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Una ecuación con la incógnita en el denominador.

Resolución de ecuaciones (2)

Instrucciones

Para practicar con estos ejercicios de ecuaciones te recomiendo que los copies en tu cuaderno o en hojas aparte, donde debes intentar realizarlos. Una vez que hayas finalizado, comprueba las soluciones haciendo click en el lugar correspondiente. Hay ecuaciones de todo tipo: de primer grado, de segundo grado, bicuadradas, con denominadores y sin ellos, con radicales, etc. También se proponen algunos problemas que se resuelven planteando adecuadamente una ecuación.

Es conveniente que, antes de hacer estas ecuaciones y problemas, hayas probado a hacer la relación número 1 de ecuaciones.

¡A trabajar! 

Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones

a)  \(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}(x-4)}{6}-\frac{2}{3}=1-\frac{3(-2x+1)}{4}\)

La solución aquí

La solución aquí

\[\frac{\displaystyle\frac{1}{2}(x-4)}{6}-\frac{2}{3}=1-\frac{3(-2x+1)}{4}\Rightarrow \frac{x-4}{12}-\frac{2}{3}=1-\frac{3(-2x+1)}{4}\]

Multiplicando por \(12\) todos los términos de la ecuación:

\[x-4-8=12-9(-2x+1)\Rightarrow x-12=12+18x-9\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-17x=15\Rightarrow x=-\frac{15}{17}\]

b)  \(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2x}{3}+5}{5}=1-\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{4}-2\right)}{3}\)

La solución aquí

La solución aquí

\[\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2x}{3}+5}{5}=1-\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{4}-2\right)}{3}\Rightarrow \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2x+15}{3}}{5}=1-\frac{\displaystyle\frac{3x-8}{4}}{6}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\frac{2x+15}{15}=1-\frac{3x-8}{24}\]

Multiplicando todos los términos por \(120\), que es el mínimo común múltiplo de \(24\) y \(15\):

\[8(2x+15)=120-5(3x-8)\Rightarrow 16x+120=120-15x+40\Rightarrow\]

\[\Rightarrow31x=40\Rightarrow x=\frac{40}{31}\]

c)  \(\displaystyle\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0\)

La solución aquí

La solución aquí

\[\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0\Rightarrow \frac{1}{x(x-1)}-\frac{1}{x-1}=0\]

Multiplicando todos los términos por \(x(x-1)\), tenemos:

\[\frac{x(x-1)}{x(x-1)}-\frac{x(x-1)}{x-1}=0\Rightarrow 1-x=0\Rightarrow x=1\]

Pero para \(x=1\) tendríamos la igualdad

\[\frac{1}{0}-\frac{1}{0}=0\]

Igualdad que no tiene sentido. Por tanto la ecuación \(\displaystyle\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0\) no tiene solución.

d)  \(x^4-81x^2=0\)

La solución aquí

La solución aquí

Para resolver esta ecuación sacaremos factor común \(x^2\):

\[x^4-81x^2=0\Rightarrow x^2(x^2-81)\Rightarrow\begin{cases}x^2=0\Rightarrow x=0\\x^2-81=0\Rightarrow x^2=81\Rightarrow x=\pm9\end{cases}\]

e)  \(\displaystyle x^2+\frac{4}{x^2}=5\)

La solución aquí

La solución aquí

Multiplicando todos los térmios por \(x^2\):

\[x^4+4=5x^2\Rightarrow x^2-5x^2+4=0\Rightarrow\left(x^2\right)^2-5x^2+4=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^2=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2}=\]

\[=\frac{5\pm3}{2}=\begin{cases}\frac{5+3}{2}=4\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm2\\ \frac{5-3}{2}=1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\end{cases}\]

f)  \(\displaystyle \frac{x^2(2x-5)}{x+1}=\frac{9(1-x)}{2x+5}\)

La solución aquí

La solución aquí

Obsérvese que \(1-x=-(x-1)\), con lo que la ecuación la podemos escribir así:

\[\frac{x^2(2x-5)}{x+1}=\frac{-9(x-1)}{2x+5}\]

Multiplicando en cruz:

\[x^2(4x^2-25)=-9(x^2-1)\Rightarrow 4x^4-25x^2=-9x^2+9\Rightarrow \]

\[\Rightarrow4x^4-16x^2-9=0\Rightarrow4\left(x^2\right)^2-16x-9=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x^2=\frac{16\pm\sqrt{(-16)^2-4\cdot4\cdot(-9)}}{2\cdot4}=\frac{16\pm\sqrt{256+144}}{8}=\]

\[=\frac{16\pm\sqrt{400}}{8}=\frac{16\pm20}{8}=\begin{cases}\frac{16+20}{8}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}\\\frac{16-20}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow\]

\[\Rightarrow\begin{cases}x^2=\frac{9}{2}\Rightarrow x=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}\\x^2=-\frac{1}{2}\Rightarrow \nexists\, x\in\mathbb{R}:x^2=-\frac{1}{2}\end{cases}\]

