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Una realización de la regla de Ruffini.

Polinomios (2)

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Cuando mires las soluciones, se aconseja hacer una lectura atenta de las observaciones que acompañan, a veces, a cada uno de los ejercicios resueltos.

Por cierto, son prácticamente idénticos a los de la relación número 1 de polinomios. Repasa aquella primero, incluso con sus soluciones y observaciones. Así te será fácil hacer esta.

¡A trabajar!

Ejercicio 1. Dados los polinomios \(p(x)=x^2+1\), \(q(x)=x^3+3x\) y \(r(x)=2x^2-3x+1\), realizar las siguientes operaciones:

a)  \((r(x)-p(x))\cdot(1-q(x))\)

b)  \((2q(x)+2p(x)-r(x))\cdot(p(x)+r(x))\)

La solución aquí

La solución aquí

a) Por un lado:

\[r(x)-p(x)=(2x^2-3x+1)-(x^2+1)=2x^2-3x+1-x^2-1=x^2-3x\]

Por otro lado:

\[1-q(x)=1-(x^3+3x)=-x^3-3x+1\]

Por tanto:

\[(r(x)-p(x))\cdot(1-q(x))=(x^2-3x)\cdot(-x^3-3x+1)=\]

\[=-x^5-3x^3+x^2+3x^4+9x^2-3x=-x^5+3x^4-3x^3+10x^2-3x\]

b) Ahora tenemos, en primer lugar:

\[2q(x)+2p(x)-r(x)=2(x^3+3x)+2(x^2+1)-(2x^2-3x+1)=\]

\[=2x^3+6x+2x^2+2-2x^2+3x-1=2x^3+9x+1\]

Y en segundo lugar:

\[p(x)+r(x)=(x^2+1)+(2x^2-3x+1)=3x^2-3x+2\]

Finalmente:

\[(2q(x)+2p(x)-r(x))\cdot(p(x)+r(x))=(2x^3+9x+1)\cdot(3x^2-3x+2)=\]

\[=6x^5-6x^4+4x^3+27x^3-27x^2+18x+3x^2-3x+2=\]

\[=6x^5-6x^4+31x^3-24x^2+15x+2\]

Ejercicio 2. Determinar el cociente y el resto de la siguiente división de polinomios:

\[(5x^4+2x^3-6x^2+1):(x^2+x+1)\]

La solución aquí

La solución aquí

Por tanto el cociente de la división es \(5x^2-3x-8\) y el resto \(-11x+9\).

Ejercicio 3. Determinar, utilizando la regla de Ruffini, el cociente y el resto de la división del polinomio \(x^5-2\) entre\(x-3\).

La solución aquí

La solución aquí

Por tanto el cociente de la división es \(x^4+3x^3+9x^2+27x+81\) y el resto \(241\).

Ejercicio 4. Utilizar la regla de Ruffini para contestar a la siguiente pregunta: ¿qué valor debe tomar \(m\) para que al dividir el polinomio \(2x^2+(m+2)x-m+1\) entre \(x+3\) el resto sea \(1\)?

La solución aquí

La solución aquí

Hay que aplicar la regla de Ruffini con cuidado, pues ahora los coeficiente contienen una letra o parámetro.

Como el resto es igual a \(1\) tenemos que:

\[-4m+13=1\Rightarrow -4m=1-13\Rightarrow -4m=-12\Rightarrow m=\frac{-12}{-4}\Rightarrow m=3\]

Ejercicio 5. Utilizando el teorema del resto, contestar a las siguientes preguntas:

a)  ¿Qué valor debe tener \(m\) para que el polinomio \((m+1)x^3+x^2-mx+2m\) sea divisible por \(x-2\)?

b)  ¿Es \(2\) una raíz del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\)?

