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El radián es una nueva unidad para medir ángulos.

El radián

Cuando se comienza a trabajar la trigonometría, la medida de los ángulos que se utiliza es el grado sexagesimal. Esta medida proviene de la antigua Babilonia. Los babilonios supusieron, en un principio, que el año tenía 360 días y tomaron como medida angular “el recorrido diario del sol alrededor de la Tierra”. Esta forma de medir ha perdurado hasta nuestros días y su influencia se ha dejado notar, también, en la medición del tiempo.

Un grado sexagesimal es, por tanto, cada una de las 360 partes iguales en las que se divide una circunferencia. Cada grado se divide en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos.

Otra medida de los ángulos es el radián.

Definición

Si se toma cualquier circunferencia de radio \(r=\overline{OA}\) y se lleva esta longitud \(r\) sobre un arco de la circunferencia, es decir, \(r=\overline{OA}=\text{longitud}\,AB\), el ángulo central \(\alpha\) determinado por el arco y sus radios mide un radián: \(1\,\text{rad}\).

Relación entre grados sexagesimales y radianes

Para calcular a cuántos radianes equivale un ángulo completo de \(360^{\text{o}}\), basta con aplicar una sencilla relación de proporcionalidad directa. Dibujamos una circunferencia de radio \(r\) . Si a un arco de longitud \(r\) le corresponde un radián, a un arco de longitud la longitud de la circunferencia, \(2\pi r\) , le corresponderán \(x\) radianes. Es decir:

\[\frac{r}{1}=\frac{2\pi r}{x}\Rightarrow x=\frac{2\pi r}{r}=2\pi\]

Esto quiere decir que a un ángulo completo de \(360^{\text{o}}\) le corresponden \(2\pi\) radianes, o lo que es lo mismo, a un ángulo de \(180^{\text{o}}\) le corresponden \(\pi\) radianes. De este modo, para convertir un ángulo dado en grados, \(\alpha^{\text{o}}\), en radianes, \(\alpha\,\text{rad}\), o viceversa, basta con utilizar la siguiente proporción:

\[\frac{\alpha^{\text{o}}}{\alpha\,\text{rad}}=\frac{180^{\text{o}}}{\pi}\]

Veamos como ejemplo a cuantos grados sexagesimales equivale un radián:

\[\frac{\alpha^{\text{o}}}{1\,\text{rad}}=\frac{180^{\text{o}}}{\pi}\Rightarrow \alpha=\frac{1\cdot180}{\pi}\approx57,296^{\text{o}}\]

O sea, un radián es igual, aproximadamente, a \(57,296^{\text{o}}\), que expresado en grados minutos y segundos es:

\[1\,\text{rad}\approx57^{\text{o}}\,15’\,45”\]

Uso de la calculadora

Para hallar las razones trigonométricas de un ángulo dado en radianes hay que empezar poniendo la calculadora en el modo radianes: MODE RAD. Cada calculadora tiene una combinación de teclas propia para pasar al modo radianes. Normalmente una calculadora viene en modo grados sexagesimales: MODE DEG, que suele venir indicado con una D, o la abreviatura DEG en la parte superior. Cuando pasamos al modo radianes con la combinación de teclas adecuada, en la parte superior aparecerá una R o la abreviatura RAD. En estos momentos ya está lista la calculadora para hacer cálculos en radianes. Veamos un ejemplo.

Con la calculadora en el modo grados sexagesimales es muy fácil obtener que \(\text{sen}\,72^{\text{o}}\approx0,951\). Para ver que obtenemos el mismo valor en radianes, pasaremos \(72^{\text{o}}\) a radianes, y luego calcularemos el seno del valor obtenido, ya con la calculadora en el modo radianes.

\[\frac{72^{\text{o}}}{x\,\text{rad}}=\frac{180^{\text{o}}}{\pi}\Rightarrow x=\frac{72\cdot\pi}{180}=\frac{2\pi}{5}\text{rad}\]

Ahora, con la calculadora en modo radianes, podemos comprobar también que \(\text{sen}\dfrac{2\pi}{5}\approx0,951\).

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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