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Definición de logaritmo.

Logaritmos. ¿Qué son? Definición, propiedades y ejercicios

Consideremos la ecuación \(2^x=75\). Como quiera que \(2^6=64\) y \(2^7=128\), es fácil darse cuenta de que la solución de la ecuación debe ser un número comprendido entre \(6\) y \(7\). Esto es porque, cuanto mayor es \(x\), mayor es \(2^x\) (la razón precisa que daría un matemático es que la función exponencial de base mayor que \(1\) es creciente). Por esta misma razón, no es aventurado conjeturar que tal número debe estar más cerca de \(6\) que de \(7\), toda vez que \(75\) está más próximo a \(64\) que a \(128\). De hecho, con una calculadora podemos ver que \(2^{6,2}\cong73,517\). Afinando un poco más tenemos que \(2^{6,22}\cong74,543\) y que \(2^{6,23}\cong75,061\). Esto quiere decir que si tomamos \(x=6,23\) tendremos una buena aproximación de la solución de la ecuación \(2^x=75\). Si queremos aproximaciones más finas, es decir, con mayor número de cifras decimales, bastará echar mano de nuevo de la calculadora e ir probando. Así por ejemplo, una gran aproximación de la solución es \(x=6,2288\), puesto que \(2^{6,2288}\cong74,99903\). Una de las mejores aproximaciones a la solución que podemos hallar con una calculadora es \(x=6,22881869\). De hecho, \(2^{6,22881869}=74,99999997\). En matemáticas, a la solución de la ecuación \(2^x=75\) se le llama logaritmo en base \(2\) de \(75\). Vamos a establecer una definición general de manera rigurosa.

Podemos afirmar que un logaritmo es la solución de una ecuación del tipo \(a^x=b\) en la que el número \(a\) lo consideraremos mayor que \(0\) y distinto de \(1\). Más concretamente, al número \(x\) solución de la ecuación \(a^x=b\) con \(a>0\) y \(a\neq1\), lo llamaremos logaritmo en base \(a\) de \(b\) y escribiremos simbólicamente y por definición:

\[a^x=b\Leftrightarrow x=\log_ab\]

No pocos se preguntarán el porqué de la restricción \(a>0\) y \(a\neq1\). Tomamos \(a\) distinto de \(1\) porque \(1^x=1\) para todo número real \(x\), con lo cual no tiene mucho sentido plantear ecuaciones del tipo \(a^x=b\) cuando \(a=1\). La razón por la que tomamos \(a>0\) es más delicada. Recordemos que dado un número natural \(k\), por las propiedades de las potencias, \(\left(a^{1/k}\right)^k=a\). Pero esto es imposible si tomamos \(k=2\) y \(a<0\), pues no hay ningún número real cuyo cuadrado sea \(a\) si \(a\) es menor que cero, es decir, no tenemos forma coherente de definir \(a^{1/2}\) (la raíz cuadrada de \(a\) con \(a<0\)). Por esta razón nos limitaremos a considerar números reales positivos como base de nuestras potencias.

Consecuencia inmediata de la definición de logaritmo son las siguientes igualdades:

\[\log_a a^x=x\quad ;\quad \log_a a=1\quad ;\quad \log_a1=0\]

A continuación vamos a demostrar, a partir de las propiedades de las potencias, algunas propiedades de los logaritmos.

Son conocidas las siguientes propiedades de las potencias (producto y cociente de potencias de la misma base):

\[a^x\cdot a^y=a^{x+y}\quad;\quad \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}\]

Si llamamos \(a^x=b\) y \(a^y=c\), es decir, \(x=\log_ab\) e \(y=\log_ac\), entonces:

\[\log_a(b\cdot c)=\log_a(a^x\cdot a^y)=\log_a a^{x+y}=x+y=\log_ab+\log_ac\]

\[\log_a\frac{b}{c}=\log_a\frac{a^x}{a^y}=\log_a a^{x-y}=x-y=\log_ab-\log_ac\]

Hemos demostrado pues que los logaritmos transforman productos en sumas y divisiones en restas. Además, usando lo anterior:

\[\log_ab^n=\log_a(b\cdot b\cdot\ldots^{(n\,\text{veces})}\ldots\cdot b)=\]

\[=\log_ab+\log_ab+\ldots^{(n\,\text{veces})}\ldots+\log_ab=n\log_ab\]

Así hemos demostrado también que el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Podríamos aplicar esto último para calcular el logaritmo de una raíz de índice \(k\):

\[\log_a\sqrt[k]{b}=\log_ab^{1/k}=\frac{1}{k}\log_ab=\frac{\log_ab}{k}\]

Resumiendo:

\[\log_a(b\cdot c)=\log_ab+\log_ac\]

\[\log_a\frac{b}{c}=\log_ab-\log_ac\]

\[\log_ab^n=n\log_a\]

\[\log_a\sqrt[k]{b}=\frac{\log_ab}{k}\]