La ecuación original tiene por tanto dos soluciones: \(\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx2,12\,\); \(\displaystyle-\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx-2,12\)

g)  \(\displaystyle \frac{1}{x^2}+\frac{x^2}{3}=\frac{28}{3x}\)

La solución aquí

La solución aquí

Multiplicando todos los terminos por \(3x^2\):

\[3+x^4=28x\Rightarrow x^4-28x+3=0\]

La ecuación anterior no es bicuadrada. Hemos de intentar pues buscar las raíces del polinomio \(x^4-28x+3\) (que serán también las soluciones de la ecuación anterior). Como se sabe, las raíces enteras han de ser divisores del término independiente, es decir, de \(3\). Como \(3^4-28\cdot3+3=81-84+3=0\), por el teorema del resto, \(x=3\) es una raíz de \(x^4-28x+3\) (y por tanto también una solución de la ecuación). Aplicando la regla de Ruffini:

Entonces \(x^4-28x+3=(x-3)(x^3+3x^2+9x-1)\). El polinomio \(x^3+3x^2+9x-1\) no tiene raíces enteras pues no lo son ni \(1\), ni \(-1\) (compruébese). Como tampoco disponemos de ningún método para resolver una ecuación de tercer grado, concluímos que la solución de la ecuación es \(x=3\).

h)  \(6+\sqrt{2x+3}=x\)

La solución aquí

La solución aquí

\[6+\sqrt{2x+3}=x\Rightarrow\sqrt{2x+3}=x-6\Rightarrow(x-6)^2=\sqrt{2x+3}^2\Rightarrow \]

\[\Rightarrow x^2-12x+36=2x+3\Rightarrow x^2-14x+33=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{14\pm\sqrt{(-14)^2-4\cdot1\cdot33}}{2\cdot1}=\frac{14\pm\sqrt{196-132}}{2}=\frac{14\pm\sqrt{64}}{2}=\]

\[=\frac{14\pm8}{2}=\begin{cases}x_1=11\\x_2=3\end{cases}\]

\(x=11\) sí que es solución pues satisface la ecuación inicial:

\[6+\sqrt{2\cdot11+3}=6+\sqrt{22+3}=6+\sqrt{25}=6+5=11\]

\(x=3\) no es solución pues no satisface la ecuación inicial:

\[6+\sqrt{2\cdot3+3}=6+\sqrt{6+3}=6+\sqrt{9}=6+3=9\]

i)  \(\sqrt{9-x}=\sqrt{6-x}+\sqrt{3}\)

La solución aquí

La solución aquí

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

\[\left(\sqrt{9-x}\right)^2=\left(\sqrt{6-x}+\sqrt{3}\right)^2\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 9-x=6-x+2\sqrt{3}\sqrt{6-x}+3\Rightarrow2\sqrt{18-3x}=0\]

Volviendo a elevar al cuadrado:

\[\left(2\sqrt{18-3x}\right)^2=0^2\Rightarrow4(18-3x)=0\Rightarrow72-12x=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow-12x=-72\Rightarrow x=6\]

Efectivamente \(x=6\) es solución pues verifica la ecuación inicial:

\[\sqrt{9-6}=\sqrt{3}\quad;\quad\sqrt{6-6}+\sqrt{3}=0+\sqrt{3}=\sqrt{3}\]

j)  \(\displaystyle\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=2\)

La solución aquí

La solución aquí

Esta es muy fácil pues queda una ecuación de primer grado elevando ambos miebros al cuadrado:

\[\left(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\right)^2=2^2\Rightarrow\frac{x+1}{x-1}=4\Rightarrow x+1=4x-4\Rightarrow-3x=-5\Rightarrow x=\frac{5}{3}\]

Efectivamente, \(\displaystyle x=\frac{5}{3}\) es solución pues

\[\sqrt{\frac{\frac{5}{3}+1}{\frac{5}{3}-1}}=\sqrt{\frac{\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}}}=\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2\]

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes problemas. Para ello plantea la ecuación adecuada en cada uno de ellos.

a)  Determina dos números enteros consecutivos cuyo producto sea \(380\).

La solución aquí

La solución aquí

Dos números enteros consecutivos son, por ejemplo, \(x\) y \(x+1\). Así pues:

\[x(x+1)=380\Rightarrow x^2+x=380\Rightarrow x^2+x-380=0\]

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\[x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-380)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt{1+1520}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{1521}}{2}=\]

\[=\frac{-1\pm39}{2}=\begin{cases}x_1=\frac{-1+39}{2}=\frac{38}{2}=19\\x_2=\frac{-1-39}{2}=\frac{-40}{2}=-20\end{cases}\]

Por tanto hay dos posibles soluciones. Que los dos números sean \(x=19\) y \(x+1=20\). O bien que ambos números sean \(x=-20\) y \(x+1=-19\). Obsérvese que en ambos casos el producto es \(380\).

b)  Encuentra las dimensiones de un rectángulo cuya área es \(360\,\text{m}^2.\) y cuyo perímetro mide \(78\ \text{m}.\)

La solución aquí

La solución aquí

Supongamos que \(a\) es la medida de un lado y que \(b\) es la medida del otro.