La solución aquí

La solución aquí

a) Por el teorema del resto, el resto \(R\) de la división del polinomio \(P(x)=(m+1)x^3+x^2-mx+2m\) entre \(x-2\) coincide con el valor numérico del polinomio \(P(x)\) para \(x=2\), es decir, \(R=P(2)\). Por tanto:

\[R=(m+1)2^3+2^2-m2+2m=8m+8+4-2m+2m=8m+12\]

Como el polinomio \((m+1)x^3+x^2-mx+2m\) es divisible por \(x-2\), el resto de la división es \(0\). Entonces:

\[0=8m+12\Rightarrow-8m=12\Rightarrow m=-\frac{12}{8}=-\frac{3}{2}\]

b) En este caso \(P(2)=2^3-2\cdot2^2+2-2=8-8+2-2=0\). Esto quiere decir, según el teorema del resto, que el resto de la división del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\) entre \(x-2\) es igual a \(0\). O lo que es lo mismo, que efectivamente \(2\) es una raíz del polinomio \(x^3-2x^2+x-2\).

Ejercicio 6. Descomponer en producto de factores los siguientes polinomios:

a)  \(x^4-2x^3+x^2-2x\)

b)  \(x^3-3x-2\)

La solución aquí

La solución aquí

a) Cuando el polinomio carece de término independiente sacamos factor común:

\[x^4-2x^3+x^2-2x=x(x^3-2x^2+x-2)\]

Esto es tanto como decir que \(x=x-0\) es un factor del polinomio y que, por tanto, el número \(0\) es una raíz del mismo. Nuestro objetivo debe de centrarse ahora en factorizar el otro polinomio, o sea, \(x^3-2x^2+x-2\). Utilicemos para ello la regla de Ruffini probando con los divisores del término independiente: \(\text{Div}(-2)=\{\pm1,\ \pm2\}\). Probando con \(1\) y \(-1\) el resto no sale igual a cero. Sin embargo, con \(2\) se tiene:

Volviendo a probar con \(2\) y con \(-2\) tampoco sale resto cero. Por lo tanto la factorización del polinomio es:

\[x^4-2x^3+x^2-2x=x(x-2)(x^2+1)\]

Obsérvese que el polinomio \(x^2+1\) no tiene raíces enteras, ni tampoco reales pues la ecuación \(x^2+1=0\) no tiene ninguna solución (no existe ningún número real cuyo cuadrado más uno sea igual a cero).

b) Utilicemos encadenadamente la regla de Ruffini:

De aquí se deduce que \(-1\) es una raíz doble y \(2\) una raíz simple del polinomio. El proceso llega hasta el final pues sólo queda un número al aplicar sucesivamente la regla de Ruffini. Así pues la factorización es:

\[x^3-3x-2=(x+1)(x+1)(x-2)=(x+1)^2(x-2)\]

Ejercicio 7. Simplificar la siguiente fracción algebraica:

\[\frac{x^3-x^2+3x-3}{x^2+3}\]

La solución aquí

La solución aquí

Factoricemos el polinomio del numerador: \(x^3-x^2+3x-3\):

Entonces \(x^3-x^2+3x-3=(x-1)(x^2+3)\). El polinomio \(x^2+3\) no es posible factorizarlo más (no tiene raíces reales).

Por tanto:

\[\frac{x^3-x^2+3x-3}{x^2+3}=\frac{(x-1)(x^2+3)}{x^2+3}=x-1\]

Ejercicio 8. Realizar la siguiente suma de fracciones algebraicas:

\[\frac{x-1}{(x-2)^2}+\frac{x+1}{x^2-4}\]

La solución aquí

La solución aquí

Como \(x^2-4=(x+2)(x-2)\), el mínimo común múltiplo de \((x-2)^2\) y \(x^2-4\) es \((x-2)^2(x+2)\). Por tanto:

\[\frac{x-1}{(x-2)^2}+\frac{x+1}{x^2-4}=\frac{x-1}{(x-2)^2}+\frac{x+1}{(x+2)(x-2)}=\]

\[=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-2)^2(x+2)}+\frac{(x+1)(x-2)}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{x^2+x-2}{(x-2)^2(x+2)}+\frac{x^2-x-2}{(x-2)^2(x+2)}=\]

\[=\frac{x^2+x-2+x^2-x-2}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{2x^2-4}{(x-2)^2(x+2)}\]

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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