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Al-Juarismi

Esta entrada se ha extraído del libro que lleva por título La lengua de las matemáticas y otros relatos exactos, cuyos autores son Fernando Álvarez, Óscar Martín y Cristóbal Pareja.

Bagdad, siglo VIII

Una nueva civilización se acaba de abrir paso en la historia. Arrancó de Arabia hace dos siglos a partir de innumerables tribus nómadas que fueron aglutinadas por la fe de un profeta y el magnetismo de un libro revelado. Hoy, aquel incipiente estado se ha expandido hacia el este mirando a Oriente. Y también ha conquistado Jerusalén y Damasco. Todo el norte de África incova ya al profeta, y también gran parte de la península Ibérica. El mundo musulmán se extiende ya dede la India hasta los Pirineos.

La dinastía Omeya, la fundadora, ha sido destronada por la Abasí. Tres nombres aparecen, tres califas: Al-Mansur, que ha fundado Bagdad y la ha hecho capital, en lugar de la antigua Damasco. Aquí erige la Casa de la Sabiduría, donde las ciencias comienzan a florecer. Al segundo califa, Harún al-Rashid, nos lo ha presentado Scheherezade en numerosas veladas de Las mil y una noches: «He llegado a saber que en tiempo del califa Harún al-Rashid vivía en la ciudad de Bagdad un hombre llamado Simbad…», comienza uno de sus relatos. Su reinado fue el periodo de mayor esplendor cultural, al decir de los historiadores. Por eso se evoca su nombre en cuentos y leyendas. Con el ardor de los pueblos que despiertan, se han traducido al árabe manuscritos griegos, sirios y persas. Pero es en el califatod de Al-Mamún, su hijo, cuando la fiebre traductora alcanza su cima. Llegan textos de la India, en sánscrito, que son de la civilización griega, fruto de las relaciones comerciales con el imperio bizantino. Bagdad hizo con la cultura clásica lo que haría la Escuela de Traductores de Toledo más adelante.

Al-Mamún y un enviado de Bizancio. De la ‘Crónica de Juan Skylitzes’.

Gracias a estos tres califas benefactores —que el Clemente, el Misericordioso, conserve sus nombres— Bagdad tuvo tiempo suficiente para que sus mejores hijos —originarios de todos los confines del imperio— la convirtiesen en una nueva Alejandría. En esa misma época, Occidente, a pesar de estar unido por el latín, no supo preservar el legado científico clásico. La Iglesia fue la única institución que no se desintegró y que mantuvo cierto impulso intelectual en los monasterios. Pero el monje, incluso el más instruido, tendía en su erudición más al negocio de la salvación del alma que a la filosofía natural. Solamente hubo una tentativa de revivificación cultural con Carlomagno, con la reinstauración de un programa de estudio: el Trivium (gramática, retórica y dialéctica) y el Quadrivium (aritmética, geometría, astronomía y música), heredados de la antigüedad clásica. A pesar de ello, el interés por el saber había desaparecido en el mundo occidental.

Debemos, pues, volver a Bagdad, ya en el siglo IX. Es una ciudad culta y mágica. Aquí, ya se sabe, la gente cruza el Tigris volando sobre alfombras. Y se buscan piedras filosofales y elixires de eterna juventud, a la vez que se traduce a Euclides, se estudia el Almagesto de Ptolomeo y se copian las obras de Arquímedes. En esta ciudad desarrolló su labor creativa Al-Juarismi.

Al-Juarismi (780 Uzbekistán – 850 Bagdad).

Al-Juarismi escribió un libro que habría de tener gran influencia posterior en Europa. El original árabe se ha perdido y lo conocemos por una copia latina del siglo XII: Algoritmi de Numero Indorum (El arte indio del cálculo de Al-Juarismi). Como se ve en el título, se ha latinizado el nombre del autor. De él derivará la palabra moderna algoritmo.

