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El problema tres equis más uno

Extraído del libro Matemática, ¿estás ahí?, de Adrián Paenza.

Construyamos una sucesión de números naturales utilizando la siguiente regla: empezamos por un número natural cualquiera. Pongamos por caso, el número 9. Ése va a ser el primer elemento de nuestra sucesión.

Para obtener el segundo elemento, procedemos de la siguiente manera: si el que elegimos primero es par, lo dividimos por 2. En cambio, si es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. En nuestro ejemplo, al haber elegido el 9, como no es par, tenemos que multiplicarlo por 3 y sumarle 1. Es decir, se obtiene el número 28, ya que 9×3=27 y, sumando 1, resulta 28.

Tenemos entonces los primeros dos elementos de nuestra sucesión: {9, 28}.

Para generar el tercer elemento de la sucesión, como el 28 es par, lo dividimos entre 2, y obtenemos 14. Ahora tenemos {9, 28, 14}. Dado que 14 es par, volvemos a dividir entre 2, obteniendo 7, y ya tenemos {9, 28, 14, 7}

Como 7 es impar, la regla dice que hemos de multiplicar por 3 y sumar 1. O sea, 22. La sucesión es ahora {9, 28, 14, 7, 22}.

Sigamos. como 22 es par lo dividimos entre 2 y escribimos la nueva sucesión: {9, 28, 14, 7, 22, 11}. Si continuamos obtenemos el siguiente número, que es el 34. El siguiente será el 17. Luego 52. Luego 26. Y después 13. Al que le sigue el 40. Luego el 20. Hasta aquí tendremos la sucesión {9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20}. Y seguimos dividiendo entre 2 los pares y multiplicando por 3 y sumando 1 a los impares:

{9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Y cuando llegamos al número 1 paramos. Y paramos en el 1 porque si se continuara se entraría en un bucle, ya que del 1 se pasaría al 4, del 4 al 2 y del 2 otra vez al 1. Por eso, cuando al construir la sucesión llegamos al número 1, detenemos el proceso.

Elegid cualquier otro número para empezar, digamos el 48. La sucesión que se obtiene es

{48, 24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Si ahora empezamos con el 100, se tiene:

{100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11,

34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Como se puede ver, todas las sucesiones que se han elegido terminan en el número 1.

Que se conozca, en todos los ejemplos conocidos siempre se termina en el número 1. Pero no se tiene ninguna demostración que pruebe que el resultado es válido para cualquier número con el que comencemos el ejercicio.

Este problema se conoce con el nombre de Problema 3x+1, o también como el Problema de Collatz, o Problema de Syracuse, o Problema de Kakutani, o Algoritmo de Hasse o Problema de Ulam. Tiene muchos nombres pero ninguna solución. Es una buena oportunidad para empezar. Sin embargo, una persona corriente tiene pocas posibilidades de solucionarlo pues carecerá de las herramientas matemáticas suficientes para resolverlo. Se estima que, actualmente, sólo hay alrededor de veinte personas en el mundo capaces de “atacarlo”. Pero eso no quiere decir que alguien, en algún lugar del planeta, por mayor o menor bagaje o entrenamiento matemático que tenga, esté impedido para que se le ocurra una idea que nadie tuvo antes y el problema quede resuelto por una persona que no pertenezca a ese privilegiado grupo de veinte.

Este problema esta inscrito dentro de una larga lista que la matemática tiene sin resolver aún. Es fácil aceptar esto en otras ciencias. Por ejemplo, la medicina no sabe aún cómo resolver algunos tipos de cáncer o el Alzheimer, por poner un par de ejemplos. La física no tiene todavía una “teoría” que integre lo macro de lo micro, ni conoce todas las partículas elementales. La biología no conoce aún cómo funcionan todos los genes ni cuántos son. Se podrían agregar muchos más ejemplos. La matemática, por muy ciencia exacta que sea, también tiene su propia lista de problemas sin resolver.

Sobre Pedro Castro Ortega

Profesor de Matemáticas en el IES “Fernando de Mena” de Socuéllamos (Ciudad Real, Castilla-La Mancha).

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