Los logaritmos en base \(10\) reciben el nombre de logaritmos decimales y, habitualmente, en lugar de escribir \(\log_{10}\) se escribe simplemente \(\log\). Los logaritmos en base el número \(e\) reciben el nombre de logaritmos neperianos y se suele escribir \(\ln\) en lugar de \(\log_e\). Las calculadoras científicas más simples contienen una tecla para el logaritmo decimal: log y otra para el logaritmo neperiano: ln. ¿Cómo hacer entonces para calcular \(\log_275\) con la calculadora, sin necesidad de emplear el proceso mencionado al principio de este artículo? Necesitaríamos alguna propiedad más, alguna igualdad en la que se relacionaran logaritmos de distintas bases.

Sea \(x=\log_ab\), es decir, \(a^x=b\). Tomando logaritmos decimales en ambos miembros de la última igualdad tenemos:

\[\log a^x=\log b\Rightarrow x\log a=\log b\Rightarrow x=\frac{\log b}{\log a}\Rightarrow\log_ab=\frac{\log b}{\log a}\]

Si en vez de tomar logaritmos decimales tomáramos logaritmos neperianos llegaríamos a la siguiente igualdad:

\[\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}\]

En general

\[\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\]

La fórmula anterior recibe el nombre de fórmula del cambio de base.

De este modo, usando la fórmula del cambio de base, podemos hacer uso de la calculadora para hallar \(\log_275\):

\[\log_275=\frac{\log75}{\log2}=6,22881869\]

La propiedades según la cuales los logaritmos transforman productos en sumas y divisiones en restas fueron los detonantes del descubrimiento de los logaritmos, llevado a cabo por el matemático escocés John Napier (1550-1617). Para saber más sobre Napier y las aplicaciones de los logaritmos puedes consultar una serie de artículos titulados “Logaritmos. Contexto histórico y aplicaciones“.

Para un estudiante los logaritmos hacen su aparición al estudiar las matemáticas de los últimos cursos de la enseñanza secundaria. Una vez que se ha motivado el contexto en el que aparecen los logaritmos, la definición de logaritmo y sus propiedades, se le propone al alumno practicar mediante la resolución de ejercicios. Vamos a proponer algunos de ellos, incluyendo la solución de los mismos. Para la resolución de ecuaciones logarítmicas puedes consultar aquí.

Ejercicios

  • Ejercicio 1

Aplicando la definición, halla el valor de los logaritmos:

a) \(\log_3\sqrt{27}\),  b) \(\log_5\sqrt[3]{25}\),  c) \(\log_7\dfrac{1}{49}\),  d) \(\log_9\sqrt[3]{3}\),

e) \(\log_33\sqrt{3}\),  f) \(\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{8}\),  g) \(\log_30,\widehat{3}\),  h) \(\log_80,125\)

  • Ejercicio 2

Tomando \(\log2=0,301\) y \(\log 3=0,477\), hallar:

a) \(\log_38\),  b) \(\log60\),  c) \(\log\sqrt{0,012}\)

  • Ejercicio 3

Hallar el valor de la expresión \(\displaystyle \frac{\displaystyle\log\frac{1}{a^2}+\log\sqrt[3]{a}}{\displaystyle\log a-\log a^3}\).

  • Ejercicio 4

Demuestra que \(a^{\log_ak}=k\) y calcula el valor de \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\log_23}\).

  • Ejercicio 5

Sin hacer uso de la calculadora hallar el valor de \(2^{\log_43}\).

  • Ejercicio 6

Expresa como un solo logaritmo \(\displaystyle3\ln a-\frac{1}{2}\ln b+5\left(\ln a-\frac{1}{2}\ln b\right)\).

  • Ejercicio 7

Halla el valor de \(a\) para que se cumplan las siguientes igualdades:

a) \(\log_a12+\log_a3=2\),  b) \(3^a=10\),

c) \(\log a=1+3\log2-\dfrac{1}{2}\log64\),

d) \(\ln a=\log_3243-\log_{\sqrt{3}}\dfrac{1}{9}\)

Soluciones

  • Solución al ejercicio 1

a) \(\log_3\sqrt{27}=x\Leftrightarrow3^x=\sqrt{27}\Leftrightarrow 3^x=3^{3/2}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\).

b) \(\log_5\sqrt[3]{25}=x\Leftrightarrow5^x=\sqrt[3]{25}\Leftrightarrow5^x=5^{2/3}\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\).

c) \(\log_7\dfrac{1}{49}=x\Leftrightarrow7^x=\dfrac{1}{49}\Leftrightarrow7^x=7^-2\Leftrightarrow x=-2\).

d) \(\log_9\sqrt[3]{3}=x\Leftrightarrow9^x=\sqrt[3]{3}\Leftrightarrow9^x=3^{1/3}\Leftrightarrow3^{2x}=3^{1/3}\Leftrightarrow2x=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{6}\).