Margarita Philosophica (de Gregor Reisch),

En el libro se describe pormenorizadamente el sistema indio de numeración, con los 10 dígitos —incluido el cero—, y basado, como hoy, en que el valor de cada cifra depende de su posición: en \(444\) cada \(4\) es diferente (\(4\) centenas, \(4\) decenas y \(4\) unidades). Se describen asimismo las reglas para realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas. Y esto es lo más importante, porque ha de recordarse que con el sistema romano se podían escribir números, sí, pero no había manera de calcular: la tarea de sumar era difícil, la de multiplicar solo era posible para los sabios y la de dividir… estaba reservada casi únicamente a los dioses. Hoy día, un niño necesita únicamente pronunciar las palabras mágicas de su tabla de multiplicar y un algoritmo, automático y obediente, proporciona el resultado.

No obstante, los nuevos métodos tardaron en implantarse y el antiguo sistema romano siguió usándose en Europa durante gran parte de la Edad Media. En la figura de la derecha se muestra, en el centro, a la musa de la aritmética; Boecio, a la izquierda, simbolizando la escritura decimal, sonríe por haber acabado una operación; a la derecha, el griego Pitágoras intenta hacer lo mismo con un ábaco, con poco éxito, según el pintor. La pintura, de 1508, evidencia que la supremacía de la escritura decimal posicional, frente a la romana, no era aún reconocida por todos en esa época.

‘Al-Jabr’ o el Álgebra

La obra más importante de Al-Juarismi lleva el impresionante título de Al-kitab al-muthasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala, que más o menos dice: Libro sobre el método de cálculo consistente en restaurar y equilibrar.

El titulo parece la expresión de un conjuro que hay que pronunciar, mientras se frota una vieja lámpara, para liberar un genio prisionero. Y en verdad así es, pues en el interior del libro, el genio nos revela las fórmulas —¿de alquimia?— para resolver las ecuaciones de primero y segundo grado. Lo hace a través de una colección de problemas de aritmética —sobre herencias, transacciones comerciales, etc.— que resuelve mediante ecuaciones.

Página de ‘Al-Kitab al-muthasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala’.

La obra nos ha llegado en dos versiones, una árabe una traducción latina, llamda Liber algebrae et almucabala. Sorprende que la versión latina sea más completa. También hay que hacer notar que en esta se omite el prólogo, que sí aparece en la versión árabe. El lector puede imaginar el porqué: es una prudente forma de evitar las preceptivas loas a Mahoma y al Comendador de los Creyentes, a la sazón Al-Mamún. La palabra “álgebra” tiene su origen en al-jabr, presente en el título, que, en árabe, era un término médico: “restaurar y curar huesos fracturados”. Esta palabrá pasó a Europa en su traducción latina a través de España y hoy es similar en todos los idiomas europeos.

Todavía podemos encontrar un vestigio de este antiguo significado en nuestra lengua. En el diccionario de la Real Academia aparece esta acepción: “Arte de restituir los huesos dislocados. Y “algebrista” —en versión árabe— es lo mismo que “traumatólogo” —en versión griega—.

En el capítulo XV del Quijote se alude a la victoria del ingenioso hidalgo sobre el Caballero de los Espejos (que era en realidad el bachiller Sansón Carrasco):

[…] ufano y vanaglorioso iba Don Quijote por haber alcanzado vitoria de tan valiente caballero […]

Del vencido caballero y de su escudero sigue narrando Cervantes que

[…] llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado […]

Las ecuaciones

Al-Jabr proporciona un estudio exhaustivo de las ecuaciones de segundo y primer grado. Las clasifica en sesis tipos, que resuelve, con algoritmos —nunca mejor dicho— precisos. Pero, como dice él mismo, es necesario acudir a la geometría para demostrar el método. ¿Estará inspirándolo Arquímedes?

He aquí su clasificación después de haber transformado las ecuaciones hasta tener solo sumas (ninguna resta):

 \(ax^2=bx\) \(ax^2=c\) \(bx=c\)
 \(ax^2+bx=c\) \(ax^2+c=bx\) \(bx+c=ax^2\)

Las dos soluciones de cada ecuación se hallan completando cuadrados. Pero solo considera las positivas.

Hay que decir que la lectura es difícil, porque todavía no existe una notación sincopada (abreviada, simbólica) para los cálculos. Estos se describen con palabras. Incluso para los números usa su nombre en vez de su signo.

