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Una ecuación logarítmica.

Ecuaciones logarítmicas

En una ecuación logarítmica la incógnita está afectada por un logaritmo. Al igual que ocurría con las ecuaciones exponenciales, no hay un procedimiento concreto para resolver una ecuación logarítmica, pero debemos conocer y aplicar con criterio las propiedades de los logaritmos.

En general, la estrategia para resolver ecuaciones logarítmicas consiste en transformar la ecuación hasta que los dos miembros de la igualdad estén expresados mediante el mismo logaritmo y luego aplicar que si \(\log_am=\log_an\), entonces \(m=n\). Para ello se aplican las propiedades de los logaritmos y, si algún término es un número, se expresa mediante un logaritmo utilizando que \(k=\log_aa^k\).

Finalmente, una vez resuelta la ecuación logarítmica, se deberá comprobar que la solución no provoque la existencia de un logaritmo de un número negativo o de un logaritmo de cero, ya que ambas cosas no tienen sentido.

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones logarítmicas

  • Ejemplo 1

\[2\ln(x-3)=\ln x-\ln4\]

Aplicamos las propiedades de los logaritmos para expresar la ecuación de otra forma equivalente:

\[\ln(x-3)^2=\ln\left(\frac{x}{4}\right)\]

Entonces:

\[(x-3)^2=\frac{x}{4}\Rightarrow x^2-6x+9=\frac{x}{4}\Rightarrow4x^2-24x+36=x\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 4x^2-25x+36=0\]

Resolviendo esta última ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{25\pm\sqrt{625-576}}{4}=\frac{25\pm7}{8}=\begin{cases}x_1=\frac{32}{8}=4\\x_2=\frac{18}{4}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}\end{cases}\]

La solución \(x=\frac{9}{4}\) hemos de descartarla, ya que en la ecuación original no tendría sentido hacer \(\ln(x-3)\) para \(x=\frac{9}{4}\) (estaríamos haciendo el logaritmo de un número negativo, lo cual no tiene sentido). Por tanto, la única solución de esta ecuación logarítmica es \(x=4\).

  • Ejemplo 2

\[\ln(x+1)-\ln x=1\]

Como diferencia de logaritmos es igual a logaritmo de un cociente tenemos:

\[\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)=1\]

Pero \(1=\ln e\) (en general \(\log_aa=1\)). Por tanto:

\[\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)=\ln e\Rightarrow\frac{x+1}{x}=e\]

Para resolver esta ecuación eliminamos denominadores y agrupamos los términos que contengan la incógnita \(x\) en el primer miembro:

\[x+1=ex\Rightarrow x-ex=-1\Rightarrow(1-e)x=-1\Rightarrow x=\frac{-1}{1-e}=\frac{1}{e-1}\]

  • Ejemplo 3

\[\log e^{\ln x}+\ln x^{\log e}=1\]

Esta ecuación puede parecer un poco extraña, pero si hacemos uso de la propiedad \(\log_ab^c=c\log_ab\), tenemos:

\[\ln x\log e+\log e\ln x=1\Rightarrow2\log e\ln x=1\Rightarrow\ln x=\frac{1}{2\log e}\]

Y de aquí, usando la definición de logaritmo (\(\log_ax=b\Leftrightarrow x=a^b\)), podemos despejar con facilidad la incógnita \(x\):

\[x=e^{\displaystyle\frac{1}{2\log e}}\]

Con una calculadora se puede comprobar que \(x\approx3,16\).

  • Ejemplo 4

\[x^{1+\log x}=10x\]

Esta ecuación también tiene, en principio, un aspecto un poco extraño pues la incógnita está en el exponente y, además afectada de un logaritmo. Pero es muy fácil de resolver si aplicamos logaritmos decimales en los dos miembros de la igualdad.

\[\log x^{1+\log x}=\log(10x)\Rightarrow(1+\log x)\log x=\log10+\log x\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\log x+(\log x)^2=1+\log x\Rightarrow(\log x)^2=1\Rightarrow \log x=\pm\sqrt{1}\Rightarrow \]

\[\Rightarrow\begin{cases}\log x=1\Rightarrow x=10\\ \log x=-1\Rightarrow x=10^{-1}=\frac{1}{10}\end{cases}\]

  • Ejemplo 5

\[2x\ln x-3x=0\]

En primer lugar extraemos \(x\) factor común:

\[x(2\ln x-3)=0\]

Ahora hay dos posibilidades.

Una de ellas es que \(x=0\), solución que tenemos que descartar porque al sustituir en la ecuación original tendríamos que hacer el logaritmo de cero, cosa que no tiene sentido (el logaritmo sólo tiene sentido para números positivos).

La otra es que \(2\ln x-3=0\). En este caso despejamos \(\ln x\) y luego la incógnita \(x\) usando la definición de logaritmo:

\[2\ln x-3=0\Rightarrow \ln x=\frac{3}{2}\Rightarrow x=e^{\frac{3}{2}}=\sqrt{e^3}\]

En el ejercicio 2 de esta relación de ejercicios de ecuaciones exponenciales y logarítmicas tienes muchas más ecuaciones logarítmicas. La solución de cada una de ellas se encuentra al final de la relación.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

3 comentarios

  1. Julio Fernández Perdido

    Estimado Sr. Castro,

    En el ejemplo 1 se ha deslizado un error al reducir la ecuación x2 – 6x + 9 = x/4,

    que pasa a ser 4×2 – 25x + 36 = 0 , en lugar de 4×2 – 25x + 36 = x , que figura en el ejemplo.

    Consecuentemente, los valores de x son x1 = 4 y x2 = 9/4

    Atentamentye

    J F Perdido

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