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Una ecuación exponencial.

Ecuaciones exponenciales

Digamos que una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita se encuentra en el exponente. En general, de una un otra manera, una ecuación exponencial se puede reducir a una ecuación de la forma

\[a^x=b\]

donde \(a\) y \(b\) son números reales mayores que cero. La solución de la ecuación anterior se puede obtener aplicando logaritmos en los dos miembros de la igualdad:

\[\log a^x=\log b\Rightarrow x\log a=\log b\Rightarrow x=\frac{\log a}{\log b}\]

No hay un procedimiento general para resolver ecuaciones exponenciales, pero sí que es importante para su resolución conocer y aplicar las propiedades de las potencias, de las raíces y, en su caso, de los logaritmos. En la resolución de una ecuación exponencial, a un nivel de bachillerato, podemos aplicar alguno de estos cuatro casos:

  • Conseguir que los dos miembros de la ecuación tengan la misma base.
  • Aplicar un cambio de variable.
  • Extraer factor común.
  • Aplicar logaritmos.

Veamos algunos ejemplos que aclaren cada uno de los casos que se pueden presentar.

  • Ejemplo 1

\[2^x\cdot4^{2x-1}=16\]

En este caso, factorizando \(4\) y \(16\) y aplicando las propiedades de las potencias, podemos transformar la ecuación así:

\[2^x\cdot(2^2)^{2x-1}=2^4\Rightarrow2^x\cdot2^{4x-2}=2^4\Rightarrow2^{5x-2}=2^{4}\]

Como dos potencias de la misma base son iguales si sus exponentes son iguales tenemos:

\[5x-2=4\Rightarrow5x=6\Rightarrow x=\frac{6}{5}\]

  • Ejemplo 2

\[\frac{4^{x-1}}{2^{x+2}}=186\]

Procediendo como en el ejemplo anterior:

\[\frac{(2^2)^{x-1}}{2^{x+2}}=186\Rightarrow\frac{(2)^{2x-2}}{2^{x+2}}=186\Rightarrow2^{(2x-2)-(x+2)}=186\Rightarrow2^{x-4}=186\]

Pero en este caso, como \(186\) no se puede escribir como potencia de base \(2\), ya que \(186=2\cdot3\cdot31\), lo que hacemos es aplicar logaritmos:

\[2^{x-4}=186\Rightarrow\log2^{x-4}=\log186\Rightarrow(x-4)\log2=\log186\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x-4=\frac{\log186}{\log2}\Rightarrow x=\frac{\log186}{\log2}+4\]

  • Ejemplo 3

\[3^x+3^{x+2}=30\]

Como el producto de potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes, la ecuación anterior la podemos escribir así:

\[3^x+3^2\cdot3^x=30\Rightarrow3^x+9\cdot3^x=30\]

Sacando \(3^x\) factor común tenemos y operando obtenemos la solución:

\[3^x(1+9)=30\Rightarrow10\cdot3^x=30\Rightarrow3^x=3\Rightarrow x=1\]

  • Ejemplo 4

\[2^x+2^{1-x}=3\]

Procediendo como en el ejemplo anterior tenemos:

\[2^x+2\cdot2^{-x}=3\Rightarrow2^x+\frac{2}{2^x}=3\]

Ahora podemos llamar \[2^x=z\] (cambio de variable), con lo que la ecuación anterior queda de la siguiente manera:

\[z+\frac{2}{z}=3\Rightarrow z^2+2=3z\Rightarrow z^2-3z+2=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado tenemos:

\[z_1=1\ ;\ z_2=2\]

Si \(z=1\), entonces \(2^x=1\Rightarrow x=0\,\).

Si \(z=2\), entonces \(2^x=2\Rightarrow x=1\,\).

  • Ejemplo 5

\[2\cdot3^{2x-1}=1-3^{x-1}\]

Esta ecuación se puede transformar en esta otra:

\[2\cdot3^{2x}\cdot3^{-1}=1-3^x\cdot3^{-1}\Rightarrow\frac{2}{3}3^{2x}=1-\frac{1}{3}3^x\Rightarrow\frac{2}{3}(3^x)^2+\frac{1}{3}3^x-1=0\]

Ahora, haciendo el cambio de variable \(3^x=z\), tenemos:

\[\frac{2}{3}z^2+\frac{1}{3}z-1=0\Rightarrow2z^2-z-3=0\]

Si se resuelve esta última ecuación de segundo grado, tenemos que las soluciones son:

\[z_1=1\quad;\quad z_2=-\frac{3}{2}\]

Si \(z=1\), entonces \(3^x=1\Rightarrow x=0\,\).

Si \(z=-\dfrac{3}{2}\), entonces \(3^x=-\dfrac{3}{2}\), pero no existe ningún valor de \(x\) que cumpla esta última ecuación pues \(3^x\) es siempre positivo.

Por tanto, la única solución de la ecuación exponencial es \(x=0\).

En el ejercicio 1 de esta relación de ejercicios de ecuaciones exponenciales y logarítmicas tienes muchas más ecuaciones exponenciales. La solución de cada una de ellas se encuentra al final de la relación.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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