Home » Matematicas ESO » 4º ESO - Exámenes de matemáticas » Fracciones. Potencias. Radicales. Ecuaciones (1)

Fracciones. Potencias. Radicales. Ecuaciones (1)

  • Ejercicio 1 (2 puntos)

Resolver las siguientes operaciones con fracciones, simplificando en todo momento los pasos intermedios y el resultado.

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{3}\right):\left(1-\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}\right)}{\displaystyle1-\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}-1\right)}+1\)

\(\displaystyle\frac{\displaystyle3+\frac{3}{2+1/2}}{\displaystyle\frac{1}{15}+\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{2}\right)\cdot\frac{1}{5}}\)

La solución aquí

La solución aquí

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{3}\right):\left(1-\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}\right)}{\displaystyle1-\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}-1\right)}+1= \frac{\displaystyle\left(\frac{6}{15}-\frac{5}{15}\right):\left(1-\frac{6}{15}\right)}{\displaystyle1-\left(\frac{2}{9}-1\right)}+1=\)

\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\left(\frac{1}{15}\right):\left(\frac{9}{15}\right)}{\displaystyle1-\left(-\frac{7}{9}\right)}+1=\frac{\displaystyle\frac{15}{15\cdot9}}{\displaystyle1+\frac{7}{9}}+1=\frac{\displaystyle\frac{1}{9}}{\displaystyle\frac{16}{9}}+1=\frac{9}{9\cdot16}+1=\frac{1}{16}+1=\frac{17}{16}\)

\(\displaystyle\frac{\displaystyle3+\frac{3}{2+1/2}}{\displaystyle\frac{1}{15}+\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{2}\right)\cdot\frac{1}{5}}= \frac{\displaystyle3+\frac{3}{5/2}}{\displaystyle\frac{1}{15}+\left(\frac{3}{2}-\frac{5}{6}\right)\cdot\frac{1}{5}}= \frac{\displaystyle3+\frac{6}{5}}{\displaystyle\frac{1}{15}+\left(\frac{9}{6}-\frac{5}{6}\right)\cdot\frac{1}{5}}=\)

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{15}{5}+\frac{6}{5}}{\displaystyle\frac{1}{15}+\frac{4}{6}\cdot\frac{1}{5}}= \frac{\displaystyle\frac{21}{5}}{\displaystyle\frac{1}{15}+\frac{4}{30}}=\frac{\displaystyle\frac{21}{5}}{\displaystyle\frac{2}{30}+\frac{4}{30}}=\frac{\displaystyle\frac{21}{5}}{\displaystyle\frac{6}{30}}=\frac{21\cdot30}{5\cdot6}=\frac{21\cdot30}{30}=21\)

  • Ejercicio 2 (2 puntos)

Realiza las siguientes operaciones con potencias y simplifica el resultado todo lo posible (se puede dejar el resultado en forma de potencia).

\(\displaystyle\frac{4^2\cdot2^{-2}\cdot9^{-3}\cdot6^{3}}{12\cdot3^{-3}\cdot2\cdot3^{-3}}\)

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{5}{4}\right)^{-3}\cdot\left(\frac{25}{4}\right)^3}{\displaystyle5^3\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{-3}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2}\)

La solución aquí

La solución aquí

\(\displaystyle\frac{4^2\cdot2^{-2}\cdot9^{-3}\cdot6^{3}}{12\cdot3^{-3}\cdot2\cdot3^{-3}}=\frac{(2^2)^2\cdot2^{-2}\cdot(3^2)^{-3}\cdot(2\cdot3)^{3}}{(2^2\cdot3)\cdot3^{-3}\cdot2\cdot3^{-3}}=\frac{2^4\cdot2^{-2}\cdot3^{-6}\cdot2^{3}\cdot3^3}{2^2\cdot3\cdot3^{-3}\cdot2\cdot3^{-3}}=\)

\(\displaystyle=\frac{2^5\cdot3^{-3}}{2^3\cdot3^{-5}}=2^2\cdot3^2=4\cdot9=36\)

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\left(\frac{5}{4}\right)^{-3}\cdot\left(\frac{25}{4}\right)^3}{\displaystyle5^3\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{-3}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\frac{\displaystyle\left(\frac{4}{5}\right)^{3}\cdot\left(\frac{25}{4}\right)^3}{\displaystyle5^3\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{3}\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\)

\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{2^6}{5^3}\cdot\frac{5^6}{2^6}}{\displaystyle5^3\cdot\frac{5^2}{2^2}\cdot\frac{2^3}{5^3}\cdot\frac{2^4}{5^2}}=\frac{5^3}{2^5}=\frac{125}{32}\)

  • Ejercicio 3 (1 punto)

Opera y simplifica extrayendo factores siempre que sea posible (recuerda que has de factorizar los números que no sean primos).

