuaciones trigonométricas es, como el de las ecuaciones de cualquier otro tipo, interminable. Sólo un buen entrenamiento y la tenacidad nos permitirán resolver ecuaciones trigonométricas de casi cualquier tipo. Evidentemente, habrá algunas que no sepamos resolver, pero no importa: hay ecuaciones trigonométricas que son prácticamente imposible de resolver usando las técnicas y métodos básicos de la trigonometría a nivel de bachillerato. En los ejercicios 11 y 14 de esta relación de ejercicios de trigonometría tienes varias ecuaciones trigonométricas. En el ejercicio 15 tienes también algunos sistemas de ecuaciones trigonométricas. La solución de cada ecuación y de cada sistema se encuentra al final de la relación.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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