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Resolución de triángulos

Partimos del conocimiento de las razones trigonoméricas de un ángulo agudo sobre un triángulo rectángulo. Es decir, conocemos que el seno de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es “cateto opuesto dividido entre hipotenusa”, el coseno del ángulo es “cateto contiguo dividido entre hipotenusa” y la tangente del ángulo es “cateto opuesto dividido entre cateto contiguo”.

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{a}{c}\quad;\quad\cos\alpha=\frac{b}{c}\quad;\quad \text{tg}\,\alpha=\frac{a}{b}\]

También sabemos que en un triángulo rectángulo se verifica el teorema de Pitágoras: “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

\[c^2=a^2+b^2\]

Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos a partir de los elementos (lados y ángulos) conocidos.

Resolución de triángulos rectángulos

En el caso de un triángulo rectángulo siempre se conoce un ángulo: el ángulo recto o de \(90^{\circ}\). Por tanto sólo se pueden presentar dos casos.

Caso 1. Se conocen dos lados

En este caso el tercer lado se calcula mediante el teorema de Pitágoras. El ángulo que forme la hipotenusa con uno de los catetos se halla a partir de la razón trigonométrica que los relaciona. Y, finalmente, el ángulo que queda por conocer es el complementario del anterior (dos ángulos son complementarios si suman \(90^{\circ}\)).

Caso 2. Se conocen un lado y uno de los dos ángulos agudos

Cualquiera de los otros dos lados se calcula mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos. El otro ángulo agudo es el complementario del ángulo conocido.

Por poner un ejemplo, supongamos que en la figura de más arriba se sabe que los catetos, en una determinada unidad de longitud, miden \(a=6\) y \(b=8\). Usando el teorema de Pitágoras hallamos la hipotenusa:

\[c^2=6^2+8^2\Rightarrow c^2=36+64\Rightarrow c^2=100\Rightarrow c=\sqrt{100}=10\]

Haciendo uso de la definición de seno de un ángulo sobre un triángulo rectángulo, hallamos uno de los dos ángulos agudos.

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{6}{10}\Rightarrow\alpha=\text{arcsen}\,0,6=36,87^{\circ}\]

El otro ángulo agudo es el complementario del anterior: \(90^{\circ}-\alpha=53,13^{\circ}\).

Una aplicación de lo anterior es el cálculo del área de un triángulo cualquiera. Consideremos, por ejemplo, el siguiente triángulo:

Si conocemos la longitud de dos lados \(a\) y \(b\) y el ángulo \(\alpha\) que forman ambos, es muy sencillo hallar la altura correspondiente a uno de los lados. Obsérvese que, en este caso, la altura \(h\) sobre el lado \(b\), divide al mismo en dos triángulos rectángulos. Si nos fijamos en el de la izquierda tenemos:

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{h}{a}\Rightarrow h=a\cdot\text{sen}\,\alpha\]

Ahora, puesto que el área \(A\) del triángulo es “base por altura dividido entre dos” deducimos que

\[A=\frac{b\cdot h}{2}\Rightarrow A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \text{sen}\,\alpha\]

Similar razonamiento se puede hacer en cualquier otro triángulo, aun siendo obtusángulo. Utilizando la altura correspondiente a uno de los lados, conseguiremos dos triángulos rectángulos, y esto permitirá conocer otras longitudes o distancias desconocidas. Este método se conoce con el nombre de estrategia de la altura para resolver triángulos no necesariamente rectángulos.

Resolución de triángulos cualesquiera

Podemos afirmar que un triángulo queda determinado cuando se conocen tres datos que no sean los tres ángulos. La estrategia a seguir para resolver un triángulo consiste en aplicar el teorema de los senos o el teorema del coseno, según convenga. Por supuesto, también haremos uso de que la suma de los tres ángulos de un triángulos es \(180^{\circ}\).

Al intentar resolver un triángulo es posible que no tenga solución, que tenga una solución (que es lo más habitual), o que tenga dos soluciones. Veamos los cuatro casos que se pueden presentar. Para ello es conveniente dibujar lo más fielmente posible el triángulo con los datos que se nos proporcionan. Pensemos que la solución puede ser un triángulo acutángulo u obtusángulo, incluso darse ambos casos cuando hay dos soluciones.

Caso 1. Se conocen un lado y dos ángulos

En este caso se puede aplicar el teorema de los senos, bien porque se conocen un lado y el ángulo opuesto, o bien porque conociendo dos ángulos se puede hallar el tercero. Siempre tiene una solución.

