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Operaciones con fracciones (2)

Instrucciones:

Para practicar con estos ejercicios de operaciones combinadas con fracciones te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente.

¡A trabajar!

Enunciado:

Efectuar las siguientes operaciones combinadas con fracciones y simplificar, si es posible, el resultado.

\(\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[\left(-\dfrac{2}{9}\right):4-\dfrac{2}{3}\right]\)

La solución aquí

La solución aquí

Para efectuar operaciones con fracciones debemos respetar siempre la siguiente jerarquía:

Primero: efectuar las operaciones que hay en el interior de corchetes y paréntesis.

Segundo: potencias y raíces (si las hubiera).

Tercero: productos y divisiones (de izquierda a derecha).

Cuarto: sumas y restas (de izquierda a derecha).

\(\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[\left(-\dfrac{2}{9}\right):4\right]-\dfrac{2}{3}=\)

Comenzamos con el corchete. Para ello efectuamos en primer lugar la división que hay en el interior del mismo.

\(=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{2}{36}-\dfrac{2}{3}\right]=\)

Simplificamos la fracción \(-\dfrac{2}{36}\) y efectuamos la resta que hay en el interior del corchete.

\(=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{1}{18}-\dfrac{2}{3}\right]=\)

\(=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{1}{18}-\dfrac{12}{18}\right]=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot\left[-\dfrac{13}{18}\right]=\)

Efectuamos el producto (tenemos en cuenta la regla de los signos: en este caso “más por menos igual menos”).

\(=\dfrac{5}{2}-\dfrac{39}{72}=\)

Simplificamos la fracción \(\dfrac{39}{72}\) y efectuamos la resta.

\(=\dfrac{5}{2}-\dfrac{13}{24}=\dfrac{60}{24}-\dfrac{13}{24}=\dfrac{47}{24}\)

\(\left(\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{6}\right):\left[8+\dfrac{1}{3}:\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right]\)

La solución aquí

La solución aquí

\(\left(\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{6}\right):\left[8+\dfrac{1}{3}:\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right]=\)

Podemos ir haciendo simultáneamente las operaciones que hay en el interior del paréntesis y del corchete. En el caso del corchete comenzamos por la división.

\(=\left(\dfrac{27}{6}-\dfrac{1}{6}\right):\left[8-\dfrac{2}{3}\right]=\dfrac{26}{6}:\left[8-\dfrac{2}{3}\right]=\)

Simplificamos la fracción \(\dfrac{27}{6}\) y efectuamos la resta que queda en el interior del corchete.

\(=\dfrac{13}{3}:\left[\dfrac{24}{3}-\dfrac{2}{3}\right]=\dfrac{13}{3}:\dfrac{22}{3}=\)

Ya solo nos queda efectuar la división.

\(=\dfrac{13\cdot3}{22\cdot3}=\dfrac{13}{22}\)

Por cierto, la operación anterior es equivalente a la siguiente, si sustituimos los dos puntos de la división por la línea de fracción:

\[\dfrac{\displaystyle\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{6}}{8+\dfrac{\dfrac{1}{3}}{-\dfrac{1}{2}}}\]

\(\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+4\right)\right]:\dfrac{2}{3}\)

La solución aquí

La solución aquí

Procederemos de manera similar a como lo hemos hecho en los dos ejercicios anteriores, respetando la jerarquía de las operaciones.

\(\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+4\right)\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+\dfrac{8}{2}\right)\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{5}{16}\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{16}{80}+\dfrac{25}{80}\right]:\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{80}:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\dfrac{27}{160}\)

También podríamos hacer hecho esta operación utilizando la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis que hay en el interior del corchete.

\(\left[-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}+4\right)\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{16}+\dfrac{4}{8}\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\left[-\dfrac{16}{80}-\dfrac{15}{80}+\dfrac{40}{80}\right]:\dfrac{2}{3}=\)

\(=\dfrac{9}{80}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{27}{160}\)

\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}\right)}{\displaystyle-7:\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\right)}\)

La solución aquí

La solución aquí

Efectuamos primero los dos paréntesis, el del numerador y el del denominador.

\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}\right)}{\displaystyle-7:\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\right)}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(\dfrac{3}{15}-\dfrac{10}{15}\right)}{\displaystyle-7:\left(\dfrac{15}{20}-\dfrac{8}{20}\right)}=\)

Ahora el producto del numerador y la división del denominador.

\(=\dfrac{\displaystyle\dfrac{20}{7}\cdot\left(-\dfrac{7}{15}\right)}{\displaystyle-7:\dfrac{7}{20}}=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{20}{15}}{\displaystyle-\dfrac{140}{7}}=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{4}{3}}{\displaystyle-\dfrac{20}{1}}=\)

Por último la división de las dos fracciones (el resultado es positivo porque “menos entre menos igual más”).

\(=\dfrac{4\cdot1}{3\cdot20}=\dfrac{4}{60}=\dfrac{1}{15}\)

\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{25}{6}-2:\dfrac{4}{9}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{1}{5}-2\right)-\dfrac{1}{3}}\)

La solución aquí

La solución aquí

Procederemos de manera similar a como hemos hecho en el ejercicio anterior.

\(\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{25}{6}-2:\dfrac{4}{9}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{1}{5}-2\right)-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{75}{30}-\dfrac{18}{4}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{1}{5}-\frac{10}{5}\right)-\dfrac{1}{3}}=\)

\(=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{5}+\dfrac{5}{2}-\dfrac{9}{2}}{\displaystyle\dfrac{4}{9}\left(-\frac{9}{5}\right)-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{2}{10}+\dfrac{25}{10}-\dfrac{45}{10}}{\displaystyle-\frac{4}{5}-\dfrac{1}{3}}=\)

\(=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{18}{10}}{\displaystyle-\frac{12}{15}-\dfrac{5}{15}}=\dfrac{\displaystyle-\dfrac{9}{5}}{\displaystyle-\frac{17}{15}}=\)

\(=\dfrac{9\cdot15}{5\cdot17}=\dfrac{135}{85}=\dfrac{27}{17}\)

Para repasar algunos apuntes, hacer más ejercicios y aprender más, te recomiendo el siguiente enlace sobre operaciones con fracciones.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES "Fernando de Mena" de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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