Últimas noticias
Home » Divulgación de las Matemáticas » Triángulo equilátero inscrito en un círculo

Triángulo equilátero inscrito en un círculo

En un círculo se inscribe un triángulo equilátero de área 12 unidades cuadradas. ¿Cuál es el área de la región sombreada de azul?

Os aseguro que no es difícil. Con algo de imaginación, el área del triángulo, el área del círculo y ¡Pitágoras!, se puede dar con la solución.

De todas maneras puedes ver la solución aquí

De todas maneras puedes ver la solución aquí

El triángulo \(ABC\), de área \(12\), se puede dividir en tres triángulos iguales: \(AOB\), \(AOC\) y \(BOC\) de área \(4\) cada uno de ellos. El triángulo \(BOD\) tendrá pues área \(2\) por ser justo la mitad del triángulo \(BOC\).

Si llamamos \(l\) al lado del triángulo \(ABC\) su área será:

\[\frac{l\cdot(r+r/2)}{2}=\frac{l\cdot(3r/2)}{2}=\frac{3lr}{4}\]

Obsérvese que su altura es \(r+\dfrac{r}{2}\) pues \(BOD\) y \(BED\) también son triángulos iguales. Así pues:

\[\frac{3lr}{4}=12\Rightarrow lr=16\Rightarrow l=\frac{16}{r}\Rightarrow l^2=\frac{256}{r^2}\]

Por otro lado, en el triángulo \(BOD\), aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:

\[r^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2\Rightarrow r^2=\frac{l^2}{4}+\frac{r^2}{4}\Rightarrow 4r^2=l^2+r^2\Rightarrow l^2=3r^2\]

Sustituyendo el valor de \(l^2\):

\[\frac{256}{r^2}=3r^2\Rightarrow r^4=\frac{256}{3}\Rightarrow r=\sqrt[4]{\frac{256}{3}}\cong3,04\,\text{uds}\]

El área del la región sombreada de azul es el área del círculo menos la del triángulo:

\[\pi r^2-12=3,04^2\pi-12\cong17,03\,\text{uds}^2\]

Comentar

Su dirección de correo electrónico no será publicada.Los campos necesarios están marcados *

*

x

Check Also

Las matemáticas y yo

Yo y las matemáticas. Mis matemáticas y yo. Las matemáticas son mi vida. Las matemáticas ...

Movimiento en un plano vertical

Aceleración de la gravedad Todos los cuerpos en caída libre cerca de la superficie terrestre, ...

Integrales indefinidas y cálculo de áreas

Uno de los problemas típicos que se proponen siempre en Selectividad, en la materia de ...

Materiales para la preparación del acceso a la Universidad. Matemáticas II – 2º Bachillerato