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Tangente de la diferencia de dos ángulos.

Fórmulas trigonométricas

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Vamos a obtener las razones trigonométricas del ángulo suma \(\alpha+\beta\) en función de las razones trigonométricas de \(\alpha\) y de \(\beta\). Para ello usaremos la siguiente figura, en la que se han representado los ángulos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\alpha+\beta\).

En el triángulo de color rojo \(OAB\), cuya hipotenusa \(\overline{OB}\) la tomamos como unidad, se tiene claramente que:

\[\cos\beta=\overline{OA}\quad\text{;}\quad\text{sen}\,\beta=\overline{AB}\]

En el triángulo de color azul \(OPB\) tenemos que:

\[\text{sen}(\alpha+\beta)=\frac{\overline{PB}}{\overline{OB}}=\overline{PB}\qquad(\text{I})\]

Además, podemos expresar \(\overline{PB}\) como \(\overline{QA}+\overline{AC}\). También tenemos que:

\[\text{sen}\,\alpha=\frac{\overline{QA}}{\overline{OA}}\Rightarrow\overline{QA}=\overline{OA}\,\text{sen}\,\alpha=\cos\beta\,\text{sen}\,\alpha\]

\[\cos\alpha=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}\Rightarrow\overline{AC}=\overline{AB}\,\cos\alpha=\text{sen}\,\beta\,\cos\alpha\]

Por tanto:

\[\overline{PB}=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(\text{II})\]

Igualando \((\text{I})\) y \((\text{II})\), obtenemos:

\[\text{sen}(\alpha+\beta)=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

A partir de la fórmula anterior y usando que \(\text{sen}(90^{\text{o}}+\phi)=\cos\phi\), y que \(\cos(90^{\text{o}}+\phi)=-\text{sen}\,\phi\), \(\forall\,\phi\), podemos demostrar una fórmula para el coseno de la suma de dos ángulos:

\[\cos(\alpha+\beta)=\text{sen}\left(90^{\text{o}}+(\alpha+\beta)\right)=\text{sen}\left((90^{\text{o}}+\alpha)+\beta\right)=\]

\[=\text{sen}(90^{\text{o}}+\alpha)\cos\beta+\cos(90^{\text{o}}+\alpha)\,\text{sen}\,\beta=\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

También podemos probar igualmente una fórmula para la tangente de la suma de dos ángulos:

\[\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{sen}(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta}=\]

Dividiendo todos los términos del numerador y del denominador entre \(\cos\alpha\cos\beta\) y simplificando nos queda:

\[\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\,\alpha+\text{tg}\,\beta}{1-\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}\]

Hemos obtenido pues las siguientes tres fórmulas, que son las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos.

\[\text{sen}(\alpha+\beta)=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(1)\]

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(2)\]

\[\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\,\alpha+\text{tg}\,\beta}{1-\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}\qquad(3)\]

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Teniendo en cuenta que \(\text{sen}(-\phi)=-\text{sen}\,\phi\) y que \(\cos(-\phi)=-\cos\phi\), si en la primera de las fórmulas anteriores ponemos \(-\beta\) en lugar de \(\beta\) obtenemos:

\[\text{sen}(\alpha-\beta)=\text{sen}(\alpha+(-\beta))=\text{sen}\,\alpha\,\cos(-\beta)+\cos\alpha\,\text{sen}(-\beta)=\]

\[=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,(-\text{sen}\,\beta)=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

Análogamente procederíamos con \(\cos(\alpha-\beta)\) y con \(\text{tg}(\alpha-\beta)\) para obtener las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos. Las demostraciones son muy similares a la anterior.

\[\text{sen}(\alpha-\beta)=\text{sen}\,\alpha\,\cos\beta-\cos\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(4)\]

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(5)\]

\[\text{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\text{tg}\,\alpha-\text{tg}\,\beta}{1+\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}\qquad(6)\]

Razones trigonométricas del ángulo doble

Si en las fórmulas \((1)\), \((2)\) y \((3)\) hacemos \(\alpha=\beta\), obtenemos las razones trigonométricas de \(2\alpha\) en función de \(\alpha\), es decir, las razones trigonométricas del ángulo doble. La demostración es obvia.

\[\text{sen}\,2\alpha=2\,\text{sen}\,\alpha\,\cos\alpha\qquad(7)\]

\[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\text{sen}^2\,\alpha\qquad(8)\]

\[\text{tg}\,2\alpha=\frac{2\text{tg}\,\alpha}{1-\text{tg}^2\,\alpha}\qquad(9)\]

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Veremos ahora cómo se obtienen las razones trigonométricas del ángulo \(\dfrac{\alpha}{2}\) en función de \(\cos\alpha\).