El lector puede combrobar por sí mismo cómo narra la resolución de la ecuación de segundo grado \(x^2+10x=39\).

Texto de una edición del ‘Al-Jabr’ de 1968, donde se lee cómo resolver la ecuación \(x^2+10x=39\)

Y he aquí la justificación geométrica que aporta él mismo: la incógnita \(x\), la xai, está representada por el lado del cuadrado en blanco (obsérvese la figura de más abajo). Con ello transforma \(x^2\) en un área. Para conseguir otra área igual a \(10x\), descompone \(10\) en \(4\times2,5\) y añade los cuatro rectángulos de lados \(x\) y \(2,5\). Ya tenemos representado el primer miembro. A continuación añade los cuatro cuadrados de las esquinas y obtiene el cuadrado grande. Es decir:

\[x^2+10x+4\times2,5^2=39+4\times2,5^2\Rightarrow(x+5)^2=64\Rightarrow x+5=8\]

Un último ejemplo

Otra ecuación que se resuelve en el libro es \(x^2+21=10x\). Hoy, sin miedo a los negativos, la escribiríamos así \(x^2-10x+21=0\).

Nuestros estudiantes aprenden que cuando el coeficiente de la \(x\) es par, es decir, cuando tenemos \(ax^2+2b’x+c=0\), conviene expresar la fórmula que proporciona las raíces así: \(\frac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}\), pues con ella los cálculos se simplifican notablemente. En nuestro ejemplo queda: \(x=5\pm\sqrt{5^2-21}\). Pues bien, esta fórmula era conocida por Al-Juarismi. Dejemos que él hable:

La regla exige que tú reduzcas a la mitad el número [el coeficiente] de la \(x\), lo cual da \(5\). Multiplica este número por sí mismo y tienes \(25\). Resta \(21\) del cuadrado, y quedará \(4\). Extrae la raíz, de donde obtendrás \(2\), y sustrae este \(2\) de la mitad del número de la \(x\), o sea, de \(5\). Así te queda \(3\). Esta es la raíz que buscas…

De forma análoga, continúa dando la pauta para obtener la segunda raíz, que resulta ser \(7\). Y advierte inmediatamente de que si la resta que aparece en el radicando fuese cero, habría una sola raíz; y si esa resta no pudiera efectuarse, no habría solución: ¡discusión completa del discriminante!

Como los griegos, Al-Juarismi incluye difíciles demostraciones geométricas para sus reglas. Ello suscita nuestra admiración, pero la geometría no deja de lastrar aquí el advenimiento definitivo del lenguaje algebraico, ese que, pasado el tiempo, cobrará vida propia, pensará por nosotros y tomará las riendas del discurso. Habría que pasar mucho tiempo, empero, hasta que en Occidente las semillas de la India, Persia y Grecia, traídas por el viento del desierto árabe, germinasen definitivamente en el Renacimiento.

… y la justificación geométrica

El lector meticuloso habrá echado de menos el razonamiento dado por Al-Juarismi para la resolución de \(x^2+21=10x\). Helo aquí:

1. Se traza un cuadrado de lado \(x\) y área \(x^2\) (arriba, a la izquierda).

2. Con un lado común al cuadrado, se traza un rectángulo de área \(21\) (arriba, a la derecha). El área del rectángulo conjunto resultante ha de ser, según la ecuación, igual a \(10x\), luego su base es \(10\).

3. Trazamos la mediatriz del segmento base de este gran rectángulo y formamos el nuevo cuadrado, grande, de lado \(5\). Formamos también un cuadrado interior al anterior de lado \(5-x\). Los dos rectángulos marcados con la letra \(A\) tienen las mismas dimensiones y, en consecuencia, la misma área.

4. El área del cuadrado de lado \(5\) puede ahora expresarse de dos formas:

\[5^2=21+(5-x)^2\Rightarrow 4=(5-x)^2\Rightarrow 2=5-x\Rightarrow x=3\]

Para encontrar la otra raíz, no seremos nosotros quienes privemos al conspicuo lector del placer de idear por sí mismo una figura adecuada…

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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