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Lúnulas y el problema de la cuadratura del círculo. Cuadrando áreas limitadas por líneas curvas

Una lúnula es cualquiera de las dos figuras semejantes a una luna creciente (o menguante, según la que se tome) que se obtienen mediante la intersección de dos círculos.

Como el área \(A\) de un círculo es \(A=\pi\cdot r^2\), donde \(r\) es el radio del círculo, entonces el número \(\pi\) es la razón entre el área del círculo y su radio al cuadrado. Es decir: \(\pi=\dfrac{A}{r^2}\). Si llamamos \(d\) al diámetro del círculo, entonces \(d=2r\Rightarrow r=\dfrac{d}{2}\). Sustituyendo en la expresión anterior:

\[\pi=\frac{A}{\left(\frac{d}{2}\right)^2}=\frac{A}{\frac{d^2}{4}}=\frac{4A}{d^2}\Rightarrow\frac{\pi}{4}=\frac{A}{d^2}\]

O sea, la razón entre el área del círculo y el cuadrado levantado sobre su diámentro es una cantidad constantemente igual a \(\dfrac{\pi}{4}\). Como \(\pi<4\), entonces \(\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{A}{d^2}<1\Rightarrow A<d^2\)lo que demuestra también que el área del círculo es menor que el área del cuadrado levantado sobre su diámetro.

Hipócrates de Quíos, preocupado con el problema de la cuadratura del círculo (problema que ahora sabemos que es irresoluble), usó las razones anteriores, constatemente iguales a los números \(\pi\) y \(\dfrac{\pi}{4}\), para mostrar cómo se podía cuadrar un área limitada por líneas curvas.

En la figura siguiente se muestra una lúnula \(L\). Demostraremos que el área de la lúnula es igual al área del triángulo \(T\).

La lúnula \(L\), junto con el segmento circular \(S\) delimitado por el lado \(l\) del triángulo, forma un semicírculo de diámetro precisamente \(l\). A su vez, el sector \(S\) y el triángulo \(T\) forman un cuadrante del círculo de diámetro \(d\). Ahora bien, las áreas de esos círculos tienen la misma razón con las áreas de los cuadrados levantados sobre sus diámetros:

\[\frac{L+S}{l^2}=\frac{2\cdot(S+T)}{d^2}\]

Pero sabemos que el triángulo inscrito en el semicírculo es rectángulo, de manera que, por el teorema de Pitágoras, \(d^2=l^2+l^2=2l^2\). Lo que insertado en la fórmula anterior da:

\[\frac{L+S}{l^2}=\frac{2\cdot(S+T)}{2l^2}=\frac{S+T}{l^2}\]

Y, por tanto, \(L+S=S+T\Rightarrow L=T\). O sea, el área \(L\) de la lúnula es igual al área \(T\) del triángulo.

El que el área de una lúnula, con sus límites curvos, sea igual al área de un triángulo, con sus lados rectos, construido de manera precisa (usando regla y compás) a partir de la misma lúnula, hizo concebir esperanzas de que dado un círculo sería posible construir a partir de él un cuadrado, o un triángulo, de igual área. Y a buscar esa construcción se dedicaron los matemáticos griegos. Con ningún éxito, porque cuadrar el círculo (con regla y compás) es misión imposible, pero eso no se supo hasta finales del siglo XIX, aunque se sospechó mucho antes.

Fuente:

Pasiones, piojos, dioses… y matemáticas, de Antonio J. Durán

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