e) \(\log_33\sqrt{3}=x\Leftrightarrow3^x=3\sqrt{3}\Leftrightarrow3^x=3\cdot3^{1/2}\Leftrightarrow 3^x=3^{3/2}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\).

f) \(\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{8}=x\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=\sqrt{8}\Leftrightarrow2^{-x}=2^{3/2}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\).

g) \(\log_30,\widehat{3}=x\Leftrightarrow3^x=0,\widehat{3}\Leftrightarrow3^x=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow3^x=3^{-1}\Leftrightarrow x=-1\).

h) \(\log_80,125=x\Leftrightarrow8^x=0,125\Leftrightarrow8^x=\dfrac{125}{1000}\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\cdot301+0,477-3}{2}=-0,9605\)

  • Solución al ejercicio 2

a) \(\log_38=\dfrac{\log8}{\log3}=\dfrac{\log2^3}{\log3}=\dfrac{3\log2}{\log3}=\dfrac{3\cdot0,301}{0,477}=1,893\).

b) \(\log60=\log(2\cdot3\cdot10)=\log2+\log3+\log10=\)

\(=0,301+0,477+1=1,778\).

c) \(\log\sqrt{0,012}=\log\sqrt{12\cdot10^{-3}}=\log\sqrt{2^2\cdot3\cdot10^{-3}}=\)

\(=\dfrac{2\log2+\log3-3\log10}{2}=\dfrac{2\cdot301+0,477-3}{2}=-0,9605\).

  • Solución al ejercicio 3

\(\displaystyle \frac{\displaystyle\log\frac{1}{a^2}+\log\sqrt[3]{a}}{\displaystyle\log a-\log a^3}=\dfrac{\log a^{-2}+\log a^{1/3}}{\log a-\log a^3}=\)

\(=\dfrac{-2\log a+\frac{1}{3}\log a}{\log a-3\log a}=\frac{(-2+\frac{1}{3})\log a}{(1-3)\log a}=\frac{\frac{-5}{3}}{-2}=\frac{5}{6}\).

  • Solución al ejercicio 4

\(\log_a x=\log_a a^{\log_ak}\Rightarrow \log_a x=\log_ak\cdot\log_aa\Rightarrow\)

\(\Rightarrow\log_a x=\log_ak\Rightarrow x=k\Rightarrow a^{\log_ak}=k\).

Entonces: \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\log_23}=\dfrac{1}{2^{\log_23}}=\dfrac{1}{3}\).

  • Solución al ejercicio 5

Vamos a proceder de manera similar a como lo hemos hecho en el ejercicio anterior. Llamemos \(x=2^{\log_43}\). Tomando logaritmos en base \(4\) en los dos miembros de la igualdad:

\(\log_4x=\log_42^{\log_43}\Rightarrow\log_4x=\log_43\cdot\log_42\Rightarrow \log_4x=\log_43\cdot\dfrac{1}{2}\Rightarrow\)

\(\Rightarrow\log_43=\log_43^{1/2}\Rightarrow x=3^{1/2}=\sqrt{3}\).

Hemos utilizado que \(\log_42=\log_4\sqrt{4}=\log_44^{1/2}=\dfrac{1}{2}\cdot\log_44=\dfrac{1}{2}\).

  • Solución al ejercicio 6

\(\displaystyle3\ln a-\frac{1}{2}\ln b+5\left(\ln a-\frac{1}{2}\ln b\right)=\ln a^3-\ln b^{1/2}+\ln a^5-\ln b^{5/2}=\)

\(=\ln(a^3\cdot a^5)-\ln(b^{1/2}\cdot b^{5/2})=\ln a^8-\ln b^3=\ln\dfrac{a^8}{b^3}\).

  • Solución al ejercicio 7

a) \(\log_a12+\log_a3=2\Rightarrow \log_a36=2\Rightarrow a^2=36\Rightarrow a=6\).

b) \(3^a=10\Rightarrow \log3^a=\log10\Rightarrow a\log3=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{\log3}\).

c) \(\log a=1+3\log2-\dfrac{1}{2}\log64\Rightarrow \log a=\log 10+\log8-\log8\Rightarrow\)

\(\Rightarrow\log a=\log 10\Rightarrow a=10\).

d) \(\ln a=\log_3243-\log_{\sqrt{3}}\dfrac{1}{9}\Rightarrow \ln a=\log_33^5-\log_{\sqrt{3}}3^{-2}\Rightarrow\)

\(\Rightarrow\ln a=5\log_33-(-2)\log_{\sqrt{3}}3 \Rightarrow\ln a=5+2\cdot2\Rightarrow \ln a=9\Rightarrow a=e^9\).

Hemos utilizado que \(\log_{\sqrt{3}}3=x\Leftrightarrow\sqrt{3}\,^x=3\Leftrightarrow3^{x/2}=3\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=1\Leftrightarrow x=2\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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