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Dando en el blanco

Hoy hemos estado haciendo y discutiendo en clase un problema de probabilidad. Mis alumnos y alumnas llevan poco tiempo en esto de la probabilidad y es natural que, al principio, se sientan un poco desorientados. Les digo que es importante describir con palabras los sucesos de los cuales algo se nos dice en el enunciado del problema. Esto de la probabilidad, como muchos otros ámbitos de las matemáticas, tiene mucho que ver con traducir a un lenguaje propio, a una terminología apropiada, para luego aplicar algunas de las propiedades de la probabilidad que se han visto en la teoría. Por supuesto que la experiencia también será fundamental y estoy seguro que, de aquí a unos días, esto se verá de otra manera.

Sin embargo al afrontar el problema que hemos estado haciendo teníamos serios problemas con la forma de plantear el segundo de los apartados. La dificultad estriba no en llegar a una posible solución, sino en dar esta en términos numéricos. Esto es porque mis alumnos no saben lo que es una progresión geométrica. El enunciado del problema es el que sigue.

Juan y Pedro lanzan a una diana. La probabilidad de que Juan dé en el blanco es \(\displaystyle\frac{1}{3}\) y la probabilidad de que dé Pedro es \(\displaystyle\frac{1}{4}\). Supóngase que Juan lanza primero y que los dos chicos se van turnando para lanzar.

a) Calcula la probabilidad de que el primer lanzamiento que dé en el blanco sea el segundo de Juan.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan dé en el blanco antes de que lo haga Pedro?

El apartado a) es fácil. Insisto en que dar una respuesta coherente al apartado b) tampoco es difícil, lo difícil para un alumno de segundo de bachillerato es concretar el resultado final.

La solución aquí

La solución aquí

Llamemos \(A\) al suceso “Juan da en el blanco” y \(B\) al suceso “Pedro da en el blanco”. Estos dos sucesos son claramente independientes pues el hecho de que Juan dé en el blanco no influye para nada en el hecho de que Pedro dé en el blanco. Notaremos con subíndices el número de la tirada. Por ejemplo \(A_2\) será el suceso “Juan da en el blanco en su segunda tirada”. Por supuesto que estos sucesos también son indepedientes. Es decir \(A_i\) es independiente de \(A_j\) porque dar en el blanco en la tirada \(i\) no influye para nada, en principio, en el hecho de que se dé en el blanco en la tirada \(j\).

Ahora es fácil darse cuenta, para el apartado a), de que lo que hemos de hallar es la probabilidad del suceso \(\bar{A_1}\cap\bar{B_1}\cap A_2\). Y como son independientes la probabilidad de este suceso será el producto de las probabilidades de cada uno de los tres sucesos:

\[P\left(\bar{A_1}\cap\bar{B_1}\cap A_2\right)=P\left(\bar{A_1}\right)\cdot P\left(\bar{B_1}\right)\cdot P\left(A_2\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\]

Para hacer el apartado b) se ha de hacer un esfuerzo de abstracción. Juan puede dar en el blanco antes que Pedro en su primer lanzamiento, o en el segundo si falla Pedro su primer lanzamiento, o en el tercero, si falla Pedro los dos primeros, etcétera. Y habremos de sumar todas estas probabilidades. Y aquí entra en juego la suma de los términos de una progresión geométrica. Puedes ver el desarrollo completo en el ejercicio número 11 de esta relación.

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