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Sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Sistemas de ecuaciones no lineales

Cuando se estudian las matemáticas a un nivel básico en la secundaria, una de las cosas que primero se aprende a resolver es una ecuación de primer grado. A continuación se puede introducir sin mucha dificultad el concepto de sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. La forma, digamos reducida, de un sistema de este tipo es:

\[\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\]

Los números reales \(a_1\), \(a_2\), \(b_1\), \(b_2\) reciben el nombre de coeficientes y los números \(c_1\) y \(c_2\) son los términos independientes del sistema (parecido a la nomenclatura estudiada en las expresiones algebraicas, monomios y polinomios). Las incógnitas o números reales de los cuales deseamos saber si satisfacen ambas ecuaciones, son \(x\) e \(y\).

Básicamente existen tres métodos para resolver este tipo de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción.

El primero de ellos, el de sustitución, consiste en despejar una de las dos incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones y sustituirla en la otra.

Por ejemplo, dado el sistema

\[\begin{cases}2x+3y=4\\5x-2y=-9\end{cases}\]

despejamos la incógnita \(y\) de la primera ecuación, \(y=\dfrac{4-2x}{3}\), y la sustituimos en la segunda:

\[5x-2\frac{4-2x}{3}=-9\Rightarrow15x-2(4-2x)=-27\Rightarrow\]

\[\Rightarrow15x-8+4x=-27\Rightarrow19x=-19\Rightarrow x=-1\]

Sustituyendo el valor de \(x\) en la igualdad donde está la incógnita \(y\) despejada obtenemos:

\[y=\frac{4-2\cdot(-1)}{3}=\frac{4+2}{3}=\frac{6}{3}\Rightarrow y=2\]

Los sistemas lineales se caracterizan porque la representación gráfica de cada una de las dos ecuaciones es una recta. Si ambas se cortan, el punto de corte es la solución del sistema. En el caso del ejemplo anterior la representación gráfica queda reflejada en la figura siguiente.

En un sistema de ecuaciones no lineal con dos incógnitas, al menos una de las dos ecuaciones no es lineal, es decir, su representación gráfica no es una recta. Este tipo de sistemas se suelen resolver por el método de sustitución, método cuyo uso se ha visto en el ejemplo anterior para un sistema lineal. Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones no lineal.

Consideremos el sistema dado en la imagen que encabeza este artículo:

\[\begin{cases}x^2-2y^2=1\\xy=6\end{cases}\]

Despejando \(y\) de la segunda ecuación tenemos \(y=\dfrac{6}{x}\). Y sustituyendo este valor en la primera ecuación:

\[x^2-2\left(\frac{6}{x}\right)^2=1\Rightarrow x^2-\frac{72}{x^2}=1\]

Multiplicando ahora todos los términos por \(x^2\) llegamos a una ecuación bicuadrada:

\[x^4-72=x^2\Rightarrow x^4-x^2-72=0\]

Hagamos el cambio de variable \(x^2=z\) para obtener una ecuación de segundo grado:

\[z^2-z-72=0\Rightarrow z=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-72)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+288}}{2}=\]

\[=\frac{1\pm\sqrt{289}}{2}=\frac{1\pm17}{2}=\begin{cases}z_1=9\\z_2=-8\end{cases}\]

Deshaciendo ahora el cambio \(x^2=z\) obtenemos las soluciones de para la incógnita \(x\). Así, si \(z=9\), entonces tenemos dos soluciones para \(x\): \(x_1=3\) y \(x_2=-3\). Si \(z=-8\), la ecuación \(x^2=-8\) no proporciona soluciones reales para \(x\). Cada una de las dos soluciones anteriores para \(x\), \(x_1=3\) y \(x_2=-3\), proporcionan sendas soluciones para \(y\) sustituyendo en la fórmula donde habíamos despejado la incógnita \(y\) al comienzo de este método de sustitución, \(y=\dfrac{6}{x}\). Es decir si \(x_1=3\), entonces \(y_1=2\). Y si \(x_2=-3\), entonces \(y_2=-3\).

Resumiendo, y escribiendo las soluciones en forma de pares ordenados, el sistema no lineal tiene dos soluciones:

\[(3,\ 2)\quad\text{;}\quad(-3,\ -2)\]

Estos dos puntos del plano son los puntos donde se cortan las curvas \(x^2-2y^2=1\), \(xy=6\).

En esta página puedes encontrar una relación de ejercicios de sistemas no lineales, entre otras relaciones de ejercicios de matemáticas. Contiene las soluciones finales de cada uno de ellos. Además también hay algunos problemas cuya solución se obtiene en muchos casos plantenando un sistema de ecuaciones no lineal con dos incógnitas.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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