Entonces el perímetro es \(a+b+a+b=2a+2b\). Como éste mide \(78\ \text{m}.\), entonces \(2a+2b=78\), de donde, dividiendo todos los términos entre \(2\), \(a+b=39\), es decir \(b=39-a\).

Por otro lado, el área es \(360\,\text{m}^2.\) O sea:

\[ab=360\Rightarrow a(39-a)=360\Rightarrow 39a-a^2=360\Rightarrow a^2-39a+360=0\]

Resolviendo esta ecuación de segundo grado:

\[a=\frac{39\pm\sqrt{(-39)^2-4\cdot1\cdot360}}{2\cdot1}=\frac{39\pm\sqrt{1521-1440}}{2}=\frac{39\pm\sqrt{81}}{2}=\]

\[=\frac{39\pm9}{2}=\begin{cases}a_1=\frac{39+9}{2}=\frac{48}{2}=24\\a_2=\frac{39-9}{2}=\frac{30}{2}=15\end{cases}\]

Si \(a=24\), \(b=39-a=39-24=15\). Si \(a=15\), \(b=39-a=39-15=24\). En cualquier caso el lado mayor del rectángulo mide \(24\ \text{m}.\) y el lado menor \(15\ \text{m}.\)

c)  Encuentra la longitud del lado de un cuadrado que tiene la misma área que un círculo de un metro de radio. ¿Qué tipo de número es el resultado? Redondea el resultado a dos decimales.

La solución aquí

La solución aquí

El área \(A\) del círculo es \(A=\pi\cdot r^2\), donde \(r\) es el radio del mismo. Como nuestro círculo tiene radio \(1\ \text{m}.\), entonces el área del círculo es \(A=\pi\cdot1^2=\pi\ \text{m}^2.\)

Llamemos ahora \(l\) al lado del cuadrado. Su área es \(l^2\), que ha de ser igual al área del círculo, con lo que:

\[l^2=\pi\Rightarrow l=\sqrt{\pi}\ \text{m}^2.\]

Por supuesto el resultado es un número irracional. Con la calculadora podemos redondear el resultado a dos decimales: \(\sqrt{\pi}\approx1,77\ \text{m}^2.\)

d)  Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo son tres números consecutivos. Encuentra el perímetro del triángulo.

La solución aquí

La solución aquí

Sean \(x\), \(x+1\), \(x+2\) las medidas de los tres lados del triángulo. El mayor de ellos, \(x+2\), ha de ser la hipotenusa. Por el teorema de Pitágoras:

\[(x+2)^2=x^2+(x+1)^2\]

Desarrollando y resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta, tenemos:

\[x^2+4x+4=x^2+x^2+2x+1\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}=\]

\[=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}=\begin{cases}x_1=3\\x_2=-1\end{cases}\]

La solución \(x=-1\) no es una solución válida a nuestro problema pues un triángulo no puede tener un lado de medida negativa.

De este modo las medidas de los lados del triángulo rectángulo son \(x=3\), \(x+1=4\) y \(x+2=5\).

e)  Un móvil ha recorrido \(120\,\text{km}.\) Calcula su velocidad sabiendo que, si hubiera ido \(10\,\text{km/h}.\) más rápido, habría tardado una hora menos.

La solución aquí

La solución aquí

Supondremos que se trata de un movimiento rectilíneo y uniforme en el que \(\displaystyle v=\frac{s}{t}\), donde \(v\) es la velocidad en \(\text{km/h}.\), \(s\) el espacio recorrido en \(\text{km}.\)y \(t\) el tiempo en horas empleado en recorrerlo.

Como el móvil ha recorrido \(120\,\text{km}.\), entonces:

\[\displaystyle v=\frac{120}{t}\]

Además, si hubiera ido \(10\,\text{km/h}.\) más rápido, habría tardado una hora menos, es decir:

\[v+10=\frac{120}{t-1}\]

Sustituyendo en esta última expresión \(v\) por su valor tenemos:

\[\frac{120}{t}+10=\frac{120}{t-1}\]

Multiplicando todos los términos por \(t(t-1)\):

\[120(t-1)+10t(t-1)=120t\Rightarrow120t-120+10t^2-10t=120t\Rightarrow\]

\[\Rightarrow 10t^2-10t-120=0\Rightarrow\]

\[\Rightarrow t^2-t-12=0\Rightarrow t=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{1+48}}{2}=\]

\[=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{1\pm7}{2}=\begin{cases}t_1=4\\t_2=-3\end{cases}\]

La solución \(t=-3\) no es válida para nuestro problema, pues el tiempo no puede tomar un valor negativo.

Por tanto tendremos que el tiempo empleado en recorrer los \(120\,\text{km}.\) ha sido de \(t=4\) horas, a una velocidad de \(\displaystyle v=\frac{120}{4}=30\ \text{km/h}.\)

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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