Por ejemplo, si en un triángulo conocemos \(a=6,4\) cm, \(B=55^{\circ}\) y \(C=82^{\circ}\), tenemos:

\[A=180^{\circ}-(B+C)\Rightarrow A=180^{\circ}-(55^{\circ}+82^{\circ})\Rightarrow A=43^{\circ}\]

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}\Rightarrow b=\frac{a\cdot\text{sen}\,B}{\text{sen}\,A}\Rightarrow b=\frac{6,4\cdot\text{sen}\,55^{\circ}}{\text{sen}\,43^{\circ}}=7,69\,\text{cm}\]

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{c}{\text{sen}\,C}\Rightarrow c=\frac{a\cdot\text{sen}\,C}{\text{sen}\,A}\Rightarrow c=\frac{6,4\cdot\text{sen}\,82^{\circ}}{\text{sen}\,43^{\circ}}=9,29\,\text{cm}\]

Caso 2. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Ahora podemos aplicar directamente el teorema de los senos, porque se conocen un lado y el ángulo opuesto. Este caso puede dar lugar a dos soluciones, una o ninguna, según los datos que nos proporcionen.

Por ejemplo, supongamos que \(a=6,2\) cm, \(b=7,4\) cm y \(A=48^{\circ}\)

En este caso puede haber dos soluciones.

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}\Rightarrow \text{sen}\,B=\frac{b\cdot\text{sen}\,A}{a}\Rightarrow \text{sen}\,B=\frac{7,4\cdot\text{sen}\,48^{\circ}}{6,2}=0,89\Rightarrow B=62,5^{\circ}\]

De aquí, como el ángulo suplementario de \(B\) tiene el mismo seno que \(B\), puede existir otra posibilidad para el ángulo \(B\), que es \(B=180^{\circ}-62,5^{\circ}=117,5^{\circ}\). Entonces también habrá dos posibilidades para el ángulo \(C\):

\[C=180^{\circ}-(62,5^{\circ}+48^{\circ})=69,5^{\circ}\quad;\quad C=180^{\circ}-(117,5^{\circ}+48^{\circ})=14,5^{\circ}\]

Finalmente, al igual que antes, tendremos dos posibilidades para el lado \(c\):

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{c}{\text{sen}\,C}\Rightarrow c=\frac{a\cdot\text{sen}\,C}{\text{sen}\,A}\Rightarrow c=\begin{cases}\displaystyle\frac{6,2\cdot\text{sen}\,69,5^{\circ}}{\text{sen}\,48^{\circ}}=7,81\,\text{cm}\\ \displaystyle\frac{6,2\cdot\text{sen}\,14,5^{\circ}}{\text{sen}\,48^{\circ}}=2,09\,\text{cm}\end{cases}\]

Caso 3. Se conocen dos lados y el ángulo que forman

En este caso, aplicando el teorema del coseno, podemos hallar el tercer lado. Siempre tiene una solución, y sólo una.

Como ejemplo, supongamos ahora que \(a=10,7\) cm, \(b=6,3\) cm y \(C=128^{\circ}\)

\[c^2=a^2+b^2+2\cdot a\cdot b\cdot\cos C\Rightarrow\]

\[\Rightarrow c^2=10,7^2+6,3^2-2\cdot10,7\cdot6,3\cdot\cos 128^{\circ}=237,18\Rightarrow c=15,4\,\text{cm}\]

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{c}{\text{sen}\,C}\Rightarrow \text{sen}\,A=\frac{a\cdot\text{sen}\,C}{c}\Rightarrow \text{sen}\,C=\frac{10,7\cdot\text{sen}\,128^{\circ}}{15,4}=0,5475\Rightarrow B=33,2^{\circ}\]

\[A=180^{\circ}-(B+C)\Rightarrow A=180^{\circ}-(33,2^{\circ}+128^{\circ})\Rightarrow A=18,8^{\circ}\]

Caso 4. Se conocen tres lados

Se debe aplicar el teorema del coseno para hallar el primer ángulo. No tiene solución si el lado mayor es mayor o igual que la suma de los otros dos. En los demás casos tiene una solución.

Por ejemplo, supongamos que \(a=7,3\) cm, \(b=6,2\) cm y \(c=5,4\) cm.

\[a^2=b^2+c^2+2\cdot b\cdot c\cdot\cos A\Rightarrow \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \cos A=\frac{6,2^2+5,4^2-7,3^2}{2\cdot6,2\cdot5,4}=0,2137\Rightarrow A=77,36^{\circ}\]

\[\frac{a}{\text{sen}\,A}=\frac{b}{\text{sen}\,B}\Rightarrow \text{sen}\,B=\frac{b\cdot\text{sen}\,A}{a}\Rightarrow \text{sen}\,B=\frac{6,2\cdot\text{sen}\,77,36^{\circ}}{7,3}=0,83\Rightarrow B=56,1^{\circ}\]

\[C=180^{\circ}-(A+B)\Rightarrow C=180^{\circ}-(77,36^{\circ}+56,1^{\circ})\Rightarrow A=46,54^{\circ}\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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