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Demostrando desigualdades

En matemáticas se hace mucho uso de las desigualdades numéricas y algebraicas. A veces tenemos que acotar una cantidad por otra para obtener un objetivo deseado. Por eso es buena cosa tener una técnica más o menos depurada en la demostración de desigualdades numéricas. Una técnica para demostrar una desigualdad numérica consiste en “trabajar para atrás” y luego dar la vuelta al razonamiento para obtener una prueba directa. Ya se hizo una demostración en el segundo problema de este artículo: “Haciendo demostraciones en Matemáticas I“.

A continuación se propone la demostración de tres desigualdades numéricas, cada una de ellas bajo la suposición de una determinada hipótesis (en los tres casos hipótesis muy sencillas y relajadas). En el segundo ejercicio se pone claramente de manifiesto lo que en el párrafo anterior se denominó “trabajar para atrás”.

Espero que os sirva.

  • Ejercicio 1

Demostrar que \(0<x+y-xy<1\), siempre que \(0<x<1\), \(0<y<1\).

La solución aquí

La solución aquí

Como \(y<1\Rightarrow 0<1-y\). Entonces:

\[\left.\begin{array}{r}0<x\\0<1-y\end{array}\right\}\Rightarrow 0<x(1-y)\Rightarrow0<x-xy\]

Y con más razón, por ser \(0<y\):

\[0<x+y-xy\qquad (1)\]

Por otro lado, como \(x<1\), \(y<1\), entonces \(1-x>0\), \(1-y>0\) y, por tanto:

\[(1-x)(1-y)>0\Rightarrow1-y-x+xy>0\Rightarrow1>x+y-xy\]

Es decir:

\[x+y-xy<1\qquad (2)\]

De \((1)\) y \((2)\) se sigue lo que se quería demostrar:

\[0<x+y-xy<1\]

  • Ejercicio 2

Si \(0<a<x<b\), demostrar que \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a+b-x}<\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\).

La solución aquí

La solución aquí

Como \(a<x\) y \(x<b\), entonces \(0<x-a\) y \(0<b-x\). Por tanto:

\[0<(x-a)(b-x)=xb-x^2-ab+ax\Rightarrow\]

\[\Rightarrow ab<ax+bx-x^2=x(a+b-x)\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{1}{x(a+b-x)}<\frac{1}{ab}\]

Como \(a+b>0\) la última desigualdad la podemos escribir así:

\[\frac{a+b}{x(a+b-x)}<\frac{a+b}{ab}\]

Y también así:

\[\frac{a+b-x}{x(a+b-x)}+\frac{x}{x(a+b-x)}<\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}\]

O sea:

\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a+b-x}<\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\]

que es justo lo que se quería demostrar.

Para obtener la prueba directa de este ejercicio, a partir de la hipótesis que se da, lo que se ha hecho en realidad es dar la vuelta al razonamiento consistente en trabajar marcha atrás, es decir, ir convirtiendo la desigualdad que nos piden probar en otras equivalentes a ella y más sencillas, hasta llegar a una que seamos capaces de deducir de la hipótesis dada.

En este caso obsérvese que, partiendo de la desigualdad que queremos demostrar, y haciendo las operaciones indicadas, podemos escribir la desigualdad en la forma

\[\frac{a+b}{x(a+b-x)}<\frac{a+b}{ab}\]

Es fácil ver que los denominadores de las fracciones anteriores son positivos. Por un lado, como tanto \(a\) como \(b\) son mayores que \(0\), entonces \(ab>0\). Por otro lado, como \(x<b\), entonces \(b-x>0\); y como \(a>0\), entonces es \(a+b-x>0\). Pero como por hipótesis también \(x>0\), deducimos que \(x(a+b-x)>0\). Por tanto, la desigualdad anterior se puede escribir, equivalentemente, así

\[(a+b)ab<(a+b)x(a+b-x)\]

Como \(a+b>0\) esta desigualdad equivale a \(ab<x(a+b-x)\), es decir:

\[0<ax+bx-x^2-ab=(x-a)(b-x)\]

Pero esta última desigualdad es consecuencia de la hipótesis hecha, \(0<a<x<b\), la cual implica que \(0<x-a\) y \(0<b-x\). Y por tanto \((x-a)(b-x)>0\).

Con esto podemos considerar que hemos acabado, pero es buena costumbre, tal y como hemos hecho en la primera demostración de la desigualdad, dar la vuelta al razonamiento que se ha seguido y deshacer el camino para obtener una prueba directa.

  • Ejercicio 3

Demostrar que \(\dfrac{a}{2(a+b)\sqrt{b}}<\dfrac{1}{\sqrt{b}}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}\), cualesquiera sean los números reales positivos \(a>0\), \(b>0\).

La solución aquí

La solución aquí

Haciendo uso de lo comentado en la demostración de la desigualdad anterior, es decir, trabajando marcha atrás y luego dando la vuelta al razonamiento para obtener la prueba directa, obtenemos la siguiente demostración. Basta para ello partir de la desigualdad evidente \(\left(\sqrt{a+b}-\sqrt{b}\right)^2>0\).

\[\left(\sqrt{a+b}-\sqrt{b}\right)^2>0\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2-2\sqrt{a+b}\sqrt{b}>0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow a+2b-2\sqrt{a+b}\sqrt{b}>0\Rightarrow \frac{a+2b-2\sqrt{a+b}\sqrt{b}}{2(a+b)\sqrt{b}}>0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \frac{-a-2b+2\sqrt{a+b}\sqrt{b}}{2(a+b)\sqrt{b}}<0 \Rightarrow \frac{a}{2(a+b)\sqrt{b}}-\frac{2a+2b-2\sqrt{a+b}\sqrt{b}}{2(a+b)\sqrt{b}}<0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \frac{a}{2(a+b)\sqrt{b}}<\frac{a+b-\sqrt{a+b}\sqrt{b}}{(a+b)\sqrt{b}}\Rightarrow \frac{a}{2(a+b)\sqrt{b}}<\frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{a+b}}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow \frac{a}{2(a+b)\sqrt{b}}<\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a+b}}\]

 

La igualdad \(\dfrac{a+b-\sqrt{a+b}\sqrt{b}}{(a+b)\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a+b}-\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{a+b}}\) se ha obtenido multiplicando numerador y denominador por \(\sqrt{a+b}\). Veámoslo:

\[\frac{a+b-\sqrt{a+b}\sqrt{b}}{(a+b)\sqrt{b}}=\frac{\left(a+b-\sqrt{a+b}\sqrt{b}\right)\sqrt{a+b}}{(a+b)\sqrt{b}\sqrt{a+b}}=\]

\[=\frac{(a+b)\sqrt{a+b}-\sqrt{a+b}\sqrt{a+b}\sqrt{b}}{(a+b)\sqrt{b}\sqrt{a+b}}=\frac{(a+b)\sqrt{a+b}-(a+b)\sqrt{b}}{(a+b)\sqrt{b}\sqrt{a+b}}=\]

\[=\frac{(a+b)\left(\sqrt{a+b}-\sqrt{b}\right)}{(a+b)\sqrt{b}\sqrt{a+b}}=\frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{a+b}}\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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