Teniendo en cuenta que \(\alpha=2\cdot\dfrac{\alpha}{2}\), aplicando la fórmula \((8)\) tenemos:

\[\cos\alpha=\cos\left(2\cdot\frac{\alpha}{2}\right)=\cos^2\frac{\alpha}{2}-\text{sen}^2\frac{\alpha}{2}\qquad(\text{III})\]

También es cierta la fórmula fundamental de la trigonometría para cualquier ángulo, en particular, para el ángulo \(\dfrac{\alpha}{2}\):

\[1=\cos^2\frac{\alpha}{2}+\text{sen}^2\frac{\alpha}{2}\qquad(\text{IV})\]

Sumando y restando las igualdades \((\text{III})\) y \((\text{IV})\) se obtienen las dos igualdades siguientes:

\[1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}\]

\[1-\cos\alpha=2\,\text{sen}^2\frac{\alpha}{2}\]

De estas igualdades se despejan, respectivamente, \(\cos\dfrac{\alpha}{2}\) y \(\text{sen}\dfrac{\alpha}{2}\). A partir de ellas se obtiene también \(\text{tg}\dfrac{\alpha}{2}\). Llegamos pues así a las razones trigonométricas del ángulo mitad.

\[\text{sen}\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\qquad(10)\]

\[\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\qquad(11)\]

\[\text{tg}\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\qquad(12)\]

En cada caso, el signo será positivo o negativo según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo \(\dfrac{\alpha}{2}\).

Sumas y diferencias de senos y de cosenos: transformación de sumas y diferencias en productos

A veces conviene expresar una suma o una diferencia en forma de producto. Vamos a deducir, por ejemplo, en qué producto se transforma la suma \(\cos A+\cos B\). Para ello nos basaremos en las fórmulas \((2)\) y \((5)\):

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\]

Sumando y restando las dos fórmulas anteriores obtenemos, respectivamente:

\[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta\qquad(\text{V})\]

\[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\,\text{sen}\,\alpha\,\text{sen}\,\beta\qquad(\text{VI})\]

Es conveniente cambiar la notación para facilitar los cálculos, así que llamaremos \(\displaystyle\begin{cases}\alpha+\beta=A\\\alpha-\beta=B\end{cases}\). Si en el sistema anterior despejamos \(\alpha\) y \(\beta\) tenemos que \(\alpha=\dfrac{A+B}{2}\), \(\beta=\dfrac{A-B}{2}\). Si ahora sustituimos los valores anteriores en \((\text{V})\) y \((\text{VI})\), obtenemos:

\[\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\]

\[\cos A-\cos B=-2\,\text{sen}\frac{A+B}{2}\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\]

Si se procede de manera similar utilizando las fórmulas del seno de la suma y de la diferencia de dos ángulos se pueden obtener expresiones para transformar sumas y diferencias de senos en productos. De esta manera tenemos finalmente las sumas y diferencias de senos y cosenos, las cuales transforman sumas y diferencias en productos.

\[\text{sen}\,A+\text{sen}\,B=2\,\text{sen}\frac{A+B}{2}\,\cos\frac{A-B}{2}\qquad(13)\]

\[\text{sen}\,A+\text{sen}\,B=2\cos\frac{A+B}{2}\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\qquad(14)\]

\[\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\,\cos\frac{A-B}{2}\qquad(15)\]

\[\cos A-\cos B=-2\,\text{sen}\frac{A+B}{2}\,\text{sen}\frac{A-B}{2}\qquad(16)\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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