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Un producto de números en notación científica.

Problemas en los que se utiliza la notación científica (1)

Instrucciones:

Para practicar con estos problemas te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

¡A trabajar!

Problema 1. La masa del Sol es, aproximadamente, \(330\,000\) veces la de la Tierra. Si la masa de la Tierra es \(6\cdot10^{24}\ \text{kg.}\), calcula la masa del Sol.

La solución aquí

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Basta hacer una multiplicación:

\[330\,000\cdot\left(6\cdot10^{24}\right)=\left(3,3\cdot10^5\right)\cdot\left(6\cdot10^{24}\right)=\]

\[=(3,3\cdot6)\cdot\left(10^5\cdot10^{24}\right)=19,8\cdot10^{29}=1,98\cdot10^{30}\ \text{kg.}\]

Problema 2. Tal y como se ha comentado en el problema anterior, la Tierra tiene una masa aproximada de \(6\cdot10^{24}\ \text{kg.}\) Sabiendo que su densidad media es \(5,5\cdot10^3\ \text{kg/m}^3\), calcula el volumen de la Tierra. Para realizar este problema debes recordar que la densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa: \(\displaystyle d=\frac{m}{V}\).

La solución aquí

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Despejando el volumen de la fórmula de la densidad se tiene que \(\displaystyle V=\frac{m}{d}\). Por tanto:

\[V=\frac{6\cdot10^{24}}{5,5\cdot10^3}\approx1,09\cdot10^{21}\ \text{m}^3.\]

Problema 3. Si la distancia de la Tierra al Sol es, aproximadamente, \(1,4\cdot10^8\ \text{km.}\) y la distancia de la Tierra a la Luna es \(4\cdot10^5\ \text{km.}\), calcula la distancia de la Luna al Sol en el momento que muestra la figura.

La solución aquí

La solución aquí

Llamemos \(d\) a la distancia de la Luna al Sol. Utilizando el teorema de Pitágoras:

\[d^2=\left(1,4\cdot10^8\right)^2+\left(4\cdot10^5\right)^2\Rightarrow d^2=1,96\cdot10^{16}+16\cdot10^{10}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow d^2=1,96\cdot10^{16}+0,000016\cdot10^{16}=1,960016\cdot10^{16}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow d=\sqrt{1,960016\cdot10^{16}}=1,40000571\cdot10^8\ \text{km.}\]

Observa que, si se redondea el resultado anterior, la distancia es \(d=1,4\cdot10^8\ \text{km.}\), que es la misma prácticamente que la distancia de la Tierra al Sol. Esto viene a decir que la Tierra y la Luna están muy cerca entre sí, comparado con la distancia de ambos al Sol, con lo que el triángulo rectángulo será de tal modo que la hipotenusa \(d\) mide sólo “un poquito” más que el cateto correspondiente a la distancia de la Tierra al Sol.

Problema 4. La masa de un electrón es \(9\cdot10^{-31}\ \text{kg.}\) Las masas tanto de un protón como de un neutrón es, aproximadamente, \(1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg.}\) Determina la masa de un átomo de azufre sabiendo que tiene \(16\) electrones, \(16\) protones y \(16\) neutrones.

La solución aquí

La solución aquí

Basta hacer un par de productos y una suma.

\[16\cdot\left(9\cdot10^{-31}\right)+32\cdot\left(1,67\cdot10^{-27}\right)=144\cdot10^{-31}+53,44\cdot10^{-27}=\]

\[=0,0144\cdot10^{-27}+53,44\cdot10^{-27}=53,4544\cdot10^{-27}=5,34544\cdot10^{-26}\ \text{kg.}\]

Problema 5. La velocidad de la luz es \(3\cdot10^8\ \text{m/seg}\). Calcula el tiempo que tardará en recorrer \(15\ \text{km.}\)

La solución aquí

La solución aquí

La velocidad de la luz permanece constante y se desplaza en línea recta. El movimiento es pues rectilíneo y uniforme. Despejando el tiempo de la fórmula de la velocidad tenemos:

\[v=\frac{s}{t}\Rightarrow t=\frac{s}{v}=\frac{15\,000}{3\cdot10^8}=\frac{1,5\cdot10^4}{3\cdot10^8}=0,5\cdot10^{-4}=5\cdot10^{-5}\ \text{seg.}\]

Obsérvese que se han pasado los kilómetros a metros y luego se han expresado en notación científica para hacer más cómodos los cálculos. El resultado viene a decir que la luz recorre quince kilómetros en cinco cienmillonésimas de segundo.

Problema 6. Sabemos del problema número 4 que la masa del electrón es \(9\cdot10^{-31}\ \text{kg.}\) Si en un tubo de aceleración alcanza una velocidad de \(2\cdot10^8\ \text{m/seg}\), ¿qué energía cinética tendrá el electrón dentro de dicho tubo?.

Nota: la fórmula de la energía cinética es \(\displaystyle E_c=\frac{1}{2}mv^2\).

La solución aquí

La solución aquí

Sustituyendo en la fórmula de la energía cinética tenemos:

\[E_c=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\cdot\left(9\cdot10^{-31}\right)\cdot\left(2\cdot10^8\right)^2=\left(4,5\cdot10^{-31}\right)\cdot\left(4\cdot10^{16}\right)=\]

\[=18\cdot10^{-15}=1,8\cdot10^{-14}\ \text{kg}\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}=1,8\cdot10^{-14}\ \text{J.}\]

La energía cinética se expresa en julios (\(\text{J}\)). \(\displaystyle 1 \text{J}=1\ \text{kg}\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}.\)

Problema 7. La velocidad del sonido en el agua es \(1,6\cdot10^3\ \text{m/seg}\). Si un submarinista tarda \(0,2\ \text{seg.}\) en detectar un sonido que se produce en la superficie, ¿a qué profundidad se encuentra el submarinista?

La solución aquí

La solución aquí

Supongamos que la velocidad del sonido en el agua es constante y se desplaza en línea recta. Entonces:

\[v=\frac{s}{t}\Rightarrow s=v\cdot t\Rightarrow s=\left(1,6\cdot10^3\right)\cdot0,2=0,32\cdot10^3=3,2\cdot10^2\ \text{m.}\]

El submarinista se encuentra pues a unos \(320\) metros de profundidad.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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