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¿Por qué un número no nulo elevado a cero es igual a uno?

El conjunto de los números reales, con las operaciones suma y producto tiene estructura de cuerpo. Esto quiere decir, entre otras cosas, que cualquier número real no nulo tiene inverso. En notación matemática esto lo escribimos así:

\[\forall\,a\in\mathbb{R}-\{0\}\,, \exists\,b\in\mathbb{R}\ :\ a\cdot b=1\]

Según lo anterior, si \(a\) es un número real no nulo, existe otro número \(b\) tal que, al multiplicarlo con \(a\), se obtiene como resultado el número uno (que es el elemento neutro de la multiplicación). Por ejemplo, si tomamos \(a=\frac{3}{4}\), econtramos \(b=\frac{4}{3}\) tal que \(a\cdot b=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{12}{12}=1\).

En general el inverso de \(a\), si \(a\neq0\), es \(\frac{1}{a}\), ya que \(a\cdot\frac{1}{a}=\frac{a}{a}=1\). El número \(0\) no tiene inverso ya que cualquier número multiplicado por cero es igual a cero. De aquí que la expresión numérica \(\frac{1}{0}\), así tal cual, carezca de sentido.

Al inverso de un número real \(a\) no nulo se le suele notar \(a^{-1}\). Entonces tenemos:

\[a\in\mathbb{R}-\{0\}\Rightarrow a\cdot a^{-1}=1\]

Al final de este artículo se definían las potencias de exponente natural y se demostraba, entre otras, la siguiente propiedad:

\[x^{n}\cdot x^{m}=x^{n+m}\,,\,\forall\, m\,,n\in\mathbb{N}\]

Si queremos que esta propiedad se conserve y teniendo en cuenta que, por definición, \(a^1=a\), tenemos:

\[a\in\mathbb{R}-\{0\}\Rightarrow 1=a\cdot a^{-1}=a^1\cdot a^{-1}=a^{1+(-1)}=a^0\]

En conclusión, si \(a\) es un número real no nulo, entonces \(a^{0}=1\). Por tanto, la expresión \(a^{0}=1\) es una consecuencia de que todo número real no nulo tiene inverso.

Las potencias de exponente negativo adquieren ahora todo su sentido. Recordemos que otra de las propiedades de las potencias es la siguiente:

\[(x^{n})^{m}=x^{nm}\,,\,\forall\, m\,,n\in\mathbb{N}\]

Entonces podemos escribir:

\[a^{-n}=(a^n)^{-1}=\frac{1}{a^n}\]

Entonces el significado de la expresión \(a^{-n}\) es inverso del número real \(a^n\). Como se puede apreciar acabamos de probar la fórmula para las potencias de exponente negativo:

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]

Si la base es una fracción podemos escribir igualmente:

\[\left(\frac{p}{q}\right)^{-n}=\frac{1}{\left(\frac{p}{q}\right)^n}=\frac{1}{\frac{p^n}{q^n}}=\frac{q^n}{p^n}=\left(\frac{q}{p}\right)^n\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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