\(\displaystyle\sqrt{16\sqrt[5]{64}}\)

\(\displaystyle3\sqrt{2}+4\sqrt{8}-\sqrt{32}+\sqrt{50}\)

La solución aquí

La solución aquí

\(\displaystyle\sqrt{16\sqrt[5]{64}}=\sqrt{2^4\sqrt[5]{2^6}}=\sqrt{\sqrt[5]{(2^4)^5\cdot2^6}}=\sqrt[10]{2^{20}\cdot2^6}=\sqrt[10]{2^{26}}=\)

\(\displaystyle=2^2\,\sqrt[10]{2^6}=4\,\sqrt[5]{2^3}=4\,\sqrt[5]{8}\)

\(\displaystyle3\sqrt{2}+4\sqrt{8}-\sqrt{32}+\sqrt{50}=3\sqrt{2}+4\sqrt{2^3}-\sqrt{2^5}+\sqrt{2\cdot5^2}=\)

\(\displaystyle=3\sqrt{2}+4\cdot2\,\sqrt{2}-2^2\,\sqrt{2}+5\,\sqrt{2}=(3+8-4+5)\sqrt{2}=12\,\sqrt{2}\)

  • Ejercicio 4 (1 punto)

Racionalizar las siguientes expresiones y simplificar el resultado en la medida de lo posible.

\(\displaystyle \frac{6}{\sqrt[3]{3}}\)

\(\displaystyle \frac{9}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\)

La solución aquí

La solución aquí

\(\displaystyle \frac{6}{\sqrt[3]{3}}=\frac{6\cdot\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{3^2}}=\frac{6\cdot\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3^3}}=\frac{6\cdot\sqrt[3]{9}}{3}=2\sqrt[3]{9}\)

\(\displaystyle \frac{9}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{9\cdot\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\cdot\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}=\)

\(\displaystyle =\frac{9\cdot\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2}=\frac{9\cdot\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{5-2}=\)

\(\displaystyle =\frac{9\cdot\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{3}=3\cdot\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\)

  • Ejercicio 5 (4 puntos)

Resolver las siguientes ecuaciones.

\(\displaystyle \frac{1}{3}(x+2)-\frac{1}{5}(2x-3)=4-\frac{2x}{15}\)

\(\displaystyle \frac{x+5}{3}+\frac{x-3}{2}=\frac{x+5}{5}-\frac{3x}{15}\)

\(\displaystyle \frac{x(x+1)}{5}=2x^2-4x\)

\(\displaystyle \left(\frac{3}{2}x-2\right)^2-(x-1)(x+1)=-2\)

La solución aquí

La solución aquí

\(\displaystyle \frac{1}{3}(x+2)-\frac{1}{5}(2x-3)=4-\frac{2x}{15}\Rightarrow5(x+2)-3(2x-3)=60-2x\Rightarrow\)

\(\Rightarrow 5x+10-6x+9=60-2x\Rightarrow5x-6x+2x=60-10-9\Rightarrow x=41\)

\(\displaystyle \frac{x+5}{3}+\frac{x-3}{2}=\frac{x+5}{5}-\frac{3x}{15}\Rightarrow10(x+5)+15(x-3)=6(x+5)-6x\Rightarrow\)

\(\Rightarrow10x+50+15x-45=6x+30-6x\Rightarrow\)

\(\Rightarrow10x+15x-6x+6x=30-50+45\Rightarrow\)

\(\displaystyle\Rightarrow25x=25\Rightarrow x=\frac{25}{25}\Rightarrow x=1\)

\(\displaystyle \frac{x(x+1)}{5}=2x^2-4x\)

\(\displaystyle \left(\frac{3}{2}x-2\right)^2-(x-1)(x+1)=-2\)

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

x

Check Also

Recta perpendicular a una dada. Representaciones gráficas con desmos

En un antiguo artículo de esta web se hace un estudio completísimo de la relación ...

¿Te atreves? Un problema de matemáticas (1)

Referencia. Conde, J.M.; Sepulcre, J.M. Problemas elementales de olimpiadas matemáticas. Publicaciones Universidad de Alicante, 2013.

La solución de la ecuación de segundo grado

Sabemos que una ecuación de segundo grado es una igualdad de la forma \[ax^2+bx+c=0\] donde ...

Virus y notación científica

Un artículo de Xataka Ciencia escrito por Sergio Parra se titula ¿Cuántos virus hay en ...

A %d blogueros les